雙重螺旋法齒面分區(qū)修形對降低安裝誤差敏感性的影響

嚴宏志，吳順興，肖蒙

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雙重螺旋法齒面分區(qū)修形對降低安裝誤差敏感性的影響

嚴宏志1, 2，吳順興1, 2，肖蒙1, 2

(1. 中南大學(xué) 高性能復(fù)雜制造國家重點實驗室，湖南 長沙，410083；2. 中南大學(xué) 機電工程學(xué)院，湖南 長沙，410083)

為了降低齒輪副對安裝誤差的敏感性，將雙重螺旋法加工的齒面劃分為小端、中間接觸區(qū)和大端3個區(qū)域，并沿嚙合線方向?qū)?個區(qū)域分別進行拋物線修形，得到修形后的理論齒面；采用有約束最小二乘法求得與修形后理論齒面逼近的修形后實際齒面；通過齒輪承載接觸分析(LTCA)，得到原始齒面與修形后實際齒面在有安裝誤差時的齒面接觸區(qū)、接觸應(yīng)力和齒根彎曲應(yīng)力。研究結(jié)果表明：經(jīng)過分區(qū)修形，正、反車齒面最大接觸應(yīng)力降低，齒面接觸應(yīng)力更加均勻，齒輪副對安裝誤差的敏感性降低，同時，齒根彎曲應(yīng)力也有一定程度增大。

雙重螺旋法；安裝誤差敏感性；分區(qū)修形；齒輪承載接觸分析

在實際工程中，螺旋錐齒輪副不可避免地存在安裝誤差，這將使齒輪副沖擊振動與噪聲增大，并導(dǎo)致不均勻磨損，縮短使用壽命，因此，使設(shè)計的齒輪副對安裝誤差具有低敏感性是齒輪研究的一個重要課題。目前，有關(guān)嚙合質(zhì)量對安裝誤差的敏感性已有較多研究。王峰等[1]開展了擺線齒準雙曲面齒輪在安裝誤差情況下的齒輪接觸分析，研究了安裝誤差對其嚙合性能的影響；劉光磊等[2]通過分析安裝誤差對接觸印痕位置影響確定了齒輪副安裝誤差的合理范圍；佟操等[3]采用動力學(xué)軟件ANSYS/LS-DYNA 對直齒圓柱齒輪進行動態(tài)仿真，得到了不同安裝誤差對應(yīng)的動態(tài)接觸應(yīng)力；王小椿等[4]通過解析法建立了安裝誤差與齒面嚙合特性的對應(yīng)關(guān)系；LI等[5?7]采用有限元方法對直齒圓柱齒輪副進行加載接觸分析，研究了安裝誤差對齒面接觸應(yīng)力、齒根彎曲應(yīng)力、嚙合剛度和承載傳動誤差等的影響；FALAH等[8]對單包絡(luò)(圓柱)蝸桿傳動副進行加載接觸分析，研究了安裝誤差對接觸線、負載和應(yīng)力分布的影響；ZHANG等[9]通過齒輪接觸分析，研究了不同安裝誤差對雙圓弧弧齒錐齒輪嚙合性能的影響。針對如何降低齒輪副嚙合性能對安裝誤差的敏感性，目前已有一些研究；LITVIN 等[10?11]通過預(yù)置接觸軌跡及傳動誤差曲線得到了低安裝誤差敏感性的齒面；SIMON等[12?13]對弧齒錐齒輪副進行加載接觸分析，通過優(yōu)化的小輪機床加工參數(shù)降低了齒輪副對安裝誤差的敏感性；蘇進展等[14?15]提出了通過優(yōu)化差曲面全曲率來降低弧齒錐齒輪安裝誤差敏感性的方法，同時提出了齒面的低敏感性修形方法，但是其針對的只是工作齒面的修形；王會良等[16]通過對斜齒輪的齒廓和齒向進行分段修形，降低了其對安裝誤差的敏感性；曹雪梅等[17]以齒廓、齒向修形系數(shù)為優(yōu)化變量，通過對主動輪進行鼓形修形，從而降低了齒輪副對安裝誤差的敏感性。上述研究為雙重螺旋法加工的螺旋錐齒輪副面向安裝誤差敏感性修形提供了參考，但是，基于雙重螺旋法的螺旋錐齒輪加工具有正車面和反車面兩面同時加工、兩面同時修形的特點，為此，本文作者針對具有雙面綜合優(yōu)化的分區(qū)修形方法和機床調(diào)整參數(shù)修正方法進行研究。

