談高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)問題設(shè)計(jì)的幾個(gè)維度

☉江蘇省吳江高級(jí)中學(xué) 梁秋健

伽利略曾經(jīng)明確提出過“數(shù)學(xué)是科學(xué)的大門”這一說法，而問題則是打開數(shù)學(xué)之門的鑰匙，問題在整個(gè)科學(xué)研究中的重要性也因此顯露無遺，不斷出現(xiàn)的問題能引領(lǐng)科學(xué)的不斷進(jìn)步.同樣的道理，教師在課堂教學(xué)中的問題設(shè)計(jì)也是影響整個(gè)課堂效果的關(guān)鍵.因此，教師在設(shè)計(jì)問題時(shí)應(yīng)緊緊圍繞教學(xué)內(nèi)容的重難點(diǎn)對(duì)其進(jìn)行深度與廣度上的認(rèn)真挖掘并將有核心度、梯度、發(fā)散度、創(chuàng)新度的問題串供給學(xué)生思考，使學(xué)生能夠在這些具備“問”的魅力與藝術(shù)的問題思考中不斷提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率.本文結(jié)合教學(xué)實(shí)際著重分析了設(shè)計(jì)問題串的四個(gè)度，供讀者參考.

一、核心度

預(yù)期學(xué)生在教學(xué)活動(dòng)中能夠獲得的學(xué)習(xí)結(jié)果是教育心理學(xué)范疇中對(duì)教學(xué)目標(biāo)的認(rèn)定.事實(shí)上，高中數(shù)學(xué)的每一節(jié)課堂教學(xué)都離不開教學(xué)目標(biāo)的引領(lǐng)，因此，教師首先就應(yīng)考慮這一核心目標(biāo)并進(jìn)行問題串的設(shè)計(jì)，緊密圍繞核心目標(biāo)設(shè)計(jì)的問題串能引導(dǎo)學(xué)生形成更加明確的思考并順利達(dá)成目標(biāo).以等差數(shù)列求和公式為例進(jìn)行以下問題串的設(shè)計(jì)：

問題1：等差數(shù)列中的基本量分別是哪些？

問題2：等差數(shù)列具備怎樣的性質(zhì)？

問題3：教材中有這樣一道題：倉庫里有一堆鋼管，最上層有4根，往下每層均比上一層多1根，最下層的根數(shù)為9，這堆鋼管共有多少根？計(jì)算4+5+6+7+8+9可有什么好辦法？

問題4：若有一般的等差數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和Sn=a1+a2+…+an=？（用基本量表示）

預(yù)設(shè)1：通過4+9=5+8=6+7并結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，可得a1+an=a2+an-1=…，此處需要考慮n的奇偶性.若n是偶數(shù)，則，即得若n是奇數(shù)，即得

教師可以從4+9的實(shí)際意義出發(fā)并引導(dǎo)學(xué)生形成如圖1所示的想法.

預(yù)設(shè)2：通過上述求和作圖演示可得Sn=a1+a2+…+an，又有Sn=an+an-1+…+a1，將兩式相加并結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，可得

為了探求等差數(shù)列求和公式這一目標(biāo)，筆者對(duì)此進(jìn)行了設(shè)計(jì)，探究的4個(gè)問題從回顧基本量與性質(zhì)著手，在實(shí)際問題中引出問題并利用性質(zhì)進(jìn)行解決，使學(xué)生的抽象思維能力與轉(zhuǎn)化問題能力得到了很好的鍛煉，也令學(xué)生在逐個(gè)問題的探究中很好地體會(huì)到了從特殊到一般這一重要的數(shù)學(xué)研究方法.

