從知識本位到素養(yǎng)本位：小學(xué)數(shù)學(xué)教科書習(xí)題板塊的變遷及啟示

李志超，馬甜甜

數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)量關(guān)系與空間形態(tài)的科學(xué)。在追求數(shù)學(xué)素養(yǎng)多維度取向的視角下，數(shù)學(xué)教育開始關(guān)注學(xué)生自身發(fā)展與社會發(fā)展的品格，通過提高抽象、推理、想象與創(chuàng)造的能力，讓學(xué)生能夠運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題；借助數(shù)學(xué)語言發(fā)展數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)情感。教科書作為開展教育教學(xué)活動的重要介質(zhì)，為課程目標的有效落實提供了豐富多樣的學(xué)習(xí)內(nèi)容，展現(xiàn)出內(nèi)在的科學(xué)性、教育性和教學(xué)性特點。隨著課程改革的深入，數(shù)學(xué)學(xué)科經(jīng)歷了從知識本位到素養(yǎng)本位的價值變化，教科書編排也開始關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)、基本活動經(jīng)驗的積累，從而達到對社會生活的適應(yīng)性、發(fā)展性與創(chuàng)造性，充分凸顯出了數(shù)學(xué)學(xué)科的前瞻性與高要求。

習(xí)題板塊作為練習(xí)系統(tǒng)，是數(shù)學(xué)教科書的重要組成部分，具有教學(xué)、育人、知識、檢查、發(fā)展與創(chuàng)新功能，對數(shù)學(xué)知識應(yīng)用、教師教學(xué)檢驗、學(xué)生學(xué)情反饋、認知結(jié)構(gòu)外化都有重要意義。教學(xué)大綱向課程標準的語義演變，蘊含著習(xí)題板塊正在經(jīng)歷傳授知識到構(gòu)建體驗的變化，折射出數(shù)學(xué)觀從關(guān)注結(jié)果走向關(guān)注過程。對此，本文以數(shù)學(xué)教科書的習(xí)題板塊為切入點，比較分析人民教育出版社版2002年版和2013年版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書題目設(shè)計的變遷趨勢與突出特征，總結(jié)并探究有助于數(shù)學(xué)思維發(fā)展、方法創(chuàng)新與綜合能力提高的練習(xí)系統(tǒng)。

一、研究對象、內(nèi)容與方法

(一)研究對象

本研究選取的教科書是人民教育出版社小學(xué)數(shù)學(xué)室編著的九年義務(wù)教育六年制小學(xué)教科書數(shù)學(xué)(2002年版)與人民教育出版社出版教育部審定的義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)(2013年版)(以下簡稱02年版和13年版)。具體以兩版教科書中六年級上冊“圓”為主要研究對象，選用原因如下：

首先，六年級學(xué)生具有思維可逆、圖式符號化特點，能夠運用邏輯、推理、歸納和演繹的方式建立數(shù)學(xué)模型，解決數(shù)學(xué)問題。其注意力從無意識向有意識過渡，思維從具體向抽象變化，記憶以具體形象為主，空間、時間、運動知覺逐漸綜合化。依據(jù)該階段學(xué)生身心發(fā)展特點，高段練習(xí)題目設(shè)置逐漸趨于完善，具有一定研究價值。

其次，本研究選用的兩版教科書，正是基礎(chǔ)教育改革啟動以來，首發(fā)與現(xiàn)行版本。跟隨課程改革的腳步去探索教科書的變遷歷程，具有一定代表性與典型性。“圓”作為教科書中首個系統(tǒng)呈現(xiàn)的平面曲線圖形，主要內(nèi)容包含圓的認識、圓的周長與圓的面積。從數(shù)學(xué)思想角度看，圓滲透了“化曲為直”“以直代曲”“極限”的數(shù)學(xué)思維；從日常生活角度看，“圓”隨處可見，讓我們的生活變得更加方便；從數(shù)學(xué)文化角度看，“圓”不偏不倚、對稱均勻，蘊涵著規(guī)范與哲學(xué)。[1]兩版教科書都將“圓”放置在高段教學(xué)內(nèi)容中，有益于在探究數(shù)學(xué)本質(zhì)的過程中滲透數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)思想。

