空間能力：讓學(xué)生的思維“立”起來
——蘇教版六上《長方體與正方體的認(rèn)識》教學(xué)與思考

施惠芳

【設(shè)計理念】

1.立足個體，類比聯(lián)想，面向全局，讓思維有根基?！堕L方體與正方體的認(rèn)識》一課的學(xué)習(xí)是研究立體圖形的開始，具有承前啟后的重要作用。因此，研究長方體應(yīng)經(jīng)歷由面到體再回到面的過程。立足于長方體這個研究個體，我們有必要“瞻前顧后”，用聯(lián)系的觀點(diǎn)來審視教學(xué)內(nèi)容，把對長方體特征的認(rèn)識置于幾何初步知識的大網(wǎng)中，切中它們的邏輯關(guān)聯(lián)，這樣有利于學(xué)生明晰所學(xué)知識的系統(tǒng)化、完整性，并由此達(dá)到以點(diǎn)帶面的效果。

2.借助經(jīng)驗(yàn)，正向遷移，形成方法，讓思維能生長。觀察、操作是研究圖形常用的方法，視覺直觀和觸覺直觀是學(xué)生空間能力培養(yǎng)的主要方式。學(xué)生在以往圖形問題的學(xué)習(xí)中已經(jīng)積累了豐富的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上充分調(diào)動學(xué)生視覺、觸覺等多種感官的共同參與，是發(fā)展他們的空間思維的基礎(chǔ)。當(dāng)圖形的研究從二維發(fā)展到三維，推理與想象成為研究圖形問題更有效的方法，學(xué)生對立體圖形的立體性無法看透、看全時，就需要借助推理與想象深度理解圖形的本質(zhì)特征，這樣的經(jīng)歷能促進(jìn)學(xué)生生活化的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)的培養(yǎng)。

3.基于直觀，重視抽象，發(fā)揮想象，讓思維“立”起來。從1張A4紙到1疊A4紙，引導(dǎo)學(xué)生直觀、動態(tài)地勾連二維平面圖形與三維立體圖形的關(guān)系——長方體可以看成由長方形垂直平移形成的。學(xué)生在頭腦中建構(gòu)了從面到體的過程后，將三角形拓展成三棱柱，將圓拓展成圓柱，將正五邊形拓展成五棱柱，能使學(xué)生形象地認(rèn)識“直柱體”這類立體圖形，進(jìn)一步明晰“形”與“體”的辯證關(guān)系。幾何重“形”，但更是“形而上”的，教學(xué)時，在注重直觀的基礎(chǔ)上，更要注重抽象，促使學(xué)生發(fā)揮想象。一方面，點(diǎn)、線、面、體的整體架構(gòu)促使學(xué)生理解它們之間巧妙的聯(lián)系——點(diǎn)動成線，線動成面，面動成體，點(diǎn)、線、面、體可以相互變換；另一方面，改變長方體的一些幾何要素可以引發(fā)其形狀、大小的變化，促使學(xué)生進(jìn)一步理解長方體面、棱、頂點(diǎn)之間相互依存、不可分割的關(guān)系。

【教學(xué)過程及意圖】

一、紙疊成體，導(dǎo)入新課

1.出示1 張A4 紙。

師：這是什么？它是什么形狀的？

生：1 張A4 紙，它是長方形的。

師：長方形是我們已經(jīng)認(rèn)識的什么圖形？

生：平面圖形。

師：你已經(jīng)知道長方形的哪些特征？

生：對邊平行且相等，四個角都是直角。

師：是的，我們就是從長方形的邊、角等方面來認(rèn)識它的。

2.動態(tài)呈現(xiàn)數(shù)張A4 紙的疊加。

師：如果有若干張這樣的A4 紙整齊地疊起來，會有什么變化？

生：感覺紙變厚了。

師：用數(shù)學(xué)的眼光看，你有什么新發(fā)現(xiàn)？

生：這疊紙的形狀是長方體。（板書：長方體）

師：長方體是什么圖形？

生：立體圖形。（板書：立體圖形）

師：學(xué)具袋里有長方體嗎？找一找，任選一個放在自己桌面上。（四人為一組，每組的學(xué)具袋中有4 個形狀不同、大小各異的長方體木制學(xué)具）

師：生活中你見過什么長方體的物體呢？

生：快遞包裝盒、冰箱、微波爐……

課件呈現(xiàn)一些長方體實(shí)物圖片，并沿著邊線描畫出長方體。

師：瞧！沿著物體的輪廓畫下來，這些都是長方體。

呈現(xiàn)1張A4紙，學(xué)生對它形狀的認(rèn)識必然是平面的。當(dāng)若干張A4紙動態(tài)疊加后，紙的“厚度”引發(fā)學(xué)生關(guān)注?；趯W(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，由“長方形”生長出“長方體”的動態(tài)過程是將面與體進(jìn)行勾連的有效方式。