二、梯度

教師在實(shí)際教學(xué)中的善于提問一般表現(xiàn)在問題由易到難、由繁至簡(jiǎn)的設(shè)計(jì)上，并根據(jù)問題串的設(shè)計(jì)層層推進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生不斷地深入思考并最終獲得問題的解決方法.因此，將難題分解成學(xué)生易于處理的幾個(gè)小題就變得非常重要了，學(xué)生在教師精心分解或設(shè)計(jì)的小題的思考中往往能夠獲得逐步思考、探究與思維攀登的臺(tái)階，并且符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律與最近發(fā)展的小題思考也能使學(xué)生逐步樹立起學(xué)習(xí)的自信，使學(xué)生能夠在后續(xù)的學(xué)習(xí)中不斷保持高昂的熱情.比如下面“函數(shù)中的分類討論思想”這一內(nèi)容中的問題串設(shè)計(jì)：

問題1：求解以下基礎(chǔ)題：

（1）求函數(shù)f（x）=2x2-ax-1（a∈R）在［0，1］上的最小值；

（2）求函數(shù)f（x）=x2-2x-1在［t，t+1］上的最小值；

（3）求函數(shù)f（x）=x|2x-a|（a∈R）的單調(diào)區(qū)間.

問題2：求函數(shù)f（x）=x2-ax-lnx（a∈R）的單調(diào)區(qū)間.

問題3：討論函數(shù)f（x）=x2-ax-lnx（a＞0）在［a，+∞）上的單調(diào)性.

問題4：討論函數(shù)f（x）=x|x-a|-lnx（a∈R）的單調(diào)性.

如果讓學(xué)生直接進(jìn)行問題4的討論，學(xué)生往往會(huì)因?yàn)槠溆懻撉闆r的復(fù)雜而望而卻步.因此筆者將問題進(jìn)行了適當(dāng)?shù)姆纸馀c加密并呈現(xiàn)給學(xué)生三個(gè)小題，學(xué)生在這三個(gè)小題的熱身思考中逐步進(jìn)入了分類討論的情境中.研究復(fù)雜函數(shù)單調(diào)性的問題2因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的運(yùn)用也立即轉(zhuǎn)變成了求一個(gè)含參二次函數(shù)y=2x2-ax-1在（0，+∞）上的符號(hào)問題.問題3則是將問題2中的參數(shù)范圍與定義域進(jìn)行了改變，定義域的改變也令方程2x2-ax-1=0的根和參數(shù)a的大小有了討論的必要.通過對(duì)問題2和問題3的思考令學(xué)生面對(duì)問題4時(shí)的思維順暢了許多.通過熱身練習(xí)獲得思考并去絕對(duì)值，然后對(duì)參數(shù)a和0的大小進(jìn)行分類討論：

若a≤0，則f（x）=x2-ax-lnx的單調(diào)區(qū)間即與問題2相同.

若a＞0，則

先看x≥a時(shí)的單調(diào)性即與問題3相同；再研究最后一種情況：x＜a時(shí)（a＞0）的單調(diào)性（過程略）.為問題4服務(wù)的3個(gè)問題與問題4一起構(gòu)成了一個(gè)層層遞進(jìn)的問題串，不同層次的學(xué)生在解決由易到難的問題的過程中均獲得了思維上的鍛煉，問題串設(shè)計(jì)的梯度性也在這一案例中得到了很好的展現(xiàn).

三、發(fā)散度

由一個(gè)問題出發(fā)并進(jìn)行相關(guān)問題的聯(lián)想即為這里所指的發(fā)散度.教師精心設(shè)計(jì)一系列相關(guān)問題串并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考與研究能使學(xué)生的理解更加深入，學(xué)生也會(huì)在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性.比如下面“關(guān)于不等式的綜合應(yīng)用”這一內(nèi)容中的問題串設(shè)計(jì)：

問題1：已知不等式x2-2ax+a+2≤0，其解集為M，若M?［1，4］，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

問題2：已知不等式x2-2ax+a+2≤0，其解集為M，若［1，4］?M，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

問題3：已知不等式x2-2ax+a+2≤0，其解集為M，記N=［1，4］，若M∩N≠?，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

問題4：若?a∈［-2，-1］，不等式x2-2ax+a+2≤0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