1 安裝誤差低敏感性分區(qū)修形

螺旋錐齒輪齒面的大端和小端修形可減小由安裝誤差帶來的接觸區(qū)位置、大小和形狀以及接觸應(yīng)力的變化程度，從而降低齒輪副對安裝誤差的敏感性。以接觸區(qū)的邊界作為分界線將齒面分成3部分即小端、中間接觸區(qū)和大端。沿嚙合線方向進行3段拋物線修形，小端、中間接觸區(qū)和大端分別對應(yīng)1段拋物線。圖1所示為齒面分區(qū)示意圖。

以嚙合線與接觸跡線的交點為坐標原點，齒面法線方向為方向，指向輪齒大端的嚙合線方向為方向，建立拋物線修形坐標系，如圖2所示(其中，為預(yù)置的瞬時接觸橢圓長半軸的長度)。

圖1 齒面分區(qū)示意圖

圖2 拋物線修形坐標系

圖3所示為拋物線修形曲線。其中，拋物線Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ分別為沿嚙合線方向在齒面接觸區(qū)內(nèi)，小端區(qū)域內(nèi)和大端區(qū)域內(nèi)的修形曲線；0，1和2分別為接觸區(qū)邊界上的修形量，小端給定的最大修形量和大端給定的最大修形量；1和2在數(shù)值上等于預(yù)設(shè)的接觸橢圓長半軸的長度，3和4分別為靠近小端和大端齒面區(qū)域內(nèi)沿軸到接觸跡線的最遠距離。

沿嚙合線方向3段拋物線修形曲線的表達式為

式中：1，2和3為拋物線II的修形系數(shù)；1，2和3為拋物線III的修形系數(shù)。

要保證3段拋物線連續(xù)可導(dǎo)，應(yīng)該滿足如下約束條件：

圖3 拋物線修形曲線

沿嚙合線方向的法向修形量為

將齒面離散為45個網(wǎng)格點，求得各個離散點的法向修行量，以各個離散點的法向修行量作為小輪原始齒面與修形后理論齒面的法向偏差值。

2 小輪加工參數(shù)求解

齒面偏差的產(chǎn)生有很多原因，通過修正機床調(diào)整參數(shù)可以最大限度地實現(xiàn)齒面偏差的最小化。

原始齒面和修形后理論齒面的偏差可表示為

采用雙重螺旋法加工時，1組機床調(diào)整參數(shù)同時加工正車面和反車面，第個網(wǎng)格點對應(yīng)第個機床調(diào)整參數(shù)，敏感系數(shù)矩陣可表示為

式中：=1，2，…，；=1，2，…，。

令為第個網(wǎng)格點的齒面偏差，則有

式中：為正車面和反車面的所有網(wǎng)格點的齒面偏差矩陣；為對應(yīng)所有網(wǎng)格點的敏感系數(shù)矩陣；Δ為機床調(diào)整參數(shù)修正值矩陣。

由于機床調(diào)整參數(shù)的數(shù)目小于齒面網(wǎng)格點的數(shù)目，故式(7)為超靜定方程線性方程組，因此，采用約束最小二乘法求解。對于每1個選用的修正參量，根據(jù)使用的機床類型以及齒面偏差給出1個合適的范圍，即可求得理想的機床調(diào)整參數(shù)修正值。

