例析借用遞推數(shù)列求解一類概率題

☉廣東省惠州市第一中學 方志平

數(shù)列與概率都是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，在高中各級各類數(shù)學考試中頻頻出現(xiàn)數(shù)列與概率的交匯題.其中一類題借用數(shù)列中的遞推關(guān)系，用有限的方法解決無限的問題，這也是解決一些概率問題行之有效的好方法.本文采擷了幾道與遞推法相關(guān)的概率試題，權(quán)當拋磚引玉.

一、Pn=aPn-1+b型

例1（2017年全國高中數(shù)學聯(lián)賽廣西壯族自治區(qū)預賽試題）一名籃球隊員進行投籃練習，若第n次投籃投中，則第n+1次投籃投中的概率為若第n次投籃不中，則第n+1次投籃投中的概率為若該隊員第1次投籃投中的概率為，則第4次投籃投中的概率為______.

解：設該隊員投中第n-1個球的概率為Pn-1，投不中的概率為1-Pn-1，則投進第n個球的概率為：

評注：根據(jù)已知條件雖然可依次求得概率P2，P3，P4，但比較繁瑣.考慮第n+1次結(jié)果受第n次結(jié)果的影響，且前后次之間的概率Pn與Pn+1存在著遞推關(guān)系，于是聯(lián)想到借助遞推思想方法求解更為簡捷.

例2（2014年全國高中數(shù)學聯(lián)賽山東省預賽試題）甲、乙兩人輪流擲一枚骰子，甲先擲，規(guī)定：若甲擲到1點，則甲繼續(xù)擲，否則由乙擲；若乙擲到3點，則乙繼續(xù)擲，否則由甲擲.兩人始終按此規(guī)則進行，則第n次是甲擲的概率Pn=______.

解：甲擲到1點（乙擲到3點）概率為甲未擲到1點（乙未擲到3點）概率為設第n次由甲擲的概率為P，n則乙擲的概率為1-Pn，第一次由甲擲的概率P1=1，故第二次由甲擲的概率，于是第n+1次由甲擲的概率為，即所以，所以

評注：本題的解題切入點是從題設的信息中探索出相鄰兩次拋擲的概率間的遞推關(guān)系.于是得出甲能擲第n+1次取決于甲第n次擲到1點或乙第n次未擲到3點，由于這兩事件是互斥的，于是有

例3（2012年全國高中數(shù)學聯(lián)賽天津市預賽試題）電腦每秒鐘以相同的概率輸出一個數(shù)字1或2，將輸出的前n個數(shù)字之和被3整除的概率記為Pn.

證明：（1）這n個數(shù)字共有2n種可能情形，設其中數(shù)字之和被3整除的有xn種，則不被3整除的有2n-xn種，對于n+1個數(shù)字的情形，如果其和被3整除，則前n個數(shù)字之和不被3整除；反之，對于前n個數(shù)字之和不被3整除的每種情形，都有唯一的第n+1個數(shù)字可使前n+1個數(shù)字之和被3整除，于是有xn+1=2n-xn.（*）

評注：本題關(guān)于概率Pn的遞推關(guān)系比較隱蔽，但從事件發(fā)生的情況種數(shù)分析思考，不難理解遞推關(guān)系xn+1=然后利用，將其轉(zhuǎn)化為，特別注意，所以，從而問題便迎刃而解.

二、Pn+1=aPn+bPn-1型

例4（2017年全國高中數(shù)學聯(lián)賽貴州省預賽試題）擲一枚硬幣，每次出現(xiàn)正面得1分，出現(xiàn)反面得2分，反復擲這枚硬幣，則恰好得n分的概率為______.

解：（1）由于事件得分為n+2是由以下兩個互斥事件組成：

①事件“得分為n+1分，再出現(xiàn)一次正面向上得1分”，此時得分為n+2分的概率為

②事件“得分為n分，再出現(xiàn)一次反面向上得2分”，此時得分為n+2分的概率為

評注：本題也可以從問題的反面思考，利用“Pn=aPn-1+b型”求解.設得n分的概率為Pn，得不到n分的情況只有先得n-1分，再擲出反面，概率為，所以1-P=n，即又因為，所以P-n此解法新穎，富有創(chuàng)意.

例5從原點出發(fā)的某質(zhì)點M，按向量a=（0，1）移動的概率為按向量b=（0，2）移動的概率為設M到達點（0，n）的概率為Pn，求Pn.

解：M到達點（0，n）有兩種情形：

（1）從點（0，n-1）按向量a=（0，1）移動到點（0，n），此時概率為

（2）從點（0，n-2）按向量b=（0，2）移動到點（0，n），此時概率為

評注：本題背景新穎，既是用向量“包裝”的概率題，又是與遞推法相關(guān)的數(shù)列題，三者聯(lián)袂，不但開拓了學生的視野，培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新思維，而且還彰顯了數(shù)學的無窮魅力！

綜上，本文列舉的幾個例子是與數(shù)列有關(guān)的概率題，從中可以看出遞推法是解決此類問題的簡潔方法，甚至有些問題也只能用遞推法求解.上述各例也向我們展示了用遞推法求解的解題過程，實現(xiàn)了由局部已知到全局未知的探索，由抽象思維到形象思維的融合，這對激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣和培養(yǎng)創(chuàng)新能力都大有裨益！H