“質(zhì)數(shù)與合數(shù)”教學(xué)要解決兩個“為什么”

余志敏

[摘 要]“質(zhì)數(shù)與合數(shù)”教學(xué)既要重視概念的產(chǎn)生過程，抓住概念由分類而定義的必要性，解決“為什么要將非零自然數(shù)的因數(shù)的個數(shù)分成三類”這個問題，又要重視對概念內(nèi)涵的理解，了解由此產(chǎn)生的新名詞的含義，解決“為什么質(zhì)數(shù)叫‘質(zhì)數(shù)”這個問題。

[關(guān)鍵詞]質(zhì)數(shù);合數(shù);概念教學(xué)

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）05-0035-02

“質(zhì)數(shù)與合數(shù)”是人教版教材五年級下冊第二單元“因數(shù)與倍數(shù)”的教學(xué)內(nèi)容，在其他版本的教材中也是必學(xué)內(nèi)容，同時它又是學(xué)習(xí)最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)、分數(shù)的約分與通分的重要基礎(chǔ)。這個知識的重要性不言而喻。每一位經(jīng)歷此課教學(xué)的教師亦會高度重視，努力上好此課。

一、話題緣起

在學(xué)校的集體教研活動中，有教師呈現(xiàn)了“質(zhì)數(shù)與合數(shù)”一課，筆者聽完課后感觸甚多，特別是對質(zhì)數(shù)與合數(shù)這兩個概念建構(gòu)過程中如何抓住概念的內(nèi)涵有一些新的想法。

【課堂回放】

師：請同學(xué)們小組合作找出1～20各數(shù)的因數(shù)。

（學(xué)生小組匯報）

師：它們的因數(shù)的個數(shù)有什么規(guī)律？請?zhí)钊胂卤怼?/p>

[只有1個 2個 2個以上 ]

（學(xué)生匯報，教師根據(jù)學(xué)生的回答進行板書，歸納出質(zhì)數(shù)與合數(shù)的定義）

師：如果用一個集合圈表示，可以分幾類？

生1：分成“1”、質(zhì)數(shù)和合數(shù)三類。

師：自然數(shù)之前是怎樣分類的？

生2：分成奇數(shù)和偶數(shù)。

師：請判斷你們的學(xué)號是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)。

……

【課后反思】

在第一環(huán)節(jié)中，待學(xué)生找出1～20各數(shù)的因數(shù)后，教師給出將因數(shù)分成“只有1個”、“2個”和“2個以上”三類的表格讓學(xué)生填寫，學(xué)生并不知道為什么要按三類去分，只是生搬硬套，把數(shù)往表格里面填。此環(huán)節(jié)流于分類的表面，為分而分，沒有引發(fā)深層次的思考。分類是一種重要的數(shù)學(xué)思想，此處教師未能帶領(lǐng)學(xué)生體會分類的重要性和必要性，未能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)概念是由分類定義的本質(zhì)內(nèi)涵。第二個環(huán)節(jié)中，用集合圈的表示方法毫無必要，表格式的三類和集合圈式的三類在表征上差別不大。筆者認為，表格式的表征比集合圈的表征更為科學(xué)。在第三個環(huán)節(jié)中，教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧自然數(shù)根據(jù)是否是2的倍數(shù)分成奇數(shù)和偶數(shù)的設(shè)計也非常不合適，此時學(xué)生還沒有建立好新概念，就容易混淆概念，干擾新概念的形成。這種比較適合放在新概念的形成、辨析和應(yīng)用之后，也就是放在這節(jié)課的練習(xí)后面或者是下一節(jié)練習(xí)課中。如果去掉這兩個環(huán)節(jié)，將省下的時間用于引出具體概念的形成過程，用于加深概念的辨析，能幫助學(xué)生理解質(zhì)數(shù)與合數(shù)這兩個新概念，教學(xué)效果會更好。

二、質(zhì)數(shù)與合數(shù)教學(xué)要解決兩個“為什么”

1.為什么要將非零自然數(shù)的因數(shù)的個數(shù)分成三類？

對于“質(zhì)數(shù)與合數(shù)”的教學(xué)，教材的設(shè)計是先讓學(xué)生找出1～20各數(shù)的全部因數(shù)，再看看它們的因數(shù)的個數(shù)有什么規(guī)律，然后按照“只有一個因數(shù)的數(shù)”、“只有1和它本身兩個因數(shù)的數(shù)”和“有兩個以上的因數(shù)的數(shù)”分成三類，最后給出質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念，同時指出1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。

教材將分成三類的表格呈現(xiàn)出來，為了指引學(xué)生經(jīng)歷找規(guī)律的過程，以兩個孩子對話的形式進行呈現(xiàn)（如下圖）。

<G：＼刊物備份＼2019＼小教＼小教數(shù)學(xué)第2期＼內(nèi)文＼2s59.tif>[只有一個因數(shù)的數(shù) 只有1個和它本身兩個因數(shù)的數(shù) 有兩個以上因數(shù)的數(shù) ][找出1～20各數(shù)的因數(shù)，看看它們的因數(shù)的個數(shù)有什么規(guī)律。][有的數(shù)只有兩個因數(shù)，如5的因數(shù)是1和5。1只有因數(shù)1。][有的數(shù)的因數(shù)不止兩個……我們來給它們分分類吧！]

