含參數(shù)的絕對(duì)值不等式恒成立問(wèn)題的解法探討

☉江蘇省無(wú)錫市第六高級(jí)中學(xué) 胡振輝

含參數(shù)的絕對(duì)值不等式恒成立問(wèn)題是不等式中的一種常見(jiàn)題型.這種題型既含參數(shù)，又含有絕對(duì)值，因此比一般的含參數(shù)不等式恒成立問(wèn)題更加復(fù)雜，容易讓人感到束手無(wú)策，其實(shí)只要我們冷靜下來(lái)，仔細(xì)分析就會(huì)找到解題思路.下面本文以幾道這樣的題為例，探討一下含參數(shù)的絕對(duì)值不等式恒成立問(wèn)題的解法.

含參數(shù)的絕對(duì)值不等式恒成立問(wèn)題常見(jiàn)的解法有圖像法、最值法、參變分離法.

一、圖像法

作出函數(shù)的圖像，觀察函數(shù)的圖像隨參數(shù)變化的規(guī)律，從而得到參數(shù)的取值范圍.

例1不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

解：在同一直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)與函數(shù)y=|x-a|的圖像，如圖1所示.依題意，當(dāng)x∈時(shí)，函數(shù)的圖像恒在函數(shù)y=|x-a|的圖像的上方，由圖可知

故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為

例2已知不等式|x-2|-ax+1＞0的解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：因?yàn)椴坏仁絴x-2|-ax+1＞0的解集為R，所以|x-2|＞ax-1對(duì)x∈R恒成立，在同一直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=|x-2|與y=ax-1的圖像.由題意可知，函數(shù)y=|x-2|的圖像恒在函數(shù)y=ax-1的圖像的上方，由圖2可知故所求a的取值范圍為

小結(jié)：適合用圖像法求解的含參數(shù)絕對(duì)值不等式恒成立問(wèn)題，一般需要先將不等式進(jìn)行適當(dāng)變形，再構(gòu)造函數(shù)，利用一個(gè)函數(shù)的圖像恒在另一個(gè)函數(shù)圖像的上方或下方得到參數(shù)的取值范圍.

二、最值法

求出函數(shù)的最值，再根據(jù)恒成立所滿足的條件得到參數(shù)的取值范圍.

例3已知不等式|x-1|+|x-a|≥a對(duì)x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：設(shè)f（x）=|x-1|+|x-a|，

則f（x）≥|（x-1）-（x-a）|=|a-1|，所以［f（x）］min=|a-1|.

依題意得|a-1|≥a，當(dāng)a≤0時(shí)，此不等式恒成立.

當(dāng)a＞0時(shí)，則a-1≥a或a-1≤-a.由a-1≥a，得a∈?；由a-1≤-a，得，又a＞0，所以

綜上所述，a的取值范圍為

例4若對(duì)任意x∈R，不等式x2+2|x-a|≥a2恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

解：設(shè)f（x）=x2+2|x-a|，x∈R.

當(dāng)x≥a時(shí)，f（x）=x2+2（x-a）=（x+1）2-1-2a；

當(dāng)x＜a時(shí)，f（x）=x2-2（x-a）=（x-1）2-1+2a.

若a≤-1，如圖3所示，由得

若-1＜a＜1，如圖4所示恒成立；

若a≥1，如圖5所示，由得a=1.

綜上所述，a的取值范圍為［-1，1］.

圖3

圖4

圖5

小結(jié)：適合用最值法求解的含參數(shù)絕對(duì)值不等式恒成立問(wèn)題，一般是先構(gòu)造函數(shù)，然后分情況討論去掉絕對(duì)值符號(hào)，再判斷其單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性求出最值，但有些函數(shù)的最值可以直接利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求出，如例3.函數(shù)的單調(diào)性一般是利用導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷，但對(duì)于二次函數(shù)的單調(diào)性則可以通過(guò)配方找出其對(duì)稱(chēng)軸，結(jié)合函數(shù)的開(kāi)口方向進(jìn)行判斷.

三、參變分離法

分離參數(shù)與變量，求參數(shù)范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，通過(guò)求出函數(shù)的最值，得到參數(shù)的取值范圍.

例5已知f（x）=x|x-a|-2，若當(dāng)x∈［0，1］，恒有f（x）＜0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：（?。┊?dāng)x=0時(shí)，顯然f（x）＜0成立，此時(shí)a∈R.

（ⅱ）當(dāng)x∈（0，1］時(shí)，由（fx）＜0，可得，即

綜合（?。áⅲ┲琣的取值范圍是（-1，3）.

例6當(dāng)時(shí)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

解：當(dāng)時(shí)恒成立，

所以函數(shù)（fx）在區(qū)間上是減函數(shù)，

所以函數(shù)g（x）在區(qū)間上是增函數(shù)，

綜上所述，所求a的取值范圍為

小結(jié)：含有參數(shù)的絕對(duì)值不等式恒成立問(wèn)題，若參數(shù)與變量易于分離，一般應(yīng)優(yōu)先考慮用參變分離的方法解題，具體做法是先去掉絕對(duì)值符號(hào)，再分離變量，把求參數(shù)范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，若不存在最值，可求出函數(shù)的取值范圍.

對(duì)于含參數(shù)的絕對(duì)值不等式恒成立問(wèn)題，一般采用圖像法、最值法、參變分離法求解，我們應(yīng)該根據(jù)題目的特點(diǎn)，靈活地選用適當(dāng)?shù)姆椒?H