(二)研究內(nèi)容與方法

一般意義上，教科書的習(xí)題是指“供教學(xué)上作為練習(xí)來使用的問題”，[2]圍繞教科書中習(xí)題的位置、形式、呈現(xiàn)與作用，國內(nèi)外研究者做了大量的研究。國內(nèi)學(xué)者主要從數(shù)量、認知水平、知識含量、問題背景、呈現(xiàn)形式等角度展開分析，圍繞習(xí)題本身設(shè)置教科書練習(xí)系統(tǒng)，重點關(guān)注題目的難易程度與綜合水平。國外學(xué)者則建立了橫縱向維度的比較框架，從順序、范例、主要內(nèi)容、概念結(jié)構(gòu)、認知要求和作答類型六個方面對教科書內(nèi)容進行分析，[3]致力于揭示教科書內(nèi)容與組織差異，探索對學(xué)生能力期望的異同。本文綜合國內(nèi)外比較框架，著眼于習(xí)題作為部分在整體教科書中的作用與意義，關(guān)注練習(xí)的教學(xué)價值與教育功能。

對此，本研究主要采用文本分析法，比較兩版教科書中練習(xí)的編排體例、內(nèi)容結(jié)構(gòu)、呈現(xiàn)方式，以此探究教科書的習(xí)題設(shè)計與配置情況，分析共性與差異性。具體比較框架如表1所示：

表1 兩版教科書習(xí)題板塊比較框架

二、研究過程與結(jié)果

(一)編排體例

兩版教科書的習(xí)題板塊都是由“做一做”和“練習(xí)”組建而成，針對難度較大的題目用星號標記，章節(jié)內(nèi)容后都有相匹配的習(xí)題，形成了完整的練習(xí)體系。02年版和13年版教科書中“圓”這一單元編排體例如圖1所示：“做一做”是一種隨堂練習(xí)，呈現(xiàn)在課節(jié)內(nèi)容與例題后，側(cè)重過程性評價，目的是鞏固運用知識，發(fā)揮教學(xué)與發(fā)展功能?！熬毩?xí)”是一種單元測試，放置于整節(jié)內(nèi)容后，偏向結(jié)果性評價，起到反思回顧內(nèi)容，檢驗反饋學(xué)情的作用。

圖1“圓”的編排體例

習(xí)題板塊與例題、知識內(nèi)容有著密切的聯(lián)系，配備習(xí)題時要充分考慮相關(guān)內(nèi)容間的協(xié)調(diào)性與銜接性。02年版教科書中習(xí)題設(shè)計依附于教學(xué)內(nèi)容與例題，通過變換數(shù)量關(guān)系、問題情境，起到鞏固新知與強化練習(xí)的目的。一方面，習(xí)題與相應(yīng)內(nèi)容表現(xiàn)為一對一的匹配模式，即一道練習(xí)題對應(yīng)一個課節(jié)內(nèi)容或例題。以“圓的認識”為例，教科書在介紹圓的基本概念后，練習(xí)呈現(xiàn)出的題目是用彩筆標出半徑與直徑；在講解工具畫圓后，習(xí)題出現(xiàn)的題目是用圓規(guī)畫圓，并標識圓心、直徑、半徑。這樣一對一的匹配模式，將習(xí)題視為補充與輔助，充分發(fā)揮了練習(xí)的教學(xué)功能。另一方面，習(xí)題與內(nèi)容的匹配程度較高，即題目的設(shè)計是對例題的改造，問題的解決是對熟悉任務(wù)的模仿。在“圓的周長”中，教科書出示了兩道例題，分別是已知直徑求圓桌周長，已知周長求圓形水池直徑。緊隨其后的便是兩道相似的練習(xí)題，依次是已知半徑求自行車輪周長，已知周長求圓環(huán)半徑。這樣的練習(xí)具備“即時”鞏固與應(yīng)用的功能，其實際是對例題解決方案程序化的演示過程。從一對一的匹配模式與匹配程度來看，02年版教科書相關(guān)內(nèi)容與習(xí)題二者之間呈現(xiàn)出絕對匹配的特點。

