立足基礎(chǔ) 強(qiáng)化聯(lián)系 突出本質(zhì) 優(yōu)化方法
——對(duì)“平面向量應(yīng)用舉例”一輪復(fù)習(xí)課的思考

☉安徽省靈璧第一中學(xué) 鄭 良

一、問(wèn)題提出

目前多數(shù)學(xué)校高三復(fù)習(xí)采用三輪復(fù)習(xí)法，一輪復(fù)習(xí)（時(shí)間從9月初到次年3月底）梳理基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能以夯實(shí)基礎(chǔ)，二輪復(fù)習(xí)（時(shí)間從4月初到5月上旬）突出主干并突破難點(diǎn)以提高技能，三輪復(fù)習(xí)（時(shí)間從5月中旬到高考前）模擬強(qiáng)化，查缺補(bǔ)漏以調(diào)適到備考的最佳狀態(tài).一輪復(fù)習(xí)時(shí)間長(zhǎng)（半年）、內(nèi)容多（整個(gè)高中知識(shí)）、任務(wù)重（使高中知識(shí)與技能系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化、完整化），是整個(gè)高三復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)與關(guān)鍵.高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)多以某本教輔為藍(lán)本，按部就班地對(duì)知識(shí)、技能、方法等逐點(diǎn)掃描和梳理，并適時(shí)地補(bǔ)充該教輔遺漏的內(nèi)容，喚醒學(xué)生的記憶.隨著時(shí)間的推移，學(xué)生會(huì)對(duì)一輪復(fù)習(xí)照本（教輔材料有詳細(xì)解答）宣科的教學(xué)方式產(chǎn)生疲勞甚至厭倦，學(xué)習(xí)興趣持續(xù)下降，對(duì)一輪復(fù)習(xí)中學(xué)習(xí)到的知識(shí)與方法愈發(fā)模糊.一輪復(fù)習(xí)結(jié)束后學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握不牢、理解不透，解題能力不高，應(yīng)用能力不強(qiáng)，思維躊躇不前.

那么一輪復(fù)習(xí)課到底該怎么上？近日，筆者在本校聽(tīng)了一節(jié)題為“平面向量應(yīng)用舉例”的高三一輪復(fù)習(xí)課.該班是實(shí)驗(yàn)班，生源較好.教師在本節(jié)課之前已安排了基礎(chǔ)內(nèi)容“平面向量的概念及其線性運(yùn)算”“平面向量基本定理及坐標(biāo)表示”“平面向量的數(shù)量積”，同時(shí)在授課前一天發(fā)放了本節(jié)課的學(xué)案供學(xué)生自主學(xué)習(xí)探究.下面筆者簡(jiǎn)錄教學(xué)過(guò)程，給出對(duì)相關(guān)內(nèi)容的理解和教學(xué)思考.

二、案例評(píng)析

例1設(shè)且λ+μ=1，則上的投影的取值范圍是（ ）.

解法1：記上的投影為x，由題意可知

當(dāng)λ=0時(shí)，x=0.

當(dāng)λ＞0時(shí)，

故當(dāng)λ=1時(shí)，取得最小值為1，

當(dāng)λ＜0時(shí)，

教師展示解法1（多數(shù)學(xué)生為解析法）后引導(dǎo)學(xué)生思考向量基底法與向量坐標(biāo)法的區(qū)別與聯(lián)系并探尋解法緣由.當(dāng)學(xué)生回答此題為“已知a·b及|a|，求b在a上的投影”類型時(shí)，教師追問(wèn)：“|是已知還是未知？條件中有無(wú)與目標(biāo)相關(guān)的不變量（以靜制動(dòng)）？λ+μ=1在此處有無(wú)特殊意義（目標(biāo)指向）？”通過(guò)這些問(wèn)題學(xué)生自覺(jué)地將兩種建系方法（以O(shè)A（OB），OB（OA）所在直線分別為x軸，y軸）進(jìn)行比較以發(fā)現(xiàn)哪種方法與條件聯(lián)系更為緊密.教師在此強(qiáng)調(diào)對(duì)（向量的投影）概念的理解和對(duì)題意的挖掘，并展示部分學(xué)生的解法2.

解法2：如圖1所示，點(diǎn)P的軌跡為直線l（AB），過(guò)點(diǎn)O作直線l的平行線m，記直線l的傾斜角為α，可得.則上的投影為而則有即在上的投影的取值范圍是

變式：在中動(dòng)點(diǎn)G滿足若點(diǎn)G的軌跡與直線AB，AC圍成的封閉圖形的面積為，則BC=（ ）.