二、循序漸進(jìn)，探究特征

1.初步認(rèn)識長方體各部分名稱。

師：疊成的長方體上還能找到最初的長方形嗎？對，它是長方體的“面”。（板書：面）

師：除了面，長方體上還有什么？

生：還有邊、角。

師：你所說的邊是指哪里？（學(xué)生指棱）

師：仔細(xì)觀察，這條邊是怎么形成的？

生：它是由兩個面相交形成的。

師：說得好，像這樣由兩個面相交形成的線，叫作長方體的“棱”。（板書：棱）

師：借助學(xué)具，與同桌互相交流，哪兩個面相交形成了哪條棱？

師：同學(xué)們所說的角又是指哪里？誰來指一指。（學(xué)生指）同學(xué)們指的這個地方實(shí)際上是一個點(diǎn)，再觀察，這個點(diǎn)是怎么形成的？

生：它是由三條棱相交形成的，它應(yīng)該叫長方體的頂點(diǎn)。

師：不錯，由三條棱相交形成的點(diǎn)是長方體的“頂點(diǎn)”。（板書：頂點(diǎn)）與同桌邊指邊說，哪三條棱相交形成了哪個頂點(diǎn)？

師：這節(jié)課，我們將從面、棱、頂點(diǎn)這三個方面繼續(xù)研究長方體。

基于學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生初步感知長方體的點(diǎn)、線、面等幾何要素，讓學(xué)生對長方體與正方體的認(rèn)識由原來的整體感知逐步轉(zhuǎn)向?qū)Y(jié)構(gòu)的把握。

2.合作學(xué)習(xí)，探究長方體的特征。

師：同學(xué)們，剛才我們已經(jīng)初步認(rèn)識了長方體各部分的名稱，現(xiàn)在，你會提出哪些關(guān)于面、棱、頂點(diǎn)的數(shù)學(xué)問題？

生1：我想知道長方體有幾個面、幾條棱、幾個頂點(diǎn)。

生2：我想知道哪些面相等，棱和棱之間有什么關(guān)系。

生3：長方體的面、棱、頂點(diǎn)之間又有什么關(guān)系？

師：同學(xué)們提的問題特別有價值，根據(jù)我們以往研究圖形的經(jīng)驗(yàn)，想要解決這些問題常常會用到哪些方法？

生：可以看一看、摸一摸、量一量。

師：看一看就是觀察，摸一摸、量一量就是操作，觀察與操作是研究圖形常用的方法。（板書：觀察，操作）

操作活動一：借助長方體學(xué)具，從面、棱、頂點(diǎn)三個方面探究長方體的特征，小組合作，把發(fā)現(xiàn)記錄在學(xué)習(xí)單上，并在小組內(nèi)交流。

師：關(guān)于面，你有什么發(fā)現(xiàn)？怎么發(fā)現(xiàn)的？

生1：我知道長方體有6 個面，我是數(shù)出來的，四周4 個，加上、下2 個，一共有6 個面。

生2：我先數(shù)前面和后面，再數(shù)左面和右面、上面和下面，一共6 個面。

師：一起數(shù)的兩個面有什么關(guān)系？

生：它們是相對的，形狀、大小都相等。

師：形狀、大小都相等可不可以說是完全相同？你是怎么知道相對的面完全相同的？

生1：我們是先量一量，再比一比，量出相對的兩個面的長和寬再比較發(fā)現(xiàn)的。

生2：我們知道長方形對邊相等，上、下兩個面的長就是前面的一組對邊，這樣就可以推斷出上、下兩個面的長和寬都相等。

生3：剛才紙疊起來的時候用的是相同的紙，可以想象上、下兩個面是完全相同的。

師：同學(xué)們真不簡單，不僅能用操作的方法，還能借助長方形對邊相等的知識來推理判斷，或者通過想象長方形生長成長方體的過程來推斷長方體面的特征。（板書：6 個面，長方形，相對的面完全相同）推理、想象也是研究圖形常用的方法。（板書：推理，想象）

師：關(guān)于棱，你又發(fā)現(xiàn)了什么？

生：長方體有12 條棱，可以分成3 組，每組4 條棱，相對的棱長度相等。（板書：12 條棱，相對的棱長度相等）

師：頂點(diǎn)呢？有什么特征？

生：長方體有8 個頂點(diǎn)，上面4 個，下面4個。（板書：8 個頂點(diǎn)）

師：頂點(diǎn)跟棱有關(guān)系嗎？

生：1 個頂點(diǎn)連接3 條棱。

師：1 個頂點(diǎn)連接的3 條棱相同嗎？

生：不同，長度不同，方向也不同。

師：1 個頂點(diǎn)連接的3 條不同的棱其實(shí)就是長方體的長、寬、高，猜一猜，哪一條是高？是的，豎直方向的是高，水平方向的是長，另一條是寬。請你借助學(xué)具指一指長、寬、高，變換擺放位置再指一指長、寬、高。

