數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用*

☉四川省內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 劉恩庸

☉四川省內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 趙思林

一、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是把“數(shù)”和“形”結(jié)合起來(lái)思考問(wèn)題并解決問(wèn)題的一種思想方法.數(shù)學(xué)研究的對(duì)象可分為數(shù)和形，數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個(gè)聯(lián)系稱(chēng)為數(shù)形結(jié)合.數(shù)形結(jié)合可分為兩種情形：一是借助于“數(shù)”的精（準(zhǔn)）確性來(lái)彌補(bǔ)“形”的粗糙性，二是借助于“形”的直觀性來(lái)彌補(bǔ)“數(shù)”的抽象性.數(shù)形結(jié)合就是把抽象的“數(shù)”的結(jié)構(gòu)、關(guān)系、變化等與直觀的“形”結(jié)合起來(lái)，通過(guò)“數(shù)化形”（即抽象問(wèn)題形象化）或“形化數(shù)”（即幾何圖形精確化），即通過(guò)“抽象思維”與“形象思維”的結(jié)合，以達(dá)到解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的目的.

數(shù)學(xué)的研究對(duì)象大致可以分為兩類(lèi)：一類(lèi)是研究數(shù)量關(guān)系的；一類(lèi)是研究空間形式的.“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)的兩個(gè)基本概念，“數(shù)”和“形”具有的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，決定了“數(shù)”和“形”之間可以相互轉(zhuǎn)化、相互解釋、相互表征，“數(shù)”和“形”的結(jié)合可以揚(yáng)長(zhǎng)避短并能彌補(bǔ)各自的不足.

數(shù)形結(jié)合作為一種重要的思想，在高中數(shù)學(xué)中有著非常廣泛的應(yīng)用.數(shù)形結(jié)合的意義體現(xiàn)在：加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解；開(kāi)拓解題思路，提高解題效率；有助于直觀形象思維和抽象邏輯思維的培養(yǎng)；是培養(yǎng)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效途徑.

二、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

通過(guò)對(duì)典型問(wèn)題的具體分析，探討了數(shù)形結(jié)合思想在集合、方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角、平面向量、解析幾何等問(wèn)題中的應(yīng)用.

1.集合問(wèn)題

在處理集合運(yùn)算的一些問(wèn)題時(shí)，Venn圖和數(shù)軸是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的重要載體.

例1設(shè)集合求集合M∩N所表示圖形的面積.

圖1

分析：本題單靠代數(shù)討論，難以直觀地說(shuō)清道理，借助圖形，問(wèn)題可迎刃而解.

解：由

可知集合M表示折線(xiàn)y=|x|和之間的區(qū)域；集合N表示圓x2+y2=4及其內(nèi)部.

如圖1所示，點(diǎn)A、點(diǎn)B分別表示y=|x|與圓x2+y2=4的左、右交點(diǎn)，C點(diǎn)、D點(diǎn)分別表示與圓x2+y2=4左、右交點(diǎn)，E點(diǎn)為折線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)，則表示的圖形為上述兩區(qū)域的公共部分，解方程組可得，又由圖可知，C點(diǎn)與D點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，因此由，得陰影部分的面積

2.方程問(wèn)題

一元方程的實(shí)數(shù)根就是一元函數(shù)的零點(diǎn).因此，解決方程問(wèn)題時(shí)，可以借助于函數(shù)的圖像，從而實(shí)現(xiàn)“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化.

例2（2015年湖南卷理科第15題）已知函數(shù)f（x）=若存在實(shí)數(shù)b，使得g（x）=（fx）-b有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是______.

分析：g（x）=f（x）-b有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)y=f（x）的圖像與直線(xiàn)y=b有兩個(gè)交點(diǎn).

解：當(dāng)a＜0時(shí)，如圖2所示，符合題意；

圖3

當(dāng)0≤a≤1時(shí)，如圖3所示，不存在b使得f（x）與函數(shù)圖像y=b有兩個(gè)交點(diǎn)，故不符合題意；

當(dāng)a＞1時(shí)，如圖4所示，符合題意.

綜上所述，當(dāng)a＜0或a＞1時(shí)，滿(mǎn)足要求，所以a的取值范圍是（-∞，0）∪（1，+∞）.

圖4

3.不等式問(wèn)題

在證明某些不等式時(shí)，若能發(fā)掘題目條件與結(jié)論中的相關(guān)數(shù)式的幾何意義，則可把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直觀的幾何問(wèn)題，從而使問(wèn)題簡(jiǎn)潔獲解.

例3a，b，c，d∈R，求證：

分析：根式結(jié)構(gòu)有多種不同的幾何意義（解釋?zhuān)涸谥苯亲鴺?biāo)系中，它表示點(diǎn)（a，b）到原點(diǎn)（0，0）的距離；在復(fù)數(shù)域中，它表示復(fù)數(shù)a+bi的模長(zhǎng)；在直角三角形中，它表示以a、b為直角邊的三角形的斜邊長(zhǎng)（a＞0，b＞0）.故可根據(jù)需要，利用不同的幾何意義，得到不同的解題方法.

解：設(shè)則待證的不等式轉(zhuǎn)化為|OA|+|AB|+，此結(jié)論顯然成立.

4.函數(shù)問(wèn)題

函數(shù)是實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的重要平臺(tái).函數(shù)的解析式具有“數(shù)”的特征，函數(shù)的圖像具有“形”的特征，這兩者的結(jié)合是實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的基本方法.