解法1：記△ABC的內(nèi)角B的對(duì)邊為b，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC邊所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系（圖略），則設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（x，y），由，得點(diǎn)G的軌跡Γ的方程為設(shè)Γ與直線AB，AC的交點(diǎn)分別為點(diǎn)M，N.由題可知，直線AB的方程為，直線AC的方程為y=0，因此聯(lián)立（不同的）方程組，得，得b=3，因此在中，由余弦定理可知

解法2：記△ABC的內(nèi)角B的對(duì)邊為，由，得，知，所以所以M，G，N三點(diǎn)共線，得點(diǎn)G的軌跡為直線MN，由，得.在△ABC中，由余弦定理可知

教師在投影展示解法1后問(wèn)學(xué)生“你對(duì)自己的解法滿意嗎？”“通過(guò)解法1中點(diǎn)M，N的位置及剛剛學(xué)習(xí)的例1，你有哪些新的想法？”之后教師展示（少數(shù)學(xué)生在教師提示前已獨(dú)立思考得到）解法2，并與學(xué)生一起回顧數(shù)乘向量的定義及實(shí)數(shù)的常見(jiàn)變換并強(qiáng)調(diào)向量中的三點(diǎn)共線定理是必修4教材第84頁(yè)的例3（投影展示）.

點(diǎn)評(píng)：教師正本清源，回歸教材，關(guān)注概念，注重過(guò)程，適度整合，讓學(xué)生在自然中深化知識(shí)（向量的投影、向量中的三點(diǎn)共線定理等），領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想（數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等）.教師沒(méi)被少數(shù)資優(yōu)生拉快教學(xué)進(jìn)度，而是基于學(xué)情，樂(lè)于等待，善于啟發(fā)，引領(lǐng)學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和理性思考的精神，對(duì)少數(shù)的資優(yōu)生與后進(jìn)生進(jìn)行單獨(dú)交流、個(gè)別指導(dǎo).解題倡導(dǎo)“就近上車”，教師就要讓學(xué)生看到車且能登上車.如例1解法2體現(xiàn)了極限思想，先展示公式法后展示定義法，變式中先呈現(xiàn)解析法再呈現(xiàn)公式法，使學(xué)生拾級(jí)而上，認(rèn)識(shí)從淺顯到深刻，思維從低階到高階.

例2已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（ ）.

解法1：以線段BC的中點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則C（1，0），設(shè)P（x，y），下略.

解法2：記BC的中點(diǎn)為點(diǎn)D，則，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為DA的中點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立.

解法1為通性通法，（部分學(xué)生發(fā)現(xiàn)）A，B，C位置相對(duì)固定，可直接利用向量的極化公式（a-b）2］來(lái)求解.教師指出本題為2017年全國(guó)卷Ⅱ理科第12題，解法1為解析法，解法2為幾何法，還有均值不等式法等，并提醒學(xué)生仔細(xì)審題，力求“多想少算”，用深刻的思維代替熟練的操作.

變式：已知不共線的兩個(gè)向量a，b滿足|a-b|=2，且a⊥（a-2b），則|b|=（ ）.

解法1：由a⊥（a-2b），得a·（a-2b）=a2-2ab=0，由|ab|=2，得a2-2ab+b2=4，從而得b2=4，即|b|=2.

解法2：作a-2b，如圖2所示，由a⊥（a-2b）知∠AOC為直角，取AC的中點(diǎn)為D，則，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)知，因此有

圖2

解法3：由a⊥（a-2b），得，從而有|b|=|a-b|=2.

教師呈現(xiàn)解法1后追問(wèn)結(jié)論（|b|=|a-b|）“是巧合還是必然？”“你還能從不同的角度給出解釋嗎？”向量是溝通幾何與代數(shù)的橋梁，學(xué)生重新審視條件，給出解法2與解法3.解法2給出了向量垂直的不同表征，解法3根據(jù)目標(biāo)對(duì)條件實(shí)施恒等變形，而2a=（a+b）+（a-b），2b=（a+b）-（a-b）等變形在實(shí)數(shù)變換中司空見(jiàn)慣，通過(guò)類比遷移來(lái)強(qiáng)化聯(lián)系.