3 算例分析

以1對大輪采用成形法、小輪采用雙重螺旋法加工的準雙曲面齒輪副為例，輪坯參數(shù)見表1，小輪的原始齒面加工參數(shù)見表2，2組修形參數(shù)見表3。

表1 輪坯參數(shù)

表2 原始齒面小輪加工參數(shù)

表3 修形參數(shù)

由表3中的修形參數(shù)1和修形參數(shù)2分別得到修形后理論齒面1和修形后理論齒面2。圖4和圖5所示分別為修形后理論齒面1和修形后理論齒面2與原始齒面的偏差圖。利用有約束最小二乘法對原始齒面進行修正，得到滿足修形后理論齒面的小輪加工參數(shù)，如表4所示。通過表4中修形后的小輪加工參數(shù)分別得到對應(yīng)修形參數(shù)1和修形參數(shù)2的修形后實際齒面1和修形后實際齒面2。圖6和圖7所示分別為修形后實際齒面1和修形后實際齒面2和原始齒面的偏差圖。

從圖4~7可見：修形后理論齒面和修形后實際齒面基本保證了正車面和反車面的中間接觸區(qū)不變，而在大端和小端沿嚙合線方向有一定的修形量。對比修形后理論齒面和修形后實際齒面的正車面和反車面可知：修形后實際齒面與修形后理論齒面接近，說明采用有約束最小二乘法求得的小輪兩面同時加工的機床調(diào)整參數(shù)符合設(shè)計要求。

圖4 修形后理論齒面1和原始齒面的偏差圖

圖5 修形后理論齒面2和原始齒面的偏差圖

齒輪副進行分區(qū)修形后，對其進行齒輪承載接觸有限元分析。小輪軸向安裝誤差0 mm，大輪軸向安裝誤差=?0.16 mm，小輪偏置距誤差?0.15 mm。給定載荷600 N?m時，對比分析修形前后齒輪副在加載條件下齒面接觸區(qū)、接觸應(yīng)力及齒根彎曲應(yīng)力的變化情況。以模型中第3對齒輪為例，建立齒輪承載接觸分析(LTCA)有限元模型，如圖8所示。

表4 修形后小輪加工參數(shù)

圖9~10分別為在有安裝誤差情況下，通過LTCA有限元分析得到的原始齒面與修形后實際齒面的大輪正車面和反車面的接觸區(qū)及接觸區(qū)應(yīng)力云圖。由圖9可見：在有安裝誤差情況下，原始齒面的正車面接觸區(qū)完全拓展到大輪小端邊界，齒面高應(yīng)力區(qū)主要分布于齒頂上部。經(jīng)過安裝誤差低敏性分區(qū)修形后，正車面接觸區(qū)優(yōu)化效果明顯：1) 原始齒面接觸區(qū)、修形后實際齒面1和修形后實際齒面2距離大輪小端的距離分別為0.154，1.179和1.697 mm，避免了小端邊界接觸；2) 齒面接觸應(yīng)力分布較為均勻，避免了高應(yīng)力區(qū)主要分布在強度較小的齒頂上部；3) 最大接觸應(yīng)力有所減少，原始齒面的最大接觸應(yīng)力數(shù)值為1 289 MPa，而修形后實際齒面1和修形后實際齒面2的最大接觸應(yīng)力分別為1 281和1 263 MPa。

圖6 修形后實際齒面1和原始齒面的偏差圖

圖7 修形后實際齒面2和原始齒面的偏差圖

圖8 LTCA有限元模型

由圖10可見：原始齒面的反車面接觸區(qū)基本位于齒面中間，齒根部位有向大端延伸的趨勢，經(jīng)過安裝誤差低敏感性分區(qū)修形后，反車面接觸區(qū)優(yōu)化效果較好：1) 齒根部位向大端延伸的趨勢稍減，原始齒面接觸區(qū)、修形后實際齒面1和修形后實際齒面2與大輪小端的距離分別為5.689，5.791和6.304 mm；2) 最大接觸應(yīng)力有所減少，原始齒面的最大接觸應(yīng)力為1 406 MPa，而修形后實際齒面1和修形后實際齒面2的最大接觸應(yīng)力分別為1 394 MPa和1 390 MPa。

