信息光學(xué)視角下菲涅耳雙棱鏡干涉的研究

張穎濤，李洪國(guó)

(天津理工大學(xué) 理學(xué)院，天津 300384)

1 引 言

19世紀(jì)初，英國(guó)物理學(xué)家托馬斯·楊實(shí)現(xiàn)了雙縫干涉，實(shí)驗(yàn)上觀察到明暗相間的干涉條紋，并測(cè)定了光的波長(zhǎng)。楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)是物理學(xué)中最基本、最重要的實(shí)驗(yàn)之一，有助于人們理解光的波粒二向性。與楊氏雙縫干涉類似的雙棱鏡干涉由法國(guó)物理學(xué)家菲涅耳于1826年實(shí)現(xiàn)[1]。 菲涅耳雙棱鏡干涉也是物理學(xué)中一個(gè)重要實(shí)驗(yàn)。國(guó)內(nèi)前期雙棱鏡干涉實(shí)驗(yàn)研究中主要是關(guān)于雙棱鏡的放置方式[2]、虛光源間距的測(cè)量方法[3]、裝置調(diào)節(jié)方法[4]。國(guó)際上最近幾年關(guān)于雙棱鏡干涉的應(yīng)用涉及光場(chǎng)的相位和波動(dòng)性，2013年，Ana Doblas等人研究了菲涅耳雙棱鏡的周期干涉條紋的軸向諧振效應(yīng)[5]。2017年，F(xiàn)rédéric Chaussard 等人研究了雙棱鏡時(shí)域雙光波干涉[6]。2018年，Samira Ebrahimi等人研究了基于雙棱鏡干涉的相襯成像[7]。另外，A.Anand等人研究了雙棱鏡干涉在數(shù)字全息顯微術(shù)中的應(yīng)用[8]。為了進(jìn)一步擴(kuò)大菲涅耳雙棱鏡干涉在全息顯微相襯成像中應(yīng)用和理解其中的物理機(jī)制， 本文從信息光學(xué)角度，基于光場(chǎng)和光學(xué)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)之間關(guān)系研究菲涅耳雙棱鏡干涉，首先進(jìn)行菲涅耳雙棱鏡干涉理論分析，接著給出實(shí)驗(yàn)結(jié)果，最后進(jìn)行總結(jié)。

2 菲涅耳雙棱鏡干涉理論分析

2.1 雙棱鏡干涉條紋強(qiáng)度

菲涅耳雙棱鏡干涉的實(shí)驗(yàn)裝置示意圖如圖1所示，鈉光燈與雙棱鏡之間放置一狹縫以形成縫光源S[9]， 在接收屏(接收屏與雙棱鏡之間的距離要足夠遠(yuǎn))上可以看到交疊區(qū)形成的明暗相間的干涉條紋。設(shè)光傳播為縱向記為z軸；與光傳播方向垂直的平面為橫向記為x，y軸。為了討論方便，在接下來(lái)推導(dǎo)中只考慮橫向一維x軸。狹縫的透過(guò)率函數(shù)為[9]:

(1)

其中，x1為狹縫的橫向坐標(biāo)，b為狹縫的縫寬。

圖1 菲涅耳雙棱鏡干涉示意圖 Fig.1 Scheme of Fresnel biprism interference

考慮雙棱鏡引起的入射光相位變化后，則可將雙棱鏡的透過(guò)率函數(shù)寫(xiě)為[6]:

(2)

根據(jù)信息光學(xué)中的菲涅耳衍射理論可知從狹縫到雙棱鏡自由傳播的脈沖響應(yīng)函數(shù)為[10]:

(3)

其中，z1為狹縫與雙棱鏡之間的距離。

(4)

同理可得雙棱鏡到接收屏的脈沖響應(yīng)函數(shù)為:

(5)

其中，z2為雙棱鏡與接收屏之間的距離。

再由脈沖響應(yīng)函數(shù)的級(jí)聯(lián)性質(zhì)，可得從縫光源到接收屏的脈沖響應(yīng)函數(shù)為

(6)

