高考數(shù)列解題策略談

☉江蘇省成化高級中學(xué) 呂紅霞

在江蘇新課標高考中，數(shù)列既是高考命題的重點內(nèi)容，又是高考命題的難點之一.要想突破這一難點，不僅要求考生具有扎實的數(shù)列知識，更要學(xué)會一些基本的解題技巧與方法.

一、善用性質(zhì)，優(yōu)化運算

等差數(shù)列與等比數(shù)列有一些值得注意的性質(zhì)特征，這些性質(zhì)特征是我們巧妙解題的突破口，也是優(yōu)化解題過程的“綠色通道”.

例1 已知等比數(shù)列{an}中，各項都是正數(shù)，且a3=a1+則

思路：所求分式中的分子和分母為相鄰4項的和，則兩式的比值與q有關(guān)，所以需要求出q.由條件a3=a1+2a2，將等式中的項均用a1，q表示出來即可求出q.從而解得表達式的值.

解：因為{an}為等比數(shù)列，故a3=a1q2，a2=a1q，將其代入等式可得a1q2=a1+2a1q?q2-2q-1=0，

所以，而{a}為正項數(shù)列，n

故選C.

評注：在等比數(shù)列{an}中，設(shè)S=am+1+am+2+…+am+k，T=則有：

二、善用轉(zhuǎn)化，妙求通項

已知數(shù)列的遞推關(guān)系式，求數(shù)列的通項，是高考中的“?？汀?，對于這類問題，往往要求我們將其合理變形，轉(zhuǎn)化為求等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項問題，一般利用累加法或累乘法求通項.

例2已知數(shù)列{an}中，a1=2，a2=3，其前n項和Sn滿足Sn+2+Sn=2Sn+1+1（n∈N*）；數(shù)列{bn}中，b1=a1，bn+1=4bn+6（n∈N*）.求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式.

解析：由已知得

所以an+2-an+1=1（n≥1）.

又a2-a1=1，所以數(shù)列{an}是以a1=2為首項，1為公差的等差數(shù)列.所以an=n+1.

因為bn+1=4bn+6，即bn+1+2=4（bn+2），又b1+2=a1+2=4，所以數(shù)列{bn+2}是以4為公比，4為首項的等比數(shù)列.所以bn=4n-2.

評注：數(shù)列問題，先考慮求其數(shù)列的通項，非等差數(shù)列或等比數(shù)列一般可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列.遇到Sn要注意利用Sn與an的關(guān)系將其轉(zhuǎn)化為an，再研究其具體性質(zhì).

三、妙用函數(shù)思想，巧破數(shù)列不等式恒成立問題

數(shù)列其實是一類特殊的函數(shù)，所以數(shù)列中的不等式恒成立問題與函數(shù)中不等式恒成立問題的解法十分相似，基本方法是利用參變量分離法，將其轉(zhuǎn)化為求新數(shù)列的最值問題，數(shù)列中的最值問題一般是利用數(shù)列的單調(diào)性求解；而數(shù)列中的不等式恒成立的證明，很多時候可以與放縮法聯(lián)系起來.

例3已知數(shù)列中

（1）若a=-7，求數(shù)列{an}中的最大項和最小項的值；

（2）若對任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范圍.

解析：（1）因為（n∈N*，a∈R，且a≠0），又因為a=-7，所以

所以數(shù)列{an}中的最大項為a5=2，最小項為a4=0.

已知對任意的n∈N*，都有an≤a6成立，

故a的取值范圍為（-10，-8）.

評注：對任意的n∈N*，都有an≤a6成立，故a6是這個數(shù)列的最大項.而數(shù)列的最值問題往往可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決.

四、“多管齊下”，何懼數(shù)列創(chuàng)新題

在高考中，數(shù)列創(chuàng)新題主要包含新定義問題和探索性問題等，且處于壓軸題的地位，難度較大.征服這類問題往往需要采用多種思想和方法，方可奏效.

例4 定義：若各項為正實數(shù)的數(shù)列 {an}滿足an+1=，則稱數(shù)列{an}為“算術(shù)平方根遞推數(shù)列”.已知數(shù)列{xn}滿足xn＞0，n∈N*，且，點（xn+1，xn）在二次函數(shù)f（x）=2x2+2x的圖像上.

（1）試判斷數(shù)列{2xn+1}（n∈N*）是否為算術(shù)平方根遞推數(shù)列？若是，請說明你的理由；

（2）記yn=lg（2xn+1）（n∈N*），求證：數(shù)列{yn}是等比數(shù)列，并求出通項公式y(tǒng)n；

（3）從數(shù)列{yn}中依據(jù)某種順序自左至右取出其中的項yn1，yn2，yn3，…，把這些項重新組成一個新數(shù)列{zn}，若數(shù)列{zn}是首項為、公比為（m，k∈N*）的無窮等比數(shù)列，且數(shù)列{zn}各項的和為，求正整數(shù)k、m的值.

解析：（1）數(shù)列{2xn+1}是算術(shù)平方根遞推數(shù)列.理由如下：因為點（xn+1，xn）在函數(shù)f（x）=2x2+2x的圖像上，

所以數(shù)列{2xn+1}是算術(shù)平方根遞推數(shù)列.

（3）由題意可知，無窮等比數(shù)列{zn}的首項公比（k、m∈N*且k、m為常數(shù)），

若m-1≥3，則＜16矛盾！所以m-1≤2.

又m-1=0或1時，所以m-1=2，即m=3.

評注：本題為新定義問題，命題背景新穎，命題方式創(chuàng)新，既有證明題，也有探究題，同一個題目中多種方式相結(jié)合.解決新情境、新定義數(shù)列問題，首先要根據(jù)新情境、新定義進行推理，從而明確考查的是哪些數(shù)列知識，然后熟練運用歸納、構(gòu)造、正難則反、分類與整合等方法進行解題.

高考數(shù)列問題雖然千變?nèi)f化，但只要抓住解題要領(lǐng)，就會“逢兇化吉”！ H