一道解三角形綜合題的探究之旅

☉山東省肥城市泰西中學(xué) 穆西軒

在近幾年的模擬題、高考題、自主招生以及競(jìng)賽中，經(jīng)常會(huì)碰到涉及三角形面積的應(yīng)用問(wèn)題.此類(lèi)問(wèn)題往往背景活潑多樣，知識(shí)交匯點(diǎn)眾多，而且解答難度較大，解決問(wèn)題的思維方式多變，解決方法也多種多樣.

一、問(wèn)題呈現(xiàn)

問(wèn)題：在△ABC中，H是△ABC的垂心，D為AB的中點(diǎn)，若△ABC的面積為S，則

本題知識(shí)點(diǎn)眾多，涉及三角形，三角函數(shù)的余弦值，三角形的垂心，三角形的中點(diǎn)，三角形的面積以及平面向量的數(shù)量積等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，如何借助三角形中的相關(guān)定理，結(jié)合垂心的特點(diǎn)、中線(xiàn)定理等知識(shí)的應(yīng)用，巧妙借助三角形的面積公式與平面向量的數(shù)量積公式的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用來(lái)達(dá)到求解的目的，提升能力，拓展應(yīng)用.

二、多解思維

根據(jù)正弦定理轉(zhuǎn)化得到CH關(guān)于AC的表達(dá)式，結(jié)合平面向量的數(shù)量積公式與三角形的面積公式代入關(guān)系式中，同時(shí)結(jié)合直角三角形的性質(zhì)以及正弦定理加以巧妙轉(zhuǎn)化從而得到涉及角C的三角關(guān)系式，進(jìn)而得以求解.

解法1：由于，結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可得

圖1

如圖1所示，CE⊥AB，AF⊥CB，由正弦定理可得則有

利用平面向量的中點(diǎn)公式，并結(jié)合平面向量數(shù)量積中的投影性質(zhì)加以轉(zhuǎn)化，結(jié)合三角形的面積公式與直角三角形的性質(zhì)以及正弦定理，巧妙轉(zhuǎn)化得到涉及角C的三角關(guān)系式，進(jìn)而得以求解.

解法2：由于，結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可得

由于D為AB的中點(diǎn)，

根據(jù)三角形的面積公式，借助邊CE的轉(zhuǎn)化，通過(guò)tanC的過(guò)渡，以及正弦定理的應(yīng)用，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為含有C■→H·的關(guān)系式，從而得到，再結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式來(lái)求解.

解法3：由于，結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可得，可得

通過(guò)取特殊的等腰△ABC，結(jié)合條件確定AC=BC，這樣垂心H在中線(xiàn)CD上，利用設(shè)出利用直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的比例關(guān)系加以求解，再利用平面向量的數(shù)量積公式與三角形的面積公式代入求解即可.

解法4：如圖2所示，取特殊的等腰△ABC，此時(shí)AC=BC，則垂心H在中線(xiàn)CD上，

在Rt△CFH與Rt△CDB中，因?yàn)?0°，∠HCF=∠DCB，所以△CFH∽△CDB，故利用相似三角形的比例關(guān)系可得解得

通過(guò)取特殊的直角△ABC，結(jié)合條件確定∠A=90°，利用設(shè)出AC=3，AB=4，那么垂心H與點(diǎn)A重合，利用平面向量的投影以及數(shù)量積加以轉(zhuǎn)化即可快速求解.

解法5：如圖3所示，取特殊直角△ABC，其中∠A=90°，根據(jù)，則設(shè)AC=3，AB=4，此時(shí)垂心H與點(diǎn)A重合，

結(jié)合平面向量的投影以及數(shù)量積可得C■→H·C■→D=C■→A·C■→D=C■→A2=9，

總評(píng)：對(duì)于以上問(wèn)題的求解，分別從解三角形方式切入、平面向量應(yīng)用切入、三角形面積切入以及特殊圖形的選取切入，方法多樣，各有千秋.其實(shí)，對(duì)于此類(lèi)解三角形中的定值問(wèn)題，經(jīng)常可以采用特殊圖形法，結(jié)合條件構(gòu)造出滿(mǎn)足條件的特殊三角形，然后直接利用三角形的邊角關(guān)系來(lái)快速破解，這也是解決此類(lèi)問(wèn)題最有效可行的方法，而且在解決選擇題或填空題時(shí)更加實(shí)用.

通過(guò)從多個(gè)不同的角度來(lái)探究分析，巧妙地把該題的底蘊(yùn)充分挖掘出來(lái)，多角度出發(fā)，多方面求解，多角度拓展，真正體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通與變式應(yīng)用，充分展現(xiàn)知識(shí)的交匯、綜合與應(yīng)用，達(dá)到提升能力、拓展應(yīng)用的目的.進(jìn)而真正達(dá)到在學(xué)中“悟”，在“悟”中不斷提升解題技能.正如我國(guó)著名數(shù)學(xué)家蘇步青先生所說(shuō)：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要多做習(xí)題，邊做邊思索，先知其然，然后知其所以然.”W