呈現(xiàn)圖1：頂點(diǎn)連接棱，棱圍出面，面圍成體。（板書：頂點(diǎn)→棱→面→長方體）

（圖1）

師：如果長、寬、高確定了，這個長方體的樣子是否就確定了？你能想象嗎？

師：老師畫出了幾個面？為什么只用3 個面就表示出了長方體的樣子？你能看到它的幾條棱？還有3 條棱在哪里？它們實(shí)際上就是長方體的什么？繼續(xù)想象，如果長變長，長方體會怎樣？如果想讓長方體變扁一些，可以怎么做？看一看，長方體的形狀、大小是由什么決定的？

生：長、寬、高決定長方體的形狀和大小。

師：研究到現(xiàn)在，你會怎樣介紹長方體？

觀察與操作是研究圖形問題常用的方法。在引導(dǎo)學(xué)生觀察模型、發(fā)現(xiàn)特征前喚醒學(xué)生認(rèn)識圖形的一般方法，有利于學(xué)生勾連學(xué)習(xí)方法，形成研究一類問題的一類方法。同時，在研究面、棱、頂點(diǎn)各部分特征時，讓學(xué)生討論“會提出哪些關(guān)于面、棱、頂點(diǎn)的數(shù)學(xué)問題”，明確研究方向，有助于達(dá)成問題研究目標(biāo)。推理與想象把對長方體特征的認(rèn)識置于點(diǎn)、線、面、體的整體認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。

操作活動二：制作一個長方體。

（1）了解制作材料：材料中配有幾種不同長度的小棒和連接小棒的接頭。

師：想一想，小棒用來做什么？接頭又相當(dāng)于什么呢？

生：小棒用來做棱，接頭相當(dāng)于頂點(diǎn)。

（2）思考：四人小組先討論選用哪些材料，把相應(yīng)的數(shù)量填在學(xué)習(xí)單上，然后動手操作，搭出框架。

（3）師：用三種小棒搭的請展示，都選了三種小棒來搭，怎么搭出的長方體不一樣呢？

生：因?yàn)槲覀冞x的小棒不同，小棒不同也就是棱的長度不同。

師：看來，棱的不同會帶來面的不同，面的不同會帶來長方體的不同。

師：用兩種小棒搭的請展示，這些長方體有相同的地方嗎？

生：它們都有2 個面是正方形，其余4 個面是長方形且完全相同，有4 條棱長度相等，還有8 條棱長度相等。

師：用一種小棒搭的呢？它實(shí)際上是什么？

生：用一種小棒搭出來的實(shí)際上是一個正方體。（板書：正方體）

師：正方體的面、棱有什么特征呢？

生：正方體的6 個面是相同的正方形，12 條棱長度相等。（板書：6 個面是相同的正方形，12條棱長度相等）

（4）師：想象一下，黑板上的長方體如何變化就成了正方體？

生：當(dāng)長方體的長、寬、高都相等時，它就是一個正方體。

師：正方體與長方體有什么關(guān)系？（出示集合圈表示兩者的關(guān)系）

選擇合適的小棒搭建長方體框架，讓學(xué)生在做中觀察、探索、發(fā)現(xiàn)，有助于他們由直觀走向抽象、由實(shí)物操作過渡到表象操作、由直觀體驗(yàn)上升到理性分析?？臻g觀察是一種有依據(jù)的想象。想象是在觀察活動和操作活動中發(fā)展起來的，學(xué)生可以通過想象逐步形成各種表象。

三、推理想象，建構(gòu)聯(lián)系

1.想象猜物：依據(jù)給出的長、寬、高想象一下，它們可能是什么物體？（如圖2）

（圖2）

師：上題中第一個物體，如果高變成0.1 毫米，猜一猜，它是什么物體？

生：一張紙。

師：現(xiàn)在，你想說什么？

生：一張紙雖然很薄，但也有厚度，它也是一個長方體。

2.立面成體：出示一些平面圖形，想象它們可以長成怎樣的立體圖形。

師：一個平面圖形，朝著與它豎直的方向生長，就能得到一個立體圖形，這些圖形上下一樣粗，它們還有一個共同的名稱——直柱體。

這組練習(xí)的目的是讓學(xué)生結(jié)合生活實(shí)際及其對長度的認(rèn)識與感知進(jìn)行估計與猜測，凸顯空間想象能力的培養(yǎng)與發(fā)展。關(guān)于“一張紙”的認(rèn)識與課始相呼應(yīng)，突出對長方體本質(zhì)特征的理解。將長方體與正方體的認(rèn)識置于直柱體的大范圍中，拓寬了學(xué)生對一類立體圖形共同特征的認(rèn)識。