分析：設(shè)y1=x2-4|x|+5，y2=m.則問(wèn)題等價(jià)于方程x2-4|x|+5=m有4個(gè)零點(diǎn)，也就是y1與y2的圖像的交點(diǎn)有且只有4個(gè).畫(huà)出函數(shù)y1和y2的圖像，如圖5所示.不難看出，當(dāng)1＜m＜5時(shí)，函數(shù)y1和y2的圖像有且只有4個(gè)交點(diǎn)，所以m的取值范圍是（1，5）.

圖5

5.數(shù)列問(wèn)題

一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式和它的前n項(xiàng)和公式，可以看作關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù).運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)列問(wèn)題，可以借助數(shù)列的函數(shù)背景，并利用其函數(shù)圖像進(jìn)行直觀分析，最終可以避免大量運(yùn)算并簡(jiǎn)潔獲解.

例5設(shè){an}為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，若S4=S18，則S22=______.

分析：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn=An2+Bn的形式，其圖像為過(guò)原點(diǎn)的拋物線(xiàn).

解：由知，其對(duì)稱(chēng)軸為，故拋物線(xiàn)與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)為（22，0），即S22=0.

6.三角問(wèn)題

現(xiàn)行人教A版教材中的三角函數(shù)是借助單位圓來(lái)定義的.因此，借助于單位圓的“形”來(lái)解決三角函數(shù)問(wèn)題，是數(shù)形結(jié)合思想的基本方法.

例6求值

分析：記A（cos20°，sin20°），B（cos40°，sin40°），則原式的幾何意義是單位圓上的兩點(diǎn)A，B連線(xiàn)的斜率.構(gòu)造圖形如圖6所示，則=120°，因此

評(píng)注：本題直接用三角函數(shù)的和差化積公式進(jìn)行恒等變換，容易解決，但現(xiàn)行教材對(duì)三角函數(shù)的和差化積公式已不作要求，此法受限.通過(guò)發(fā)掘問(wèn)題的幾何意義（斜率），使求解變得簡(jiǎn)潔明快，并能感受到數(shù)形結(jié)合思想的威力.

對(duì)相應(yīng)系數(shù)矩陣T′進(jìn)行整理，可得列數(shù)為32的誤差變換矩陣T″，因此需要辨識(shí)的結(jié)構(gòu)誤差參數(shù)變換為x1，Q2～Q5，x6～x21，x23,x25～x29，x31～x35，則式(15)可以變形為

7.平面向量問(wèn)題

向量是“數(shù)”和“形”結(jié)合的典范.在向量問(wèn)題中，采用數(shù)形結(jié)合是很自然的數(shù)學(xué)思維策略和方法.

例7已知a，b是單位向量，a·b=0.若向量c滿(mǎn)足|ca-b|=1，則|c|的取值范圍是（ ）.

分析：由向量坐標(biāo)運(yùn)算公式化簡(jiǎn)原式，再由式子聯(lián)想相關(guān)圖像解決問(wèn)題.

解：由題意，設(shè)a=（1，0），b=（0，1），c=（x，y），則c-ab=（x-1，y-1）.

所以點(diǎn)（x，y）在以C（1，1）為圓心，1為半徑的圓上，而表示圓上點(diǎn)（x，y）到原點(diǎn)O的距離.

8.解析幾何問(wèn)題

幾何問(wèn)題化為代數(shù)問(wèn)題是解析幾何的基本思想，但若不重視解析幾何問(wèn)題中的幾何意義就會(huì)繁算、苦算甚至算錯(cuò).

例8（1）已知點(diǎn)F是雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)，定點(diǎn)A（1，4），P是雙曲線(xiàn)右支上的動(dòng)點(diǎn)，則|PF|+|PA|的最小值為_(kāi)_____.

分析：分別用雙曲線(xiàn)的定義、橢圓的定義來(lái)轉(zhuǎn)換.

解：（1）如圖7，設(shè)雙曲線(xiàn)右焦點(diǎn)為F1，則點(diǎn)F1的坐標(biāo)為（4，0）.

（2）如圖8，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F′，則|PF|+|PF′|=4，所以|PF|=4-|PF′|，所以|PA|-|PF|=|PA|+|PF′|-4.

當(dāng)且僅當(dāng)P，A，F(xiàn)′三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，|PA|+|PF′|取最小值，即，所以|PA|-|PF|的最小值為1.

9.立體幾何問(wèn)題

若用坐標(biāo)去探討一些立體幾何的位置關(guān)系或度量問(wèn)題，往往會(huì)遇到較多煩瑣的代數(shù)運(yùn)算，求解起來(lái)比較麻煩.但若重視立體幾何的幾何背景，問(wèn)題可能會(huì)得到較簡(jiǎn)潔的解決.

例9如圖9，正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱長(zhǎng)均為2cm，M為AA1的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，則在棱柱的表面上從點(diǎn)M到點(diǎn)N的最短距離是多少？

分析：采用展平法，即將立體圖形展開(kāi)成為平面圖形，然后利用圖形的直觀性容易獲解.

解：（1）從側(cè)面到N，如圖10，沿棱柱的側(cè)棱AA1剪開(kāi)，并展開(kāi)，則

（2）從底面到N點(diǎn)，如圖11，沿棱柱的AC、BC剪開(kāi)并展開(kāi)，則有

圖11

數(shù)形結(jié)合思想在排列組合、導(dǎo)數(shù)、復(fù)數(shù)、概率等問(wèn)題中也有廣泛應(yīng)用，值得研究.