(a) 原始齒面；(b) 修形后實際齒面1；(c) 修形后實際齒面2

對比圖9和圖10可知：修形后實際齒面2的優(yōu)化效果優(yōu)于修形后實際齒面1的優(yōu)化效果，說明從齒面接觸應(yīng)力及接觸區(qū)的優(yōu)化角度來說，適當增大大端和小端的修形量也可以提高正車面和反車面的優(yōu)化效果，降低齒輪副對安裝誤差的敏感性。

齒輪彎曲應(yīng)力反映齒輪齒根部位抗疲勞折斷的能力，根據(jù)第3強度理論，通過有限元軟件對小輪原始齒面和修形后實際齒面的齒根彎曲應(yīng)力進行分析，分別得到小輪正車面和反車面的齒根彎曲應(yīng)力云圖，如圖11和圖12所示。

(a) 原始齒面；(b) 修形后實際齒面1；(c) 修形后實際齒面2

由圖11和圖12可知：原始齒面正車面的齒根最大彎曲應(yīng)力為106.182 MPa，反車面的齒根最大彎曲應(yīng)力為86.662 MPa；修形后實際齒面1正車面的齒根最大彎曲應(yīng)力為106.897 MPa，反車面的齒根最大彎曲應(yīng)力為87.162 MPa；修形后實際齒面2正車面的齒根最大彎曲應(yīng)力為107.537 MPa，反車面的齒根最大彎曲應(yīng)力為87.523 MPa。說明隨著大端和小端的修形量增加，齒厚減小，齒根彎曲應(yīng)力有所增大。所以，修形量的確定需要綜合齒面接觸情況和齒輪強度，同時考慮實際工況條件來確定。

(a) 原始齒面；(b) 修形后實際齒面1；(c) 修形后實際齒面2

4 實驗驗證

采用由哈量集團研發(fā)生產(chǎn)的H650C數(shù)控螺旋錐齒輪銑齒機加工實驗所用齒輪，在加工好的齒輪齒面上涂上紅丹粉，并在YDX9550錐齒輪滾動檢查機上進行滾檢實驗，驗證基于雙重螺旋法加工的齒面分區(qū)修形方法對降低安裝誤差敏感性的有效性以及仿真分析結(jié)果的正確性。

(a) 原始齒面；(b) 修形后實際齒面1；(c) 修形后實際齒面2

由于修形方法原理相似，同時考慮到加工成本和時間，實驗只對1組修形參數(shù)進行驗證，即驗證由第2組修形參數(shù)得到的齒面。此外，由于實驗條件限制，滾檢機是在負載為20 N?m條件下進行的，原始齒面和修形后實際齒面2的正車面接觸區(qū)及反車面接觸區(qū)分別如圖13和圖14所示。

由圖13可見：原始齒面與修形后實際齒面2的大輪正車面的接觸區(qū)位置和嚙合方向與仿真結(jié)果基本相似；原始齒面與修形后實際齒面2的接觸區(qū)形狀有微小差別，其中原始齒面的接觸區(qū)有明顯的向輪齒小端齒根延伸的一段狹窄區(qū)域，而修形后實際齒面2的接觸區(qū)更加規(guī)則，向小端齒根延伸的程度較小。由圖14可見：原始齒面與修形后實際齒面2的大輪反車面接觸區(qū)變化不明顯，沒有正車面的修形優(yōu)化效果明顯，但經(jīng)過修形后齒面的接觸區(qū)向大端延伸的范圍比原始齒面的小。