與之相比，13年版教科書則體現(xiàn)出相對匹配的特點。具體來看，習(xí)題是在教學(xué)內(nèi)容與例題基礎(chǔ)上完成創(chuàng)新與變式，落腳點在于檢驗學(xué)生解決問題的能力。二者表現(xiàn)出一對多或多對多的匹配模式，即一道或多道練習(xí)題對應(yīng)多個課節(jié)內(nèi)容。在匹配程度上，習(xí)題與例題形成梯度，互為補充。比如，教科書在介紹圓的認識與畫法后，設(shè)計了兩道習(xí)題，第一道題目是用生活用品畫圓并尋找圓心，通過作圖工具的特殊化、日?；幚?，將畫圖本質(zhì)與目的回歸到生活背景中，試圖尋找生活中的數(shù)學(xué)原型，表達了數(shù)學(xué)教學(xué)回歸生活的理念。第二道題與舊版教科書設(shè)置相似，用圓規(guī)畫圓并標識，說明統(tǒng)一畫圖工具、規(guī)范作圖方法仍是教學(xué)重點。該版本教科書的習(xí)題板塊是對教學(xué)內(nèi)容的延伸與拓展，練習(xí)價值不僅僅局限于夯實基礎(chǔ)知識與技能，還更加關(guān)注解決問題方式的多樣性和綜合性體驗。

(二)內(nèi)容組織

1.習(xí)題數(shù)量

在“圓”這一章的習(xí)題設(shè)計中，02年版教科書習(xí)題數(shù)量情況：“認識”8道題、“周長”18道題、“面積”19道題，總題量達45道題。13年版教科書習(xí)題數(shù)量情況：“認識”12道題、“周長”13道題、“面積”20道題，總題量達45道題。從本章題量分布來看，02年版教科書更加重視圓的面積和周長中的知識點，13年版教科書與之相對持平。從題量總數(shù)來看，該章題量沒有發(fā)生變化。

表2 兩版教科書“圓”習(xí)題數(shù)量比較

2.組織順序

兩版教科書的練習(xí)板塊在組織形式上都采用了“螺旋式編排”，但整體的組織順序還是存在一定差異。

02年版教科書依據(jù)知識的呈現(xiàn)次序、例題的示范順序建構(gòu)練習(xí)，讓練習(xí)過程緊密貼合知識的獲得過程。例如，“圓的周長”練習(xí)題組中，從已知直徑、半徑求周長的題目出發(fā)，經(jīng)歷已知周長求直徑、半徑的公式逆向運用，再解決與鐘面、測量、單位換算相結(jié)合的問題，最后融合組合圖形與不規(guī)則圖形設(shè)計習(xí)題。教科書習(xí)題組織具有層次性與階段性特點，秉承由易到難、由順到逆的編排順序，綜合考慮知識點間的聯(lián)系，層層遞進，反復(fù)練習(xí)，根本在于強化概念理解與周長公式應(yīng)用，幫助學(xué)生系統(tǒng)掌握基本知識與技能。

