摭談數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的教學(xué)策略

陳荔丹

摘 要：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)注數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)，有利于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，凸顯學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力及問題解決能力，提升學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)。教師可以幫助學(xué)生在問題情境中建模、在探索規(guī)律中建模、在歸納推理中建模、在數(shù)形結(jié)合中建模、在解決問題中建模。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型；學(xué)科素養(yǎng)；構(gòu)建策略

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確提出：模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。因此，在教學(xué)過程中教師應(yīng)充分重視發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思想，幫助學(xué)生初步構(gòu)建各種形式的數(shù)學(xué)模型，架起數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與數(shù)學(xué)應(yīng)用之間的橋梁，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)。下面從幾個(gè)視角就在小學(xué)階段如何構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，與同行共同商榷。

一、在問題情境中建模

數(shù)學(xué)知識(shí)的形成是從生活實(shí)踐活動(dòng)中逐步積累的結(jié)果，從學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)去理解學(xué)習(xí)內(nèi)容是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要特征。教學(xué)中，教師要有意識(shí)地根據(jù)教材內(nèi)容，有針對(duì)性地創(chuàng)設(shè)有利于引發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考的教學(xué)問題情境，以激活學(xué)生處于休眠狀態(tài)的原有認(rèn)知，促使學(xué)生的思維處于上升狀態(tài)，引發(fā)其問題意識(shí)和探究欲望。在問題情境中有機(jī)地滲透模型思想，讓學(xué)生在實(shí)踐、探究、運(yùn)用等活動(dòng)中梳理出問題模型，形成一種解題模型的技能，發(fā)展模型思維，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)認(rèn)知更系統(tǒng)、更完整。當(dāng)學(xué)生在實(shí)際問題情境中完成建模后，緊接著教師進(jìn)行“去情境化”的數(shù)學(xué)活動(dòng)，緊緊突顯所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)屬性，實(shí)現(xiàn)從生活數(shù)學(xué)向?qū)W科數(shù)學(xué)抽象，從而真正完成建模的過程。例如，“雞兔同籠”問題最初的教學(xué)就是在問題情境中研究：籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)有8個(gè)頭，從下面數(shù)有26條腿。雞和兔各有幾只？學(xué)生憑借生活經(jīng)驗(yàn)，知道雞有2條腿，兔有4條腿，再根據(jù)問題情境，通過列表嘗試，不僅解決了問題，得到雞有3只，兔有5只；還逐漸明白了雞兔只數(shù)雖然在不斷變化，但腿的條數(shù)是不變的，從而發(fā)現(xiàn)構(gòu)建了“2×（雞只數(shù)）+4×（兔只數(shù)）=總腳數(shù)”這個(gè)數(shù)量關(guān)系模型，有了這個(gè)數(shù)量關(guān)系模型，就為“雞兔同籠”的方程解和其他類似的數(shù)學(xué)問題奠定了基礎(chǔ)。

二、在探索規(guī)律中建模

探索規(guī)律是小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的一項(xiàng)組成內(nèi)容，在探索規(guī)律教學(xué)中，教師要重視讓學(xué)生自己經(jīng)歷觀察、猜想、分析、類比、抽象、概括、歸納等數(shù)學(xué)思維活動(dòng)過程，在充分尊重學(xué)生主體作用的基礎(chǔ)上，發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，把規(guī)律從具體的情境中抽象出一般模型，實(shí)現(xiàn)對(duì)抽象知識(shí)和數(shù)學(xué)思想、方法的理解與掌握，從而讓學(xué)生把外化的行為與內(nèi)在的思維活動(dòng)結(jié)合在一起，在發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律中完成建模，發(fā)展數(shù)學(xué)思考能力。例如，人教版五年級(jí)下冊(cè)“打電話”教學(xué)，本節(jié)課重點(diǎn)是研究如何在最短時(shí)間內(nèi)通知到所需的隊(duì)員。學(xué)生先列舉多種方案，然后通過觀察、比較、類推、概括、抽象等思考活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)要使時(shí)間用得最少，就需要每個(gè)知道信息的人又立即通知?jiǎng)e人，每個(gè)人都不能閑著。教學(xué)時(shí)，教師可以借助畫圖，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法讓學(xué)生直觀形象地觀察每分鐘通知到的隊(duì)員：

教師再引導(dǎo)學(xué)生對(duì)每分鐘通知到的隊(duì)員1、3、7、15……這組數(shù)列進(jìn)行研究，并思考：為什么第1分鐘只有1個(gè)隊(duì)員知道，第2分鐘就有3個(gè)隊(duì)員知道……結(jié)合圖畫直觀，學(xué)生很快會(huì)明白已接到通知的隊(duì)員每人每分鐘都再通知一個(gè)。最終發(fā)現(xiàn)：后1分鐘接到通知的人是前1分鐘知道信息隊(duì)員的2倍再加老師也再通知的1個(gè)，也就是說，后1分鐘接到通知的人是前1分鐘知道信息隊(duì)員的2倍加1，即第n分鐘接到通知的隊(duì)員和老師的總數(shù)是（n-1）分鐘所有接到通知的隊(duì)員和老師的總數(shù)的2倍。學(xué)生在探索“打電話”的規(guī)律中，構(gòu)建了這種“倍增”的數(shù)學(xué)模型，訓(xùn)練發(fā)展了數(shù)學(xué)思維，為后續(xù)解決同類問題提供了思路與策略。