設(shè)光源在狹縫處初始光場(chǎng)為E0，則由光場(chǎng)與脈沖響應(yīng)函數(shù)關(guān)系，可得接收屏上的光場(chǎng)分布為:

(7)

(8)

考慮實(shí)現(xiàn)雙棱鏡干涉需要遠(yuǎn)場(chǎng)即狹縫到接收屏的距離要足夠遠(yuǎn)，忽略上式中x1的二次項(xiàng)，將公式(1)代入公式(8)積分，可得接收屏上的干涉條紋強(qiáng)度為:

(9)

2.2 干涉條紋模擬和分析

為了更直觀展示雙棱鏡干涉條紋和討論狹縫寬度對(duì)干涉條紋的影響，根據(jù)公式(9),利用Matlab模擬了不同狹縫寬度條件下干涉條紋強(qiáng)度隨橫向位置的變化,如圖2所示。其中一維圖縱坐標(biāo)為條紋強(qiáng)度相對(duì)于其最大值的歸一化強(qiáng)度I/Im，圖2(a)、2(b)和2(c)選取的狹縫縫寬分別為b=0.02 mm、b=0.04 mm和b=0.1 mm，選取的其他參數(shù)為λ=589.3 nm，n=1.52，β=0.013 1，z1=10 mm，x2=640 mm。本文用放置在鈉光燈和雙棱鏡之間狹縫的縫寬(縫光源寬度)來(lái)表征光源的空間相干性(縫寬越小，光源的空間相干性越好)。由圖2可以看出，隨著縫光源縫寬的增加即光源的空間相干性變差，干涉條紋的分辨率變差。究其原因干涉條紋是從縫光源發(fā)出的光在相遇區(qū)相干疊加形成的，而來(lái)自縫光源不同橫向位置的光在接收屏上形成的干涉條紋位置不同，導(dǎo)致疊加以后分辨率變差，縫寬越大條紋分辨率越差。這一特點(diǎn)可用于指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)中光路調(diào)整，即開(kāi)始時(shí)可以將狹縫縫寬調(diào)大一些，這樣用于觀察干涉條紋的測(cè)微目鏡中視場(chǎng)較亮，看到如圖2(b)或2(c)中的條紋，然后逐漸減小狹縫的縫寬直到看到如圖2(a)中清晰的干涉條紋為止。

為了分析狹縫到雙棱鏡的距離z1對(duì)干涉條紋的影響，模擬了干涉條紋在不同z1下的分布情況，結(jié)果如圖3所示。圖3(a)、3(b)和3(c)對(duì)應(yīng)的z1分別為10、20和30 mm，其他參數(shù)為：z1+z2=650 mm保持不變，縫寬b=0.02 mm，其它與圖2相同。由圖3可看出隨著z1的增加，條紋間距變小，但條紋可見(jiàn)度變化不大，這一結(jié)果可通過(guò)接下來(lái)討論的雙棱鏡干涉與雙縫干涉的等效性來(lái)理解。

圖2 不同縫光源寬度條件下的菲涅耳雙棱鏡干涉條紋，右列為左列對(duì)應(yīng)的一維圖 Fig.2 Interference fringes of Fresnel biprism under different widths of slit light source, (Left Column:Two-Dimensional Patterns, Right Column:the corresponding 1D fringes)

圖3 不同z1(狹縫到雙棱鏡的距離)條件下的干涉條紋，右列為左列對(duì)應(yīng)的一維圖 Fig.3 Interference fringes of Fresnel biprism under different z1(the distance between single-slit and biprism), (Left Column:Two-Dimensional Patterns, Right Column:the corresponding 1D fringes)

(10)

圖4 干涉條紋強(qiáng)度分布. 右列為左列對(duì)應(yīng)的一維圖，(a)含有常數(shù)項(xiàng), (b)不含常數(shù)項(xiàng). Fig.4 Intensity distributions of the interference fringe , Left Column:Two-Dimensional Patterns, Right Column:the corresponding 1D fringes. (a) and (b) are the corresponding results for that including the constant item and neglecting constant item of intensity, respectively

