一題多解 拓展提升

☉浙江省杭州市余杭中學 楊 勁

我們知道，有關空間距離主要涉及點到點、點到直線、點到平面、直線與直線、直線與平面以及兩個平行平面的距離等.實質上是把空間中的點、線、面通過轉化，把相應的距離問題轉化為平面幾何問題，然后利用幾何法來處理，也可以把問題放在坐標背景下用數(shù)來表示出來，通過對變量進行分析，然后利用向量法來解決.

一、兩點間的距離

例1 如圖1，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，ABCD為直角梯形，AD∥BC，3，AC∩BD=O，過O點作平面α平行于平面PAB，平面α與棱BC，AD，PD，PC分別相交于點E，F(xiàn)，G，H.求G，H兩點之間的距離.

圖1

解法一：（幾何法1）因為平面α∥平面PAB，平面α∩平面ABCD=EF，O∈EF，平面PAB∩平面ABCD=AB，所以EF∥AB.

同理EH∥BP，F(xiàn)G∥AP.

因為BC∥AD，AD=6，BC=3，

所以△BOC∽△DOA，且

如圖2，連接HO，則有HO∥PA，所以HO⊥EO，HO=1，所以

圖2

過點H作HN∥EF交FG于N，則

解法二：（幾何法2）因為平面α∥平面PAB，平面α∩平面ABCD=EF，O∈EF，平面PAB∩平面ABCD=AB，所以EF∥AB.

同理EH∥BP，F(xiàn)G∥AP.

因為BC∥AD，AD=2BC，

所以△BOC∽△DOA，且

又因為△COE∽△AOF，AF=BE，所以BE=2EC.

如圖3，作HN∥BC，

所以HN∥GM，HN=GM，故四邊形GMNH為矩形，即GH=MN，

在 △PMN中，所以

解法三：（坐標法）以A為坐標原點，以AB，AD，AP為坐標軸，建立空間直角坐標系A-xyz，

則B（3，0，0），C（3，3，0）D（0，6，0），P（0，0，3），

圖4

可得O（2，2，0），

由題知F（0，2，0），

將y=2代入可得G（0，2，2），

設直線PC的方程為，將C（3，3，0）代入可得

又將x=2，y=2代入直線PC的方程，有可得z=1，即得H（2，2，1），

點評：計算空間兩點間的距離的常見方法：（1）利用幾何法計算線段的長度，即將表示空間兩點間的距離的線段放在具體的三角形中，利用勾股定理、解三角形等來求解.（2）利用坐標法計算線段的長度，即通過建立空間直角坐標系，確定對應兩點的坐標，利用公式來計算.（3）還可以借助空間向量的基底法等來計算.

二、點到直線的距離

例2如圖5所示，已知四邊形ABCD，EADM和MDCF都是邊長為a的正方形，點P，Q分別是ED和AC的中點.求P點到直線QF的距離.

圖5

圖6

解法一：（幾何法）如圖6，取AD的中點O，連接PO，QO，PQ，PF.

設P點到直線QF的距離為h，

即P點到直線QF的距離為

解法二：（坐標法）如圖7，以D為坐標原點，射線DA，DC，DM分別為x軸，y軸，z軸的正半軸，建立空間直角坐標系D-xyz，

則D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），E（a，0，a），F(xiàn)（0，a，a），則由中點坐標公式得

點評：計算空間點到直線的距離的常見方法：（1）利用幾何法計算，可以作出表示距離的長度放置于三角形中求解，也可以在平面上利用等面積法的思維來求解.（2）利用坐標法計算點到直線的距離，其具體的解題步驟為：①建系，建立適當?shù)目臻g直角坐標系；②找點，任取所求直線l上一點P的坐標；③列向量，通過相應點A與對應點P的坐標計算向量，并確定直線l的方向向量s；④作運算，計算在向量s上的投影，進而利用點到直線的距離公式作運算；⑤作答，根據(jù)向量運算的結果，對點到直線的距離加以作答.

三、點到平面的距離

例3如圖8所示，在空間四面體ABCD中，O，E分別BD，BC的中點，CA=CB=CD=BD=2AO=2，AB=AD.求點E到平面ACD的距離.

圖8

圖9

解法一：（幾何法）如圖9，連接OC，由于BO=DO，AB=AD，則有AO⊥BD.

又BO=DO，BC=CD，則有CO⊥BD.

