斜坡型需求率且短缺量部分拖后的改良品庫存模型

張云豐，王 勇，龔本剛

（1.安徽工程大學 管理工程學院，安徽 蕪湖 241000；2.重慶大學 經(jīng)濟與工商管理學院，重慶 400030）

0 引言

改良品（Ameliorating Items）在庫存持有期間會隨著時間的推移而發(fā)生重量增加、數(shù)量增長或質(zhì)量改善的現(xiàn)象，從而使物品的經(jīng)濟價值或效用得到提升。改良品廣泛存在于農(nóng)業(yè)、漁業(yè)、家禽養(yǎng)殖業(yè)等行業(yè)，如養(yǎng)殖場中處于生長期的肉雞、豬欄中的育肥豬及種豬、果園中尚未采摘的水果，魚塘中具有高度繁殖率的魚類、酒莊中的高檔酒類等。Wee等（2008）指出少量的改良品訂貨可憑直覺或經(jīng)驗完成而影響不大，對大規(guī)模的改良品訂貨問題，按照科學合理的方法進行是非常必要的。Chou等（2008）指出改良品在存儲期的特點與易變質(zhì)品正好相反，其訂貨問題值得開展深入研究。

一些產(chǎn)品在剛進入市場時，消費者對其需求率往往隨時間呈增長趨勢，待達到穩(wěn)定階段后，需求率才保持恒定?！靶逼滦汀毙枨髣t較形象地描述了需求率的這種特征，并引起學者們廣泛的關(guān)注，相關(guān)的研究成果也甚為豐富。本文在前人研究的基礎(chǔ)上，結(jié)合改良品的庫存特點，考慮允許缺貨且短缺量部分拖后供應(yīng)，建立改良品庫存模型，并尋求改良品最優(yōu)庫存補充策略。需要說明的是，在改良品與易變質(zhì)品庫存持有期間，雖然兩者物理特性上的變化可視為互逆過程，但由于產(chǎn)品的改良需要承擔相應(yīng)的改良成本，因此，改良品比易變質(zhì)品的總成本函數(shù)也更為復(fù)雜。

1 基本假設(shè)與符號說明

本文在建立改良品庫存模型過程中使用的基本假設(shè)和符號說明如下：

（1）每次補充的數(shù)量恒定且補充速率無窮大；

（2）零售商訂貨提前期為零；

（3）允許缺貨且短缺量部分拖后，拖后率為β；

（4）B為拖后補充的最大短缺量，B′為理論最大短缺量，滿足B=βB′；

（5）T為固定的訂貨周期長度；

（6）Co為每次訂貨的訂購成本；

（7）Cr為每單位改良品的采購成本，記單位采購成本；

（8）Ch為每單位改良品單位時間的存儲成本，記單位存儲成本；

（9）Cs為每單位改良品單位時間的缺貨成本，記單位缺貨成本；

（10）Ca為庫存期間因改良而增加單位物品的改良成本，記單位改良成本；

（11）Cd為每單位改良品因失去銷售機會而引起的機會成本，記單位機會成本；

（12）θ為單位時間物品的改良率，庫存期間保持恒定且0＜θ＜＜1；

（13）S為每個訂貨周期[0，T]內(nèi)的最大庫存水平，即S=I(0)；

（14）I(t)為每個訂貨周期[0，T]內(nèi)任意時刻t的庫存水平；

（15）t1為每個訂貨周期[0，T]內(nèi)庫存水平降為零的時刻；

（16）R(t)為斜坡型需求率，滿足R(t)=D[t-(t-μ)H(tμ)]，D＞0，H(t-μ)是Heaviside函數(shù)為需求拐點（線性需求部分與常數(shù)需求部分的交叉點）。

2 改良品庫存模型

每個訂貨周期[0，T]分為兩個階段：第一階段為[0，t1]，本階段在市場需求和自身改良的共同作用下，庫存水平從0時刻的最大值S下降到t1時刻的零庫存；第二階段為[t1，T]，本階段一直處于缺貨狀態(tài)，其中，β比例的顧客繼續(xù)等待，需求在下一次補充時得到滿足，而(1-β)比例的顧客不能容忍缺貨，放棄繼續(xù)等待。整個訂貨周期[0，T]內(nèi)的需求變化用以下兩個微分方程刻畫為：

根據(jù)需求拐點μ與零庫存時刻t1的關(guān)系，需要分兩種情形來建立改良品庫存模型。

2.1 模型一 0≤μ≤t1(見圖1)