教材這樣的編寫能體現(xiàn)概念的形成過程，但可能是出于對篇幅的考慮，呈現(xiàn)方式過于直接、簡單，未能很好地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程。

作為課堂組織者的教師，應(yīng)當準確把握教學(xué)內(nèi)容的實質(zhì)和學(xué)生的實際情況，確定合理的教學(xué)目標，設(shè)計一個好的教學(xué)方案。對此，在教學(xué)中，教師應(yīng)當充分重視概念的形成過程，帶領(lǐng)學(xué)生充分經(jīng)歷找規(guī)律、分類的過程，理解將非零自然數(shù)的因數(shù)分成三類的合理性。

此過程可分為三步：（1）找出1～20各數(shù)的因數(shù);（2）看看它們的因數(shù)的個數(shù)有什么規(guī)律;（學(xué)生會發(fā)現(xiàn)有的數(shù)有2個因數(shù)，有的數(shù)有3個因數(shù)，有的數(shù)有4個因數(shù)……）（3）進行具體分類。有的學(xué)生會分別按“有1個因數(shù)”“有2個因數(shù)”“有3個因數(shù)”等進行分類，有的學(xué)生則是通過自學(xué)等方式知道要分成三類，具體為何這樣分則不清楚，有的學(xué)生通過自己分析，發(fā)現(xiàn)有2個因數(shù)的數(shù)比較多，最為特殊，可單獨作為一類，其他的則作為另一類。學(xué)生的這些想法都是正常的，都是值得肯定的。教師作為課堂的引導(dǎo)者，在學(xué)生交流討論的過程中，要因勢利導(dǎo)，要讓學(xué)生知道對事物進行分類的目的是為了更好地研究它，太多的分類是不合適的。在這些數(shù)中，最為特別的是有一些數(shù)只有1和它本身兩個因數(shù)，如1只有1個因數(shù)，而其他數(shù)都不止1和它本身兩個因數(shù)，還有其他的因數(shù)。在此基礎(chǔ)上教師就可以給出質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念。

2.解決“為什么質(zhì)數(shù)叫‘質(zhì)數(shù)？”

在“質(zhì)數(shù)與合數(shù)”教學(xué)中，我們要讓學(xué)生知道為什么把只有1和它本身兩個因數(shù)的數(shù)叫作“質(zhì)數(shù)”。

質(zhì)數(shù)為什么叫“質(zhì)數(shù)”呢？所謂“質(zhì)”，詞典中的基本釋義之一是本體、本性，表示最根本、最核心的。物理學(xué)家研究物質(zhì)的基本構(gòu)成時在原子核中發(fā)現(xiàn)了質(zhì)子，以為這是基本粒子，無法再分，故取名為“質(zhì)子”。在這里，“質(zhì)”表示無法再分的意思。

查閱數(shù)學(xué)史發(fā)現(xiàn)，中國人接觸并研究“質(zhì)數(shù)”這個名詞，是從歐幾里得《幾何原本》開始的，清朝康熙六十一年開始譯為“數(shù)根”。清朝末年，因社會動蕩、學(xué)術(shù)混亂，“素數(shù)”等叫法開始出現(xiàn)。20世紀初期，數(shù)學(xué)名詞術(shù)語的譯名極不統(tǒng)一，在1918年由數(shù)學(xué)家胡明復(fù)與姜立夫一起負責(zé)撰寫《算學(xué)名詞》，《算學(xué)名詞》一書將素數(shù)定名為“質(zhì)數(shù)”。當時的學(xué)者可謂用心良苦，他們考慮到“素”與“數(shù)”讀音接近，易混淆，而“質(zhì)”與“素”一樣，均表示“根本”之義，故取名“質(zhì)數(shù)”。

2000多年前，古希臘的數(shù)學(xué)家已提出，“質(zhì)數(shù)”為構(gòu)成正整數(shù)的基本“材料”，為一個單位;而合數(shù)則意味著多個單位的組合，它可以分解成幾個質(zhì)因數(shù)相乘的形式，而質(zhì)數(shù)無法分解。

當然，我們沒必要跟學(xué)生講太多太深，但教師自己應(yīng)該知道這個數(shù)學(xué)名詞的含義。在教學(xué)時，教師可簡單地出示幾個數(shù)，讓學(xué)生辨析是合數(shù)還是質(zhì)數(shù)，并知道合數(shù)可以分解成其他數(shù)相乘的形式，而質(zhì)數(shù)無法分解，除了寫成1乘它本身的形式外，不能寫成其他數(shù)相乘的形式，以此理解“質(zhì)”表示的是無法再分的意思。知道了名詞的含義，“質(zhì)數(shù)”和“合數(shù)”也就鮮活起來，學(xué)生也能把這個名詞和對應(yīng)的數(shù)建立緊密的對接。

綜上所述，“質(zhì)數(shù)與合數(shù)”的教學(xué)中要解決“為什么要將非零自然數(shù)的因數(shù)的個數(shù)分成三類”和“為什么質(zhì)數(shù)叫‘質(zhì)數(shù)”兩個問題，抓住概念由分類而定義的必要性，深化概念的形成過程，并了解由此產(chǎn)生的新名詞的含義，理解概念的內(nèi)涵。

（責(zé)編黃春香）