在△AOC中，由已知可得

而AC=2，則有AO2+CO2=AC2，可得∠AOC=90°，

即AO⊥OC，

而BD∩OC=O，可得AO⊥平面BCD，則AO⊥CD.

設點H在CD上，且，連接AH，

由于CB=CD=BD=2，O為BD的中點，則OH⊥CD，

而AO∩OH=O，可得CD⊥平面AOH，

而CD?平面ACD，則平面AOH⊥平面ACD，且交線為AH，

過點O作OP⊥AH于點P，則OP⊥平面ACD，

由于O、E分別為BD、BC的中點，則OE∥CD，

而OE?平面ACD，CD?平面ACD，則OE∥平面ACD，則點E到平面ACD的距離即為OP，

故點E到平面ACD的距離為

解法二：（等積法）連接OC，由于BO=DO，AB=AD，則有AO⊥BD.

又BO=DO，BC=CD，則有CO⊥BD.

在△AOC中，由已知可得

而AC=2，則有AO2+CO2=AC2，可得∠AOC=90°，即AO⊥OC，

而BD∩OC=O，可得AO⊥平面BCD.

設點E到平面ACD的距離為h，

故點E到平面ACD的距離為

圖10

解法三：（坐標法）以O為坐標原點，如圖10，建立空間直角坐標系，則B（1，0，0），D（-1，

設平面ACD的法向量為n=（x，y，z），

令y=1，得是平面ACD的一個法向量.

故點E到平面ACD的距離

點評：計算空間點到平面的距離的常見方法：（1）利用幾何法計算，可以過點作已知平面的垂線，確定垂足的位置，則垂線段的長度就是點到平面的距離.（2）利用等積法計算，把點到平面的距離轉化為對應的空間幾何體的高，利用空間幾何體的體積相等來轉化求解.（3）利用坐標法計算點到平面的距離，其具體的解題步驟為：①建系，建立適當?shù)目臻g直角坐標系；②找點，任取所求平面π上一點P的坐標；③列向量，通過相應點A與對應點P的坐標計算向量并確定平面π的法向量n；④作運算，計算在向量n上的投影·n0，進而利用點到平面的距離公式作運算；⑤作答，根據(jù)向量運算的結果，對點到平面的距離加以作答.

四、異面直線間的距離

例4在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=2，M、N分別為DC、BB1的中點，求異面直線MN與A1B的距離.

解析：以A為坐標原點，以AB、AD、AA1為坐標軸，建立空間直角坐標系A-xyz，如圖11，則

圖11

設MN，A1B公垂線的方向向量為n=（x，y，z），

令x=1，則，即

即異面直線MN與A1B的距離為

點評：用向量法求異面直線間的距離時，可以避免作出兩異面直線間的公垂線的困難，只需正確建立相應的空間直角坐標系，結合相應的公式經(jīng)過向量間的運算即可.利用向量法求解異面直線間的距離的解題步驟：（1）建系，建立適當?shù)目臻g直角坐標系；（2）找點，任取所求異面直線a、b上各一點P、A的坐標；（3）列向量，作直線a、b的方向向量a、b，同時求出相應點A與對應點P的坐標來計算向量，并確定向量a、b的法向量n；（4）作運算，計算在向量n上的投影進而利用異面直線間的距離公式作運算；（5）作答，根據(jù)向量運算的結果，對點到平面的距離加以作答.

五、最值問題的距離

例5如圖12所示，已知四邊形ABCD，EADM和MDCF都是邊長為a的正方形，點Q是AC的中點，點P在ED上.求P點到直線QF的距離的最小值.

圖12

圖13

解析：如圖13，以D為坐標原點，射線DA，DC，DM分別為x軸，y軸，z軸的正半軸，建立空間直角坐標系D-xyz，

則D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），E（a，0，a），F(xiàn)（0，a，a），則由中點坐標公式得

點評：涉及空間距離的最值問題，常見的方法：（1）通過幾何法，結合空間幾何性質，利用空間想象能力，通過極端思維以及空間變換來直觀處理；（2）通過向量法，設出相應線段的長度，利用距離公式求解相應的距離，并結合二次函數(shù)的最值問題或導數(shù)來確定相應的最小值.向量法可以避免作輔助線以及對相應位置的判定，只要正確建立相應的空間直角坐標系，利用相應的公式，結合對應的步驟加以分析處理即可.H