【教后反思】

空間能力是指人們順利解決空間問題所必備的個性心理特征，以空間知覺、表象和想象為主要心理活動過程，是一種在頭腦中進(jìn)行幾何抽象、分析與綜合、判斷與推理的思維能力。它是“圖形與幾何”的核心發(fā)展目標(biāo)，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必備的基本能力之一。本課教學(xué)主要通過觀察、操作、推理、想象等數(shù)學(xué)活動達(dá)成兩方面的教學(xué)目標(biāo)：一是知識層面的目標(biāo)，即掌握長方體和正方體的特征；二是思維層面的目標(biāo)，即培養(yǎng)學(xué)生的空間能力。空間能力的發(fā)展是指向?qū)W生終身發(fā)展的上位目標(biāo)，這種能力的發(fā)展需要經(jīng)驗(yàn)的積累，是一個有物可言、有理可依、系統(tǒng)發(fā)展的建構(gòu)過程，這個過程可以通過各種有價值的數(shù)學(xué)活動來實(shí)現(xiàn)。

1.眼中有物，腦中有形，讓空間知覺更充分。學(xué)習(xí)本課之前，學(xué)生已經(jīng)對長方體、正方體、圓柱體等立體圖形有了一些直觀的認(rèn)識，他們在生活中觀察、操作、游戲，形成了對圖形最初的認(rèn)知，獲得了圖形與空間結(jié)構(gòu)的體驗(yàn)，然而這些體驗(yàn)往往是零散的、隨意的，空間感知也不充分。因此，立足知識體系，增強(qiáng)直觀感知，才能讓學(xué)生的知覺感知豐富起來。教學(xué)時，在引入長方體環(huán)節(jié)，教師用紙疊成體的動態(tài)方式呈現(xiàn)長方體，有利于學(xué)生形成由“面”到“體”的直覺認(rèn)知；然后，結(jié)合學(xué)生的交流呈現(xiàn)長方體形狀的實(shí)物圖片，使學(xué)生的視覺感知更加充分了；最后，讓學(xué)生選擇不同形狀、不同大小的長方體學(xué)具進(jìn)行操作探究，學(xué)具的選擇過程也是甄別辨析的過程。大量的觀察、操作活動促進(jìn)學(xué)生多感官協(xié)同發(fā)展，使其空間知覺更加充分了。

2.無中生有，虛實(shí)相生，讓空間表象更清晰?？臻g表象是物體或圖形的信息在人腦中再現(xiàn)的過程，清晰的空間表象是成就空間能力的重要內(nèi)容。從空間知覺發(fā)展到空間表象不是一蹴而就的，它需要以數(shù)學(xué)化的直觀圖形為中介。教學(xué)時，教師引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)物中抽象出圖形，并對圖形的關(guān)鍵要素進(jìn)行刻畫，在平面上呈現(xiàn)三維要素。在探究長方體特征之后，教師引導(dǎo)學(xué)生思考“為什么只用3個面就表示出了長方體的樣子？你能看到它的幾條棱？還有3條棱在哪里？”，幫助學(xué)生進(jìn)行立體圖形的抽象。練習(xí)中只給出長、寬、高的長度信息，引導(dǎo)學(xué)生在頭腦中建立長方體的表象，進(jìn)而聯(lián)系生活實(shí)際猜想它可能是什么物體。這種無中生有、虛實(shí)相生的訓(xùn)練，可以讓學(xué)生的空間表象更加清晰。

3.以點(diǎn)帶面，由此及彼，讓空間想象更立體?？臻g想象以充分的空間知覺和清晰的空間表象為基礎(chǔ)，學(xué)生的空間視域越廣，空間想象就越容易發(fā)生。本課教學(xué)時，由開始的紙疊成體至最后的平面圖形生長成直柱體，是對幾何對象的拓展，這也能為研究這類立體圖形的體積計算方法奠定基礎(chǔ)。從特殊到一般、從單角度到全方位地提升了單個圖形的抽象水平，打破了空間思維的局限，起到了以點(diǎn)帶面的效果。另外，探究完長方體后，引導(dǎo)學(xué)生想象“黑板上的長方體如何變化就成了正方體”，由一般到特殊，由此及彼，用聯(lián)系與發(fā)展的視角看待一類圖形，加深了他們對圖形本質(zhì)的理解。

總之，空間能力的發(fā)展是一個循序漸近的過程，當(dāng)我們從空間能力培養(yǎng)的視角來看待“圖形與幾何”內(nèi)容的教學(xué)，我們的眼界必須更加開闊，思維必須更加立體。