乘法模型及其對(duì)乘法概念形成的價(jià)值探析

陳新超

[摘 要]乘法概念是乘法計(jì)算與應(yīng)用的基礎(chǔ)。各版本教材在設(shè)置“乘法”教學(xué)內(nèi)容時(shí)，都加入了豐富的乘法模型。不同特征的乘法模型，對(duì)教學(xué)到底有什么價(jià)值，如何開發(fā)這些價(jià)值，需要細(xì)細(xì)研究。搞清這些問題，教師就能精準(zhǔn)把握教材，使教學(xué)活動(dòng)有的放矢。

[關(guān)鍵詞]乘法模型;概念形成;價(jià)值

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2019）02-0036-01

研究人教版教材發(fā)現(xiàn)，小學(xué)乘法內(nèi)容涉及四大模型：（1）同類量合并模型;（2）倍率模型;（3）物品分配模型;（4）四邊形面積模型。此外還有一些非典型模型，如計(jì)價(jià)模型、時(shí)速模型、幾何倍增模型等。豐富的乘法模型，為教師研究乘法概念的形成提供了參考。

一、全面統(tǒng)計(jì)，教材中乘法模型各有側(cè)重

統(tǒng)計(jì)各類乘法模型，發(fā)現(xiàn)有如下特點(diǎn)：

其一，乘法的不同模型出現(xiàn)頻率不均衡。據(jù)權(quán)威統(tǒng)計(jì)，人教版教材中的乘法模型共計(jì)307個(gè)，其中“同類量合并模型”148個(gè)，占比48.2%，佐證了“同類量合并模型”為第一模型的觀點(diǎn)。

在四種主要模型中，“物品分配模型”僅有12個(gè)，而提供物品分配模型的初衷，并不是介紹乘法的功能，而是為了滲透數(shù)學(xué)思想方法?？梢哉f，真正意義上的“物品分配模型”數(shù)量為零，亟待補(bǔ)充完善。

在非典型模型中，商品計(jì)價(jià)模型、時(shí)速模型分別為10個(gè)和12個(gè)，工效模型只有3個(gè)，說明商品計(jì)價(jià)模型和時(shí)速模型為主要模型。

其二，各種乘法模型集中于中年段。二、三年級(jí)，乘法模型主要是加法和倍率模型。三年級(jí)下學(xué)期，學(xué)生接觸了16個(gè)加法模型和17個(gè)四邊形面積模型。到四年級(jí)，學(xué)生接觸4個(gè)計(jì)價(jià)模型和6個(gè)時(shí)速模型。至此，基本完成了對(duì)整數(shù)乘法主要模型的積累。

五年級(jí)小數(shù)乘法意義的理解以豐富的乘法模型為依托，讓學(xué)生在處理豐富的模型過程中，將整數(shù)乘法意義類比遷移到小數(shù)乘法意義上。如：

由上表可知，因?yàn)檎n程改革，小數(shù)乘法的意義不再細(xì)分為小數(shù)乘整數(shù)和小數(shù)乘小數(shù)，因此編者意圖通過乘法模型的共融性（物品分配模型不適用于小數(shù)乘法）直接一次性建構(gòu)小數(shù)乘法概念。

盡管六年級(jí)設(shè)計(jì)的乘法模型品類齊全，但是倍率模型數(shù)量暴增至52個(gè)，占比61.2%，反映出倍率模型成為傳輸乘法概念的主要載體。

二、形式多樣，乘法模型讓概念更加豐富

第一，鞏固同類量合并模型的基礎(chǔ)作用。相同數(shù)量連續(xù)相加是一切乘法模型的基礎(chǔ)。學(xué)生最初認(rèn)識(shí)乘法，是從“相同加數(shù)連續(xù)相加”開始的，無論是哪一章，只要涉及乘法，相同加數(shù)連續(xù)相加都是首選模型——將幾個(gè)相同加數(shù)的和簡(jiǎn)寫為乘法形式。另外，每一種新的乘法模型的出現(xiàn)，都是先將其轉(zhuǎn)化成加法模型，如倍率模型：2的3倍需要構(gòu)設(shè)出3個(gè)2相加;求長(zhǎng)3米、寬2米的長(zhǎng)方形面積的四邊形面積模型，要將長(zhǎng)方形劃分成6個(gè)邊長(zhǎng)為1米的正方形，然后用“每行3個(gè)[×]2行=6個(gè)”來推演。

第二，乘法倍率模型的深入剖析。倍率模型是一種新型的乘法模型，應(yīng)該引起高度重視。倍率問題一旦類推遷移到小數(shù)領(lǐng)域，受漢語(yǔ)言語(yǔ)法的影響，學(xué)生理解起來會(huì)很費(fèi)勁。如理解“8的4倍”容易，就是用8[×]4來表示4個(gè)8連加，但是理解“用8[×14]來計(jì)算8的[14]倍”就很困難。因此，教師要對(duì)倍率模型的意義進(jìn)行深入剖析。

第三，四邊形面積模型的妙用。四邊形面積模型很直觀，可以作為理解同類量合并模型的素材，也可用來揭示分?jǐn)?shù)乘法的算理。在初次接觸乘法時(shí)，可結(jié)合圖1和圖2來說明。計(jì)算圖1圓圈的數(shù)量就是用相同加數(shù)的連續(xù)加法，為“5個(gè)[×]3堆”，而轉(zhuǎn)化為圖2后，加法模型則轉(zhuǎn)化為四邊形面積模型，為“底5（5列）[×]高3（3層）=面積15平方（個(gè)）”。

綜上，學(xué)生在學(xué)完全部的乘法模型后，教師要匯總梳理，使學(xué)生在深入掌握乘法后，摸透乘法的應(yīng)用面，系統(tǒng)建構(gòu)整數(shù)乘法，為小數(shù)乘法的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。學(xué)生學(xué)完分?jǐn)?shù)乘法后，還需進(jìn)行二輪梳理，認(rèn)識(shí)到物品分配模型不適用于分?jǐn)?shù)，進(jìn)而第二次構(gòu)建乘法體系。

（責(zé)編 黃春香）