點(diǎn)評(píng)：教師強(qiáng)化恒等變形，例2中解法2本質(zhì)為消元法構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，比代數(shù)法更加清楚直觀.教師通過(guò)例題展現(xiàn)出高考題是如何實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生思維能力的考查，揭開(kāi)了高考題神秘的面紗，減緩甚至消除了學(xué)生對(duì)高考題的陌生感與恐懼感.教學(xué)不能止于正確結(jié)論的獲得，更應(yīng)該提倡學(xué)生學(xué)會(huì)獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，從而促進(jìn)創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展.變式相對(duì)基礎(chǔ)，平凡而不平淡，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維、深入反思，充分發(fā)揮“小問(wèn)題，大道理”的作用，使學(xué)生的觀察力以及思維品質(zhì)在潛移默化中進(jìn)階、優(yōu)化、提升，同時(shí)獲得精神上的愉悅.

例3已知，|b|=3，a與b夾角為45°，求使a+λb與λa+b夾角為銳角的實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

解法1：由已知得

解法2：（a+λb）（λa+b）=3λ2+11λ+3.由a+λb與λa+b夾角為銳角，得3λ2+11λ+3＞0，則而當(dāng)a+λb與λa+b同向時(shí)，存在正實(shí)數(shù)μ＞0滿足a+λb=u（λa+b），有得λ=1或λ=-1（舍）.所以實(shí)數(shù)λ的取值范圍為

幾乎每個(gè)學(xué)生都采用解法2來(lái)解題，教師讓學(xué)生分析解法1與解法2，明晰問(wèn)題的邏輯，體會(huì)解法2的割補(bǔ)法和化歸與轉(zhuǎn)化思想，強(qiáng)調(diào)化歸與轉(zhuǎn)化過(guò)程中的等價(jià)性.

變式：設(shè)向量a、b、c滿足c〉=60°，則|c|的最大值等于（ ）.

圖3

又因?yàn)椤碼-c，b-c〉=60°，所以O(shè)，A，C，B四點(diǎn)共圓.所以當(dāng)OC為圓的直徑時(shí)，|c|最大，此時(shí)∠OAC=∠OBC=90°，則∠ACO=∠BCO=30°，所以可 得

教師結(jié)合選項(xiàng)從最大值（邊界的函數(shù)值）概念的角度肯定了答案的正確性.要求學(xué)生反思求解過(guò)程，此時(shí)有少數(shù)學(xué)生（搶答）意識(shí)到圖形的對(duì)稱性，教師引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)角度確定c的“終點(diǎn)”位置，學(xué)生以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建系求解無(wú)疾而終.又嘗試根據(jù)OA與OB的對(duì)稱性建系簡(jiǎn)化運(yùn)算，得到如下解法2.

解法2：設(shè)則，則∠AOB=120°.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，∠AOB角平分線為x軸建系，如圖4所示，則設(shè)，則由°，得

圖4

平方整理得

則有（x-1）2+y2=1或x2+y2=1（且滿足≥0），即點(diǎn)C的軌跡為（以（1，0）為圓心，1為半徑的）和（以（0，0）為圓心，1為半徑的）故當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí)，|c|最大，最大值為2.

教師指出解法1只考慮了凸四邊形而遺漏了凹四邊形的情況，強(qiáng)調(diào)數(shù)形轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，謹(jǐn)防形的誤導(dǎo).教師組織學(xué)生再次對(duì)題目條件進(jìn)行推敲，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)是“已知，求點(diǎn)C的軌跡”的解三角形問(wèn)題.

點(diǎn)評(píng)：用非零向量a與b的數(shù)量積來(lái)刻畫a與b的夾角要用到向量a與b的模，過(guò)程繁瑣，而a·b＞0等價(jià)于〈a，b〉其中a與b共線易于判定，利用“多退少補(bǔ)”等價(jià)轉(zhuǎn)化.例3解法2的本質(zhì)是先利用結(jié)論的必要條件再驗(yàn)證其充分性.多數(shù)學(xué)生解題推理不夠嚴(yán)密，書寫不夠規(guī)范，變式解法1實(shí)質(zhì)是用充分條件代替充要條件，因?yàn)樵摮浞謼l件包含“最大值點(diǎn)”，出現(xiàn)了邏輯錯(cuò)誤而答案正確的情形，解法2不僅為問(wèn)題提供了幾何背景，更為學(xué)生的學(xué)習(xí)敲響了警鐘，也對(duì)命題人提出了更高的要求.

三、教學(xué)思考

高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)需要對(duì)學(xué)過(guò)的基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行歸納整理，同時(shí)還要對(duì)某些內(nèi)容重點(diǎn)突破、深度挖掘，實(shí)現(xiàn)各部分內(nèi)容之間的銜接與整合，促進(jìn)知識(shí)的融會(huì)貫通與思想方法的相互滲透，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和綜合素養(yǎng).