13年版教科書基于知識邏輯順序的同時，也關(guān)注到了學(xué)生思維的發(fā)展順序，在習(xí)題組織上具有差異化和模式化的特點。從差異化角度來看，習(xí)題組可以系統(tǒng)分為基礎(chǔ)、變式、綜合與創(chuàng)新四個部分。以基礎(chǔ)知識為核心，以變式練習(xí)為突破，以綜合練習(xí)為提高，以創(chuàng)新練習(xí)為拓展，讓學(xué)生的認知經(jīng)歷識別、理解、應(yīng)用與創(chuàng)造四個階段。差異化的習(xí)題組織有助于結(jié)合學(xué)生思維水平分層教學(xué)，根據(jù)學(xué)情差異進行針對性練習(xí)。從編排的模式化特點來看，習(xí)題組織順序開始追求與學(xué)生的認知相吻合，嘗試建立一套解決問題的模型。依據(jù)理解題目、擬定方案、執(zhí)行方案與回顧四個解題步驟，[4]結(jié)合問題解決的認知模式，讓學(xué)生經(jīng)歷表征、識別、遷移、監(jiān)控四個過程。以“圓的周長”為例，該練習(xí)題組按照鞏固、應(yīng)用、拓展的遞增順序編排?；A(chǔ)練習(xí)中存在以下三道練習(xí)題：(1)已知圓形噴水池半徑，求周長；(2)已知沿圓亭直徑行走的步數(shù)與每步長度，求周長；(3)已知圓柱周長，求直徑。這三道題目通過鞏固新知、變式條件、逆推公式讓學(xué)生經(jīng)歷了知識獲得、轉(zhuǎn)化、評價的過程。布魯納認為學(xué)習(xí)不僅是學(xué)“特定事物”而在于習(xí)“一個模式”。同樣，教科書練習(xí)板塊的設(shè)立也不僅僅是在做特殊的題目，而是在幫助學(xué)生掌握一套解決問題的模式。從本質(zhì)上看，是要求學(xué)習(xí)者掌握有效的遷移應(yīng)用及真實問題的解決，進而實現(xiàn)創(chuàng)造性認知的高階思維，[5]真正做到在解題過程中掌握知識、鍛煉技能、發(fā)散思維、提升素養(yǎng)。

3.知識內(nèi)容

練習(xí)系統(tǒng)是作為教學(xué)內(nèi)容的直接性反饋，是教育教學(xué)是否達成目標的有效檢測手段之一。布盧姆目標分類學(xué)解決了陳述性知識向程序性知識轉(zhuǎn)化的問題，實現(xiàn)了目標、教學(xué)、測評的一致性審視。[6]基于此，通過對教科書教學(xué)目標陳述的梳理，學(xué)生習(xí)題認知程度的審察，便于了解與之契合的習(xí)題知識類型與認知水平。

02年版教科書依據(jù)《九年義務(wù)教育全日制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(試用修訂版)》編撰而成，此大綱要求通過教學(xué)達到“認識圓，會畫圓，掌握圓周長和面積計算公式，介紹圓周率史料進行愛國主義教育”的目標。[7]基于此，習(xí)題設(shè)計主要針對認識、會畫、掌握進行檢驗，進而評判學(xué)生的認知水平。該版本教科書中知識與認知程度的關(guān)系主要為解釋事實性知識、執(zhí)行程序性知識與核查程序性知識。解釋事實性知識表現(xiàn)為用自己的話界定專業(yè)術(shù)語，如車輪為什么要做成圓。執(zhí)行程序性知識反映出對熟悉內(nèi)容的再操作，如用圓規(guī)畫圓、用面積周長公式計算。核查程序性知識體現(xiàn)在判斷計算方法的最佳設(shè)計，如思考周長算法，判斷簡便算法。教科書習(xí)題對學(xué)生的認知要求主要圍繞在記憶、理解、應(yīng)用上，關(guān)注學(xué)生對程序性知識的掌握，將“圓”的相關(guān)內(nèi)容最終落于公式運用與計算能力的培養(yǎng)。

13年版教科書根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2011年版)》編寫，課標要求學(xué)生通過觀察認識圓，學(xué)會用圓規(guī)畫圓；通過操作，了解周長與直徑的比為定值，掌握圓周長公式；探索并掌握圓的面積，解決實際問題。對此，習(xí)題針對知識點進行重點練習(xí)與綜合運用，通過加強知識的深度與廣度，提升學(xué)生的認知水平。該版本教科書中知識的認知維度主要為組織概念性知識、實施程序性知識、生成概念性知識與評判元認知知識。組織概念性知識是整合概念間的一致性，如求解正方形內(nèi)切圓的直徑與半徑，整合曲線圖形與直線圖形的形成結(jié)構(gòu)。實施程序性知識要求選用合適程序完成陌生的任務(wù)，如求解圓環(huán)的面積。生成概念性知識需要通過聯(lián)結(jié)不同概念，提出不同的解決路徑，如周長一定時圍成什么面積最大。評判元認知知識則是判斷選用計劃與現(xiàn)有認知是否吻合，如解釋生活中蒙古包、根莖橫截面為圓的原因。教科書習(xí)題將學(xué)生的認知水平提升到分析、創(chuàng)造與評價的程度，關(guān)注學(xué)生知識特征的聚焦、問題表征的生成、解決策略的優(yōu)化與問題方案的貫徹，將課程內(nèi)容的教學(xué)目標落實在數(shù)學(xué)思維與問題解決層面。