在該情形下，微分方程（1）和方程（2）轉(zhuǎn)化為：

圖1 0≤μ≤t1時的庫存模型

結(jié)合邊界條件，解微分方程（3）至方程（5），得到：

結(jié)合I(μ-)=I(μ+)，可知：

因此，在一個完整的訂貨周期[0，T]內(nèi)，物品改良的總數(shù)量為：

考慮到0＜θ＜＜1，故在計算過程中略去θ的二次及以上項，下同。

最大短缺量和失去銷售機會的需求量分別為：

零售商在一個訂貨周期[0，T]內(nèi)的總成本由訂貨成本OC1、采購成本PC1、庫存成本HC1、缺貨成本SC1、改良成本AC1及機會成本KC1六部分組成：

零售商的單位時間總成本為：

零售商單位時間總成本取得最小值的必要條件是：

經(jīng)化簡后得到：

令L1=3θCh，M1=2(Ch+βCs+θCa-θCr)，N1=2[(1-β)(Cr-Cd)-βCsT]，則式（14）轉(zhuǎn)化為：

顯然，有L1＞0，M1＞0(0＜θ＜＜1)。因此，當且僅當N1-M12/4L1≤0時，存在唯一正根M1)/2L1滿足題意。若：

則零售商單位時間總成本取得最小值的充分條件成立。用替代式（9）中的t1，得到每個訂貨周期初最優(yōu)庫存水平：

每個訂貨周期末最大短缺量：

零售商每次最優(yōu)訂貨數(shù)量：

零售商最小單位時間總成本：

2.2 模型二t1≤μ≤T(見圖2)

在該情形下，微分方程（1）和方程（2）轉(zhuǎn)化為：

結(jié)合邊界條件，解微分方程（21）至方程（23），得到：

考慮到I(0)=S，可知：

圖2 t1≤μ≤T時庫存模型

因此，在一個完整的訂貨周期[0，T]內(nèi)，物品改良的總數(shù)量為：

最大短缺量和失去銷售機會的需求量分別為：

零售商在一個訂貨周期[0，T]內(nèi)的總成本由訂貨成本OC2、采購成本PC2、庫存成本HC2、缺貨成本SC2、改良成本AC2及機會成本KC2六部分組成：

零售商的單位時間總成本為：

零售商單位時間總成本取得最小值的必要條件是：

考慮到t1≠0，經(jīng)化簡后得：

令L2=θCh，M2=-2(Ch+βCs+θCa-θCr)，N2=-2[(1-β)(Cr-Cd)-βCsT]，則式（32）轉(zhuǎn)化為：

顯然，有L2＞0，M2＜0(0＜θ＜＜1)。因此，當且僅當N2-/4L2≤0時，存在唯一正根t1==(-M2-滿足題意。若：

則零售商單位時間總成本取得最小值的充分條件成立。用替代式（27）中的t1，得到每個訂貨周期初最優(yōu)庫存水平：

每個訂貨周期末最大短缺量：

零售商每次最優(yōu)訂貨數(shù)量

零售商最小單位時間總成本：

3 數(shù)值算例及敏感性分析

3.1 數(shù)值算例

例1：對模型一中各參數(shù)賦值如下：Co=50元/次；Cr=10元/單位；Ch=5元/單位·年；Cs=6元/單位·年；Ca=4元/單位；Cd=16元/單位；D=100單位，μ=0.12年；θ=0.1；β=0.8；T=1年。將上述參數(shù)代入式（14），解得=0.621。經(jīng)驗證，=0.621滿足式（16）取得最優(yōu)值的充分條件。同時，解得每個訂貨周期初最優(yōu)庫存水平S*=6.504，每個訂貨周期末最大短缺量B*=3.638，則零售商每次最優(yōu)訂貨數(shù)量Q*=S*+B*=10.142；零售商的單位時間總成本=183.171。

例2：對模型二中各參數(shù)賦值如下：Co=50元/次；Cr=10元/單位；Ch=5元/單位·年；Cs=6元/單位·年；Ca=4元/單位；Cd=16元/單位；D=100單位，μ=0.90年；θ=0.1；β=0.8；T=1年。將上述參數(shù)代入式（31），解得=0.664。經(jīng)驗證，=0.664滿足式（33）取得最優(yōu)值的充分條件。同時，解得每個訂貨周期初最優(yōu)庫存水平S**=21.069，每個訂貨周期末最大短缺量B**=21.964，則零售商每次最優(yōu)訂貨數(shù)量Q**=S**+B**=43.033；零售商的單位時間總成本=640.614。