問題5：若?a∈［-2，-1］，使不等式x2-2ax+a+2≤0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

根據(jù)問題1以及集合的有關(guān)概念進(jìn)行改編得到了問題2和問題3，其中二次函數(shù)的圖像與區(qū)間［1，4］之間的關(guān)系因?yàn)闂l件的改變也隨之變化，參數(shù)a的取值范圍也因此變得不同.將問題1、問題2、問題3中的參數(shù)和變量互換并進(jìn)行量詞的改變得到了問題4和問題5.學(xué)生在一系列發(fā)散性問題的思考中對(duì)二次函數(shù)圖像在研究一元二次不等式中的重要性有了更加深刻的體會(huì)，對(duì)變量和參數(shù)之間的辯證關(guān)系也因此理解得更為深刻.

四、創(chuàng)新度

教師精心設(shè)計(jì)問題串并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行大膽猜想能使其在兩類對(duì)象的相似或相同之處獲得新的發(fā)現(xiàn)，學(xué)生也會(huì)因此從“學(xué)會(huì)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤皶?huì)學(xué)”并獲得提問與創(chuàng)新能力的發(fā)展.比如以下兩個(gè)案例中問題串的設(shè)計(jì)：

案例（一） 問題1：已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在⊙O中，AB為直徑，現(xiàn)有⊙O上異于點(diǎn)A、B的任意一點(diǎn)C，若直線AC與BC的斜率均存在，則kAC·kBC=？如果對(duì)高中所學(xué)的圓錐曲線進(jìn)行類比猜想，大家能得到怎樣的結(jié)論呢？如何證明？

問題2：橢圓M的長(zhǎng)軸端點(diǎn)分別為點(diǎn)A和B，點(diǎn)C為橢圓M上除點(diǎn)A、B以外的任意一點(diǎn)，則kAC·kBC=？如何證明？

問題3：已知點(diǎn)A和點(diǎn)B為雙曲線M實(shí)軸的端點(diǎn)，點(diǎn)C為雙曲線M上除點(diǎn)A，B以外的任意一點(diǎn)，則kAC·kBC=？如何證明？

案例（二） 問題1：已知拋物線y2=2px（p＞0），過其焦點(diǎn)F作一條直線，與拋物線相交于點(diǎn)A，B，過點(diǎn)A，B分別作拋物線y2=2px的切線PA，PB，則交點(diǎn)P在拋物線y2=2px的準(zhǔn)線上.可否證明該結(jié)論？推廣至其他圓錐曲線能否得到類似結(jié)論呢？

問題2：過橢圓M的右焦點(diǎn)作條直線與橢圓交于點(diǎn)A，B（異于橢圓和長(zhǎng)軸的交點(diǎn)），過點(diǎn)A，B分別作橢圓的切線PA，PB，則交點(diǎn)P必然在橢圓的右準(zhǔn)線上.可否證明該結(jié)論？

問題3：過雙曲線M的右焦點(diǎn)作一條直線并與雙曲線相交于點(diǎn)A，B（異于雙曲線和實(shí)軸的交點(diǎn)），過點(diǎn)A，B分別作雙曲線的切線PA，PB，則交點(diǎn)P必然在雙曲線的右準(zhǔn)線上.可否證明該結(jié)論？

問題串設(shè)計(jì)的優(yōu)劣往往直接影響課堂教學(xué)效果的好壞.因此，教師在設(shè)計(jì)問題串這一環(huán)節(jié)上應(yīng)多花心思，在問什么、如何問、什么時(shí)候問等環(huán)節(jié)上進(jìn)行認(rèn)真的研究.筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐在問題串設(shè)計(jì)的核心度、梯度、發(fā)散度、創(chuàng)新度上進(jìn)行了淺要的思考，以期望各位同仁指正并設(shè)計(jì)出更加適合學(xué)生的教案，使學(xué)生能夠在高質(zhì)量的知識(shí)傳遞、方法傳授中獲得能力的提升與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展.W