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

根據(jù)圖1所示裝置，鈉光燈發(fā)出的光經(jīng)過(guò)狹縫形成縫光源，隨后入射到雙棱鏡上，在雙棱鏡后面合適的距離處放置測(cè)微目鏡。為了便于觀察條紋變化，在測(cè)微目鏡的目鏡處再固定一CMOS相機(jī)(CMOS傳感器[11-13])，將CMOS傳感器的攝像頭對(duì)準(zhǔn)測(cè)微目鏡以便干涉條紋在CMOS相機(jī)顯示屏上清晰呈現(xiàn)。這樣實(shí)驗(yàn)者無(wú)需湊近測(cè)微目鏡就可以直觀觀測(cè)到在CMOS相機(jī)顯示屏上實(shí)時(shí)記錄的干涉條紋。

圖5 干涉條紋圖:(a)合適狹縫寬度;(b)狹縫寬度增加0.02 mm;(c)狹縫寬度增加0.08 mm Fig.5 Interference patterns, (a), (b) and (c) are the corresponding results at suitable slit-width, slit-width increasing by 0.02 mm and 0.08 mm, respectively

圖5為z1=80 mm，其它參數(shù)與圖2一致時(shí)，不同狹縫寬度下CMOS傳感器記錄的雙棱鏡干涉條紋。其中圖5(a)為某一合適狹縫寬度條件下，記錄的干涉條紋；在此基礎(chǔ)上將狹縫寬度增加0.02 mm后，光場(chǎng)變亮，但是條紋質(zhì)量變差，如圖5(b)所示；當(dāng)狹縫寬度增加0.08 mm后，可以看到條紋變模糊，出現(xiàn)亮帶，如圖5(c)所示，與理論分析結(jié)果一致。圖6(a)和6(b)為狹縫到雙棱鏡距離分別為8 cm、12 cm條件下的干涉條紋，其它參數(shù)與圖5(a)相同?？梢钥闯觯S著狹縫到雙棱鏡距離變大，條紋間距變小，也與前面的理論分析結(jié)果一致。

圖6 干涉條紋圖(a)狹縫到雙棱鏡距離8 cm (b)狹縫到雙棱鏡距離12 cm Fig.6 Interference patterns, (a) and (b) are the corresponding results at the distance from the slit to biprism of 8 cm and 12 cm, respectively

最后需要指出的是，雙棱鏡干涉實(shí)驗(yàn)中，傳統(tǒng)方法是利用物像法測(cè)等效雙縫間距。根據(jù)前面理論分析可知，實(shí)驗(yàn)上也可以用分光儀測(cè)雙棱鏡的底角進(jìn)而計(jì)算得出等效雙縫間距。

4 結(jié) 論

本文首先從光場(chǎng)和光學(xué)系統(tǒng)脈沖響應(yīng)函數(shù)的關(guān)系出發(fā)，理論推導(dǎo)出了描述雙棱鏡干涉的強(qiáng)度公式，并用Matlab模擬了干涉條紋，討論了狹縫縫寬和雙棱鏡到狹縫的距離對(duì)干涉條紋的影響以及狹縫到雙棱鏡的距離和條紋間距的關(guān)系，并分析了雙棱鏡干涉與雙縫干涉的等效性。然后進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論分析一致。該結(jié)果有助于雙棱鏡干涉在相襯成像等領(lǐng)域的應(yīng)用。傳統(tǒng)基于數(shù)字全息顯微的相襯成像需要兩束分立的相干光束(這導(dǎo)致相位穩(wěn)定性差)，然后兩束相干光束再疊加(比如馬赫曾德干涉儀)，其中需要精確調(diào)整兩束光的強(qiáng)度比。而基于雙棱鏡干涉的數(shù)字全息顯微的相襯成像，因?yàn)榧す饨?jīng)過(guò)顯微鏡然后入射到雙棱鏡上，雙棱鏡本身可以分開(kāi)并疊加相干光束，再考慮干涉條紋可見(jiàn)度基本不受光源到雙棱鏡距離的影響，從而基于雙棱鏡干涉的相襯成像具有更好的穩(wěn)定性。