3.2 敏感性分析

下面將考察改良率θ、拖后率β、單位缺貨成本Cs、單位機會成本Cd及單位改良成本Ca變動+25%、+10%、-10%、-25%時，對上述模型一和模型二中主要決策變量值的影響情況，分別見表1和表2所示。為了便于對敏感程度做出說明，給出如下規(guī)定：若δ∈[0，10%)，則不敏感；若δ∈[10%，30%)，則稍敏感；若δ∈[30%，60%)，則較敏感；若δ∈[60%，100%)，則很敏感；若δ∈[100%，+∞)，則極敏感。其中，δ表示因變量變動比率與自變量變動比率的絕對值。

表1 0≤μ≤t1時的敏感性分析

從表1中的數(shù)據(jù)可以看出：（1）隨著改良率θ遞減，零庫存時刻逐漸減小，最大庫存水平S*、最大短缺量B*、最優(yōu)訂貨數(shù)量Q*、最小單位時間總成本逐漸增大，且敏感程度表現(xiàn)為不敏感；（2）隨著拖后率β遞減，零庫存時刻、最大庫存水平S*、最小單位時間總成本逐漸增大，最大短缺量B*、最優(yōu)訂貨數(shù)量Q*逐漸較小，且敏感程度介于稍敏感與極敏感之間；（3）隨著單位缺貨成本Cs遞減，零庫存時刻、最大庫存水平S*、最優(yōu)訂貨數(shù)量Q*、最小單位時間總成本逐漸減小，最大短缺量B*逐漸增大，且敏感程度介于不敏感與較敏感之間；（4）隨著單位機會成本Cd遞減，零庫存時刻、最大庫存水平S*、最優(yōu)訂貨數(shù)量Q*、最小單位時間總成本逐漸減小，最大短缺量B*逐漸增大，且敏感程度介于不敏感與很敏感之間；（5）隨著單位改良成本Ca遞減，零庫存時刻、最大庫存水平S*、最優(yōu)訂貨數(shù)量Q*逐漸增大，最大短缺量B*、最小單位時間總成本逐漸減小，且敏感程度表現(xiàn)為不敏感。

表2 t1≤μ≤T時的敏感性分析

從表2中的數(shù)據(jù)可以看出：（1）隨著改良率θ遞減，零庫存時刻、最大庫存水平S**逐漸減小，最大短缺量B**、最優(yōu)訂貨數(shù)量Q**、最小單位時間總成本逐漸增大，且敏感程度介于不敏感與稍敏感之間；（2）隨著拖后率β遞減，零庫存時刻、最大庫存水平S**、最小單位時間總成本逐漸增大，最大短缺量B**、最優(yōu)訂貨數(shù)量Q**逐漸較小，且敏感程度介于稍敏感與極敏感之間；（3）隨著單位缺貨成本Cs遞減，零庫存時刻、最大庫存水平S**、最優(yōu)訂貨數(shù)量Q**、最小單位時間總成本逐漸減小，最大短缺量B**逐漸增大，且敏感程度介于不敏感與較敏感之間；（4）隨著單位機會成本Cd遞減，零庫存時刻、最大庫存水平S**、最優(yōu)訂貨數(shù)量Q**、最小單位時間總成本逐漸減小，最大短缺量B**逐漸增大，且敏感程度介于稍敏感與極敏感之間；（5）隨著單位改良成本Ca遞減，零庫存時刻、最大庫存水平S**、最優(yōu)訂貨數(shù)量Q**逐漸增大，最大短缺量B**、最小單位時間總成本逐漸減小，且敏感程度表現(xiàn)為不敏感。

4 結(jié)論與展望

改良品是日常生活中常見的一類物品，但改良品的訂貨問題尚沒有引起學者們足夠的重視。本文在假設(shè)改良品的需求率服從斜坡型分布及改良率保持恒定的基礎(chǔ)上，考慮允許缺貨且短缺量部分拖后，根據(jù)需求拐點與零庫存時刻出現(xiàn)的先后關(guān)系，分別建立不同情形下的零售商訂貨決策模型，給出數(shù)值算例模擬訂貨決策過程，通過敏感性分析探討了模型部分參數(shù)變動對主要決策變量值的影響方式。

不同類型改良品在持有期間的改良率變化規(guī)律也會不同，現(xiàn)有文獻中已見的有常數(shù)分布、兩參數(shù)威布爾分布，及LOGISTIC分布。實際上，改良品在持有期間的改良狀況往往比較復(fù)雜，以某一種分布來精確刻畫是很困難的。本文的研究旨在討論斜坡型需求下允許缺貨的改良品庫存問題，因此對改良率做了簡單處理，僅以常數(shù)改良率為例。在后續(xù)的研究中，將進一步結(jié)合不同種類改良品的改良特征，搜集改良品持有期間的改良數(shù)據(jù)，擬合改良品的改良曲線，從而建立更具有實際可操作性的理論模型。