貝葉斯定理的應(yīng)用與展望

孫焱

【摘要】本文簡(jiǎn)述了貝葉斯公式的內(nèi)容，并討論了貝葉斯公式及其思想在實(shí)際中的強(qiáng)大作用與廣泛的運(yùn)用空間。

【關(guān)鍵詞】概率論? 貝葉斯定理

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，為數(shù)眾多的科技成果與科技產(chǎn)品正在影響并逐漸融入我們的生活。而這些科技成果與科技產(chǎn)品的誕生都是離不開人類數(shù)學(xué)水平的發(fā)展的，尤其在信息化愈發(fā)全面，并且人工智能與機(jī)器學(xué)習(xí)越來越成為時(shí)代焦點(diǎn)的今天，概率論及其背后的廣博的數(shù)學(xué)思想，在源源不斷地滋養(yǎng)著人類科技的進(jìn)步。本文將從貝葉斯定理的基礎(chǔ)理論出發(fā)，簡(jiǎn)述其在日常生活中的強(qiáng)大之處。

一、貝葉斯定理

貝葉斯定理由英國(guó)數(shù)學(xué)家貝葉斯（Thomas Bayes 1702-1761）提出并發(fā)展，用來描述兩個(gè)條件概率之間的關(guān)系，可用數(shù)學(xué)語言描述如下：

其中，對(duì)（Bj）P（A|Bj）使用全概率公式，知其等于P（A），分子由條件概率的定義知其等于P（A|Bi）。將其代入條件概率的定義即知貝葉斯定理正確性。另外，再引入幾個(gè)概念：

條件概率（又稱后驗(yàn)概率）：就是事件A 在另外一個(gè)事件B已經(jīng)發(fā)生條件下的發(fā)生概率，這里指在事件A發(fā)生后，對(duì)事件Bi的發(fā)生概率進(jìn)行重新評(píng)估，稱為A的后驗(yàn)概率，這里記作P（Bi|A）;

聯(lián)合概率：表示兩個(gè)事件共同發(fā)生的概率。A與B的聯(lián)合概率表示P（AB）;

邊緣概率（又稱先驗(yàn)概率）：邊緣概率是某個(gè)事件發(fā)生的概率，在這里指事件A發(fā)生之前，我們對(duì)事件Bi的發(fā)生與否有一個(gè)基本的概率判斷，稱為Bi的先驗(yàn)概率，記作P（Bi）。

貝葉斯公式中，若稱P（Bi）為Bi的先驗(yàn)概率，稱P（Bi|A）為Bi的后驗(yàn)概率，則貝葉斯公式是專門用于計(jì)算后驗(yàn)概率的。

二、貝葉斯定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用

貝葉斯公式在數(shù)學(xué)問題中的用途十分廣泛，其通常用于在新的事件發(fā)生后對(duì)于原有事件發(fā)生概率的更新。比如，人的信用問題，若一個(gè)人在多次撒謊的情況下，其信用度會(huì)大幅下降，這一點(diǎn)常被用于銀行貸款。如果一個(gè)人的信用記錄有污點(diǎn)，其向商業(yè)銀行申請(qǐng)貸款時(shí)將會(huì)遇到更多的麻煩，甚至被直接拒絕。下面通過簡(jiǎn)單計(jì)算說明：

設(shè)事件A表示此人不遵守承諾（事實(shí)上的行為），事件B表示此人可信（他人或機(jī)構(gòu)對(duì)其信用評(píng)定），再設(shè)

P（B）=0.8， P（B）=0.2， P（A|B）=0.1， P（A|B）=0.7

另外，貝葉斯公式還可以用于疾病篩查中。如果對(duì)于疾病篩查僅僅初篩，很容易出現(xiàn)“假陽性”現(xiàn)象，而對(duì)于初篩的陽性再進(jìn)行一次復(fù)查，“假陽性”出現(xiàn)的概率將大幅下降，結(jié)果將會(huì)非常準(zhǔn)確。

另外，在法庭庭審中的辯護(hù)與審判，也可以用貝葉斯公式解釋。律師要盡力降低當(dāng)事人是罪犯（事件B）的先驗(yàn)概率P（B），并且要舉出對(duì)當(dāng)事人有利的證據(jù)（事件A），使得當(dāng)事人是罪犯的情況下做出如此事件的概率P（A|B）盡可能小。最后法官也會(huì)綜合證據(jù)，得出P（B|A），做出盡可能公正的判決。

三、貝葉斯定理在人工智能中的應(yīng)用

（一）貝葉斯定理在漢字識(shí)別后處理中的應(yīng)用

每一種語言都是一種基于上下文的信息表達(dá)和傳遞的方式，而讓計(jì)算機(jī)處理自然語言，一個(gè)基本的問題就是基于這種上下文相關(guān)的特性建立數(shù)學(xué)模型。這樣的模型中，一個(gè)很重要的思想便是貝葉斯定理。

我們?cè)谠谶@里以漢字的手寫識(shí)別轉(zhuǎn)換為文字為例子：設(shè)當(dāng)前識(shí)別的結(jié)果是A為事件A，計(jì)算機(jī)接收到的信號(hào)為S為事件S，則我們需要找到使得P（A|S）最大的A。使用貝葉斯公式得

其中P（S|A）為信息A經(jīng)傳輸后變?yōu)樾盘?hào)S的概率，在實(shí)際處理中，我們可以將其處理為識(shí)別信度，更簡(jiǎn)單地，甚至可以將其作為常數(shù)，而P（S）表示接收到信號(hào)為S的概率，也是常數(shù)，故問題可以簡(jiǎn)化為求P（A）的最大值。而在漢字到句子的例子中，我們可以認(rèn)為

可以更進(jìn)一步簡(jiǎn)化問題假設(shè)，每一個(gè)字只與其前一個(gè)字有關(guān)，這種假設(shè)被稱為馬爾科夫假設(shè)，問題退化為馬爾科夫過程。至此，問題簡(jiǎn)化為求的最大值。

（二）樸素貝葉斯算法

目前，隨著基于網(wǎng)絡(luò)的服務(wù)的發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)中存在的機(jī)密與隱私信息數(shù)量的大幅度增長(zhǎng)，網(wǎng)絡(luò)安全技術(shù)的重要性日益顯得重要。如何有效地去檢測(cè)并且有效地防范網(wǎng)絡(luò)入侵來起到保障網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)的安全性的作用也開始受到社會(huì)各界的關(guān)注和重視。樸素貝葉斯算法因其堅(jiān)實(shí)的貝葉斯理論基礎(chǔ)，被廣泛地應(yīng)用于文本分類領(lǐng)域。我們?cè)谶@里討論一種基于樸素貝葉斯算法的文本分類系統(tǒng)。我們?cè)O(shè)文章的輸入為n維向量X（其每個(gè)分量可以為文章中提取出的特征詞，如中國(guó)，恒大，美元等等），文章類型為ck（如政治，體育，經(jīng)濟(jì)等等），則有

另外，記為文章庫(kù)中該類文章的頻率，是常數(shù)，這樣求出概率最大的值，即可以將文章分類。

樸素貝葉斯算法有很多改進(jìn)的方法，比如平滑，或者引入其他概率分布模型，都可以提高算法的魯棒性和準(zhǔn)確性。