(a) 原始齒面；(b) 修形后實際齒面2

(a) 原始齒面；(b) 修形后實際齒面2

對比實驗結(jié)果可知：原始齒面與修形后實際齒面2接觸區(qū)形狀存在差異，說明齒面修形能夠有效降低齒輪副對安裝誤差的敏感性，避免了在實際工況中由于偏離理論安裝位置而出現(xiàn)大、小端接觸或者齒根、齒頂接觸的情況。

5 結(jié)論

1) 建立雙重螺旋法小輪雙面3段修形模型，并在誤差敏感矩陣基礎(chǔ)上，采用有約束最小二乘法對修形后的機床調(diào)整參數(shù)進行求解，求解的機床調(diào)整參數(shù)符合設(shè)計要求。

2) 修形后，正車面和反車面齒面最大接觸應(yīng)力減小，接觸應(yīng)力分布更均勻，避免了齒頂高應(yīng)力接觸，提高了齒輪嚙合穩(wěn)定性。

[1] 王峰, 方宗德, 李聲晉, 等. 考慮安裝誤差的擺線齒準雙曲面齒輪輪齒接觸分析[J]. 農(nóng)業(yè)機械學(xué)報, 2012, 43(9): 213?218. WANG Feng, FANG Zongde, LI Shengjin, et al. Tooth contact analysis of epicycloid hypoid gear considering assembly misalignment[J]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery, 2012, 43(9): 213?218.

[2] 劉光磊, 張瑞庭, 趙寧, 等. 一種弧齒錐齒輪安裝誤差變動范圍的確定方法[J]. 機械工程學(xué)報, 2014, 48(3): 34?40. LIU Guanglei, ZHANG Ruiting, ZHAO Ning, et al. An approach to determine installation errors of spiral bevel gears[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2014, 48(3): 34?40.

[3] 佟操, 孫志禮, 馬小英, 等. 考慮安裝與制造誤差的齒輪動態(tài)接觸仿真[J]. 東北大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2014, 35(7): 996?1000. TONG Cao, SUN Zhili, MA Xiaoying, et al. Dynamic simulation of spur gears with assembly errors and machining errors[J]. Journal of Northeastern University(Natural Science), 2014, 35(7): 996?1000.

[4] 王小椿, 吳序堂. 空間點嚙合齒面的接觸特性對安裝誤差的敏感性分析[J]. 西安交通大學(xué)學(xué)報, 1990, 24(6): 45?58. WANG Xiaochun, WU Xutang. Sensitivity of the contact characteristics of skew point contact surfaces to the mounting errors[J]. Journal of Xi’an Jiaotong University, 1990, 24(6): 45?58.

[5] LI Shuting. Effects of machining errors, assembly errors and tooth modifications on loading capacity, load-sharing ratio and transmission error of a pair of spur gears[J]. Mechanism & Machine Theory, 2007, 42(6): 698?726.

[6] LI Shuting. Finite element analyses for contact strength and bending strength of a pair of spur gears with machining errors, assembly errors and tooth modifications[J]. Mechanism & Machine Theory, 2007, 42(1): 88?114.

[7] LI Shuting. Effects of misalignment error, tooth modifications and transmitted torque on tooth engagements of a pair of spur gears[J]. Mechanism & Machine Theory, 2015, 83: 125?136.

[8] FALAH A H, ALFARES M A, ELKHOLY A H. Localised tooth contact analysis of single envelope worm gears with assembly errors[J]. International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2013, 68(9/10/11/12): 2057?2070.

[9] ZHANG Ruiling, WANG Tie. The influences of installation errors on double circular arc tooth spiral bevel gear using TCA method[J]. Journal of Convergence Information Technology, 2012, 7(1): 1?10.

[10] LITVIN F L, FUENTES A, HAYASAKA K. Design, manufacture, stress analysis, and experimental tests of low-noise high endurance spiral bevel gears[J]. Mechanism & Machine Theory, 2006, 41(1): 83?118.