1.解讀綱領(lǐng)文件 深入研究教材

高考考什么？怎么考？教師要了如指掌，學(xué)生要心中有數(shù).以理科為例，基于高考命題的穩(wěn)定性，教師應(yīng)反復(fù)研讀《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》，深入解讀上一年的《普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱（理科）》、《普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱的說(shuō)明（理科）》，精準(zhǔn)領(lǐng)悟近幾年的《高考理科試題分析（語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)分冊(cè)）》，待新文件頒布后只需微調(diào)即可.教師要弄清目標(biāo)導(dǎo)向，反復(fù)研習(xí)教材，如在授課中，受限于（期中、期末等）統(tǒng)考進(jìn)度和學(xué)生認(rèn)知水平等原因，教師對(duì)部分內(nèi)容只能采用抓大（主干重點(diǎn)）放?。ň聝?nèi)涵）且混而不錯(cuò)的方式教學(xué)，復(fù)習(xí)時(shí)則需要對(duì)此查缺補(bǔ)漏，正本清源，打好基礎(chǔ)，切實(shí)弄透教材中的每一個(gè)概念、公式、法則、性質(zhì)、公理、定理，充分發(fā)揮教材中例題、習(xí)題的功能，通過(guò)變式推廣，學(xué)生由淺入深，潛移默化地加深對(duì)問(wèn)題的理解.如“充要條件”內(nèi)容安排在選修教材2-1中，必修4新授課時(shí)只能用描述性語(yǔ)言講解例3，復(fù)習(xí)課時(shí)則應(yīng)和盤托出，又如例1中對(duì)向量的投影概念的理解，其變式利用數(shù)乘向量對(duì)條件標(biāo)準(zhǔn)化（向量的三點(diǎn)共線定理）等根植教材，只有深入研究教材才能最大限度地發(fā)揮教材的育人功能.

2.構(gòu)建知識(shí)體系 強(qiáng)化推陳出新

人的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是動(dòng)態(tài)的、開(kāi)放的.教學(xué)時(shí)應(yīng)掌握課程的整體結(jié)構(gòu)，分析教材的知識(shí)結(jié)構(gòu)及前后的邏輯關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生厘清新授課中孤立的、不連續(xù)的知識(shí)之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)知識(shí)的本質(zhì)，讓學(xué)生搭建起穩(wěn)定而有序的知識(shí)結(jié)構(gòu).當(dāng)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)產(chǎn)生沖突時(shí)，就會(huì)對(duì)原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)產(chǎn)生質(zhì)疑、思辨、整合，重新構(gòu)建更加兼容穩(wěn)固的認(rèn)知結(jié)構(gòu).一輪復(fù)習(xí)與二輪復(fù)習(xí)絕不是時(shí)間上的區(qū)別，而是立足于學(xué)情的統(tǒng)籌安排.復(fù)習(xí)時(shí)要避免說(shuō)教，要用新穎的情境、出乎意外而又情理之中的方式（內(nèi)容理解、解法呈現(xiàn)等）提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引領(lǐng)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界.教師要提供足夠的時(shí)間與空間讓學(xué)生嘗試多方切入，提高學(xué)生的思辨能力、整合意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).如例2的解答不能止于解法1，要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解法2.例2的變式通過(guò)特殊與一般的思考，借助數(shù)形結(jié)合思想，使解法2與解法3給人以美的感受.

3.聚焦數(shù)學(xué)本質(zhì) 積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

現(xiàn)象千變?nèi)f化，本質(zhì)始終如一.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要分清問(wèn)題的源與流，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì).只有抓住問(wèn)題的本質(zhì)，才不會(huì)被現(xiàn)象所蒙蔽，才能切實(shí)感受到數(shù)學(xué)的力量.數(shù)學(xué)本質(zhì)的發(fā)現(xiàn)不是一蹴而就的，過(guò)程曲折甚至非常艱難，這就需要學(xué)生具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)、沉著冷靜的思考方式以及鍥而不舍的探究精神等.通過(guò)對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的探尋過(guò)程，發(fā)展學(xué)生思維，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)人生智慧.本節(jié)課所選內(nèi)容簡(jiǎn)單平實(shí)，教學(xué)處理層次分明，問(wèn)題本質(zhì)逐步凸顯，學(xué)生經(jīng)驗(yàn)不斷提升.H