三、在歸納推理中建模

歸納推理是一種由個(gè)別到一般的推理，它是由一定程度的關(guān)于個(gè)別事物的觀點(diǎn)過渡到范圍較大的觀點(diǎn)，由特殊具體的事例推導(dǎo)出一般原理、原則的解釋方法。歸納推理建模，需理清要解決的問題，收集相關(guān)的信息、背景等，根據(jù)收集的材料，探尋要解決問題的相連認(rèn)知基礎(chǔ)。從似乎無規(guī)律的情況中抽取合適的內(nèi)容，進(jìn)行模型數(shù)據(jù)、形狀以及其他資料的對(duì)比，進(jìn)而找到規(guī)律，分析求解。最后進(jìn)行模型的驗(yàn)證與應(yīng)用，通過應(yīng)用模型，查看其合理性，從而發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)。例如，四年級(jí)下冊(cè)求多邊形的內(nèi)角和（如下圖）：

學(xué)生從圖中發(fā)現(xiàn)，要求解多邊形內(nèi)角和，原來是把多邊形分割成若干個(gè)三角形，然后用三角形的內(nèi)角和乘三角形的個(gè)數(shù)就行了，而多邊形分割成的三角形個(gè)數(shù)是（邊數(shù)-2），學(xué)生通過觀察、分析、概括，歸納出：多邊形的內(nèi)角和是180°×（n-2），這個(gè)數(shù)學(xué)模型的建立就水到渠成了。

四、在數(shù)形結(jié)合中建模

形的問題中包含著數(shù)的規(guī)律，數(shù)的問題也可以用形來幫助解決，數(shù)與形在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生通過數(shù)與形的相互結(jié)合，可以把抽象思維轉(zhuǎn)換成形象思維，使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，借助圖形發(fā)現(xiàn)數(shù)的規(guī)律，從而建立數(shù)學(xué)模型。例如，人教版教材六年級(jí)上冊(cè)第107頁例1：

教學(xué)這道題時(shí)，借助擺正方形，從形引入，讓學(xué)生觀察說出每次增加了幾個(gè)小正方形，3個(gè)大正方形分別有幾個(gè)小正方形，用加法算式是1，1+3，1+3+5……；用乘法表示是1×1=12，2×2=22，3×3=32……。接著引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)與形相互對(duì)照，思考：算式左邊的加數(shù)排列有什么特點(diǎn)？在圖中分別表示什么？左邊對(duì)應(yīng)的右邊平方數(shù)又是圖中的什么？如果照這樣擺下去，第4個(gè)、第5個(gè)……正方形分別要擺幾個(gè)小正方形？用加法算式與乘法算式分別要怎樣表示？最后組織學(xué)生分組討論：第n個(gè)大正方形包含的小正方形數(shù)應(yīng)該是多少？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？通過數(shù)形結(jié)合的相互轉(zhuǎn)換，學(xué)生就能直觀、簡單地構(gòu)建1+3+5+……+（2n-1）=n2這個(gè)數(shù)學(xué)模型。

數(shù)與形中隱藏著許多非常有意思的規(guī)律，容易引起學(xué)生的探究興趣，教師在教學(xué)時(shí)要充分利用機(jī)會(huì)，一方面，要培養(yǎng)學(xué)生積極的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感；另一方面，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思想的價(jià)值與魅力。

五、在解決問題中建模

學(xué)生在解決問題時(shí)，通常要經(jīng)歷根據(jù)數(shù)學(xué)問題情境、理解與簡化問題信息、綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、分析問題結(jié)構(gòu)、概括其中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系、建立解決問題模型的過程，最后運(yùn)用建立的模型解決類似的數(shù)學(xué)問題，提高知識(shí)運(yùn)用能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，形成并靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法和解題策略，發(fā)展數(shù)學(xué)思考能力。因而，教師在解決問題的教學(xué)過程，要強(qiáng)調(diào)基于數(shù)學(xué)建模理念下的數(shù)量關(guān)系分析，關(guān)注數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)的同化與順應(yīng)，有效培養(yǎng)學(xué)生觸類旁通、舉一反三的數(shù)學(xué)能力。例如，這樣幾道應(yīng)用問題：

（1）一塊長方形地的周長是80米，寬是10米，長是多少米？

（2）小明買兩套課桌椅花80元，已知每把椅子10元，每張桌子多少錢？

（3）甲、乙、丙三個(gè)人去植樹，甲種80棵樹，乙種10棵樹，甲種的棵數(shù)剛好是乙、丙種的總棵數(shù)的2倍。丙種多少棵樹？

上述幾道題看似素材、內(nèi)容各不相干，但學(xué)生通過解決問題，發(fā)現(xiàn)這幾道題的題目結(jié)構(gòu)、數(shù)量關(guān)系、解題策略是相同的，即它們都是已知兩個(gè)數(shù)的和的2倍是多少與其中一個(gè)數(shù)，求另一個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)問題，解決這幾道題用算術(shù)解都是80÷2-10，列方程式都是（x+10）×2=80。這樣便建立起了此類問題的數(shù)學(xué)模型，再設(shè)計(jì)幾道數(shù)量關(guān)系類似的問題讓學(xué)生運(yùn)用模型進(jìn)行解答，發(fā)展了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和解決問題的能力，使其體驗(yàn)學(xué)習(xí)成功的快樂，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

六、結(jié)語

小學(xué)階段對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)模型建構(gòu)能力的培養(yǎng)，有利于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，凸顯學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力及問題解決能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，是幫助學(xué)生搭建數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與數(shù)學(xué)應(yīng)用的橋梁，能有效促進(jìn)學(xué)生類推、遷移等能力的發(fā)展，提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，它應(yīng)該成為數(shù)學(xué)教育的重要方法。

參考文獻(xiàn)：

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