[11] ARGYRIS J, FUENTES A, LITVIN F L. Computerized integrated approach for design and stress analysis of spiral bevel gears[J]. Computer Methods in Applied Mechanics & Engineering, 2002, 191(11): 1057?1095.

[12] SIMON V V. Machine-tool settings to reduce the sensitivity of spiral bevel gears to tooth errors and misalignments[J]. Journal of Mechanical Design, 2008, 130(8): 082603-1?082603-10.

[13] SIMON V V. Influence of tooth errors and misalignments on tooth contact in spiral bevel gears[J]. Mechanism & Machine Theory, 2008，43(10): 1253?1267.

[14] 蘇進展, 方宗德. 弧齒錐齒輪誤差敏感性優(yōu)化設(shè)計[J]. 航空動力學(xué)報, 2012 , 27(1): 181?189. SU Jinzhan, FANG Zongde. Optimization design of the error sensitivity for spiral bevel gears[J]. Journal of Aerospace Power, 2012, 27(1): 183?189.

[15] 蘇進展, 方宗德.弧齒錐齒輪低敏感性修形[J]. 航空動力學(xué)報, 2012, 27(8): 1895?1901. SU Jinzhan, FANG Zongde. Low sensitivity modification for spiral bevel gears[J]. Journal of Aerospace Power, 2012, 27(8): 1895?1901.

[16] 王會良, 鄧效忠, 徐凱, 等. 考慮安裝誤差的拓撲修形斜齒輪承載接觸分析[J]. 西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報, 2014, 32(5): 781?786. WANG Huiliang, DENG Xiaozhong, XU Kai, et al. Load tooth contact analysis(LTCA) of helical gears using topographic modification and installation errors[J]. Journal of Northwestern Polytechnical University, 2014, 32(5): 781?786.

[17] 曹雪梅, 孫寧, 鄧效忠. 直齒錐齒輪低安裝誤差敏感性設(shè)計與實驗驗證[J]. 航空動力學(xué)報, 2016, 31(1): 227?232. CAO Xuemei, SUN Ning, DENG Xiaozhong. Design for straight bevel gear based on low installation error sensitivity and experiment tests[J]. Journal of Aerospace Power, 2016, 31(1): 227–232.

Effect of tooth surface zoning modification by duplex helical method on reducing sensitivity of installation error

YAN Hongzhi1, 2, WU Shunxing1, 2, XIAO Meng1, 2

(1. State Key Laboratory for High Performance Complex Manufacturing, Central South University, Changsha 410083, China; 2. School of Mechanical and Electrical Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)

To reduce the sensitivity of the gear pair to the installation error, the original tooth surface generated by duplex helical method was divided into three regions, i.e. the toe region, the middle region and the heel region. Modifications of these regions with three parabolic segments were conducted along the meshing line, and then theoretical tooth surfaces were obtained. Theconstraint least square method was used to minimize the tooth flank form error between the theoretical modified tooth surface and the actual modified tooth surface. Then, the contact area, the contact stress, the bending stress of tooth root of the original tooth surface and the actual modified tooth surface in the presence of installation error were obtained by loaded tooth contact analysis (LTCA). The results show that the maximum contact stress of the drive side and the coast side are both reduced by zoning modification. Meanwhile, the tooth surface contact stress is more uniform. Thus, sensitivity of installation error of gear pair is reduced and the bending stress of the root increases to a certain extent.

duplex helical method; installation error sensitivity; zoning modification; loaded tooth contact analysis

10.11817/j.issn.1672?7207.2019.02.006

TH132.41

A

1672?7207(2019)02?0286?09

2018?04?05；

2018?06?25

國家自然科學(xué)基金資助項目(51575533)(Project(51575533) supported by the National Natural Science Foundation of China)

嚴宏志，博士，教授，從事復(fù)雜曲面數(shù)字制造理論與技術(shù)研究；E-mail：yhzcsu@163.com

(編輯 伍錦花)