(三)呈現(xiàn)方式

1.題目的呈現(xiàn)方式

兩版教科書的習(xí)題呈現(xiàn)都體現(xiàn)出文字插圖相配合的特點，通過知識內(nèi)容符號化、表格化，發(fā)揮學(xué)生視覺感知，進行信息雙重編碼。02年版教科書中圖片素材寥寥無幾，色彩單調(diào)，樣式單一，缺乏具體事物的類比，缺少抽象復(fù)雜問題的具體形象化過程，整體呈現(xiàn)無規(guī)律可循，直觀抽象無順序可覓。在“圓的面積”中，有這樣一道題目：選定一棵樹干，通過測量計算它的橫截面積。純文字表述題意，忽視配圖的理解性功能，導(dǎo)致題目缺乏明確的指向性，未直觀呈現(xiàn)題目要求的操作行為，實踐的具體路徑不明確，降低了題目的可實施性。

插圖發(fā)揮著文字不可替代的功能，13年版教科書在圖片素材的使用上，更具有圖文并茂的特征。配圖助力題目的完整性、多樣性、順序性與可行性，突出圖文結(jié)合的解釋與說明功能。教材圖文搭配表現(xiàn)出多類型、多組合、多樣化形式，如圍繞“圓”，就先后有整圓、半圓、圓環(huán)、圓與正方形的組合圖形等。插圖的呈現(xiàn)順序體現(xiàn)出生活化向數(shù)學(xué)化、寫實性向抽象性的漸變，引導(dǎo)課堂教學(xué)由現(xiàn)實生活切入，進而升華到基于標準規(guī)范的數(shù)學(xué)理性思考，體現(xiàn)出直觀到抽象、感性到理性的過渡，符合學(xué)生解決問題的認知規(guī)律，幫助學(xué)生思維的階段化轉(zhuǎn)變。

2.情境的創(chuàng)設(shè)方式

問題思考是學(xué)生與問題情境互動的產(chǎn)物，習(xí)題正是聯(lián)系二者的重要紐帶。研究表明：我國數(shù)學(xué)教科書的習(xí)題情景設(shè)計與其他國家一直存在差異，[8]我國的習(xí)題設(shè)計更加注重通過創(chuàng)設(shè)情境培養(yǎng)數(shù)學(xué)情感與滲透數(shù)學(xué)文化。兩版教科書中習(xí)題情境創(chuàng)設(shè)具體情況如圖2所示。

圖2 兩版教科書“圓”習(xí)題情境創(chuàng)設(shè)比較

02年版教科書關(guān)注問題情境的生活化與數(shù)學(xué)化，借助熟悉的情境更好地發(fā)揮習(xí)題理解、鞏固與應(yīng)用功能。秉承這一理念，習(xí)題開始嘗試創(chuàng)設(shè)大量的生活情境，讓學(xué)生在現(xiàn)實中解決數(shù)學(xué)問題。諸如車輪、圓形鐘表、噴泉、鍋爐等物體躍然映于紙上。單物體設(shè)置的樣件，只是幫助學(xué)生“看見”了知識，但究竟怎么用，值得商榷，難免會令人產(chǎn)生一種“偽生活化”的感受。

教科書不是單純呈現(xiàn)知識的文本，而是增強應(yīng)用意識、提高文化素養(yǎng)的資源。13年版教科書在問題情境創(chuàng)設(shè)上增強了操作性、文化性與綜合性，問題背景設(shè)置更貼近現(xiàn)實生活。一方面，教科書體現(xiàn)出數(shù)學(xué)中國化的文化底蘊，將感性的傳統(tǒng)文化、民族特色與理性的數(shù)學(xué)學(xué)科緊密融合，尊重多元的文化社會，注重學(xué)生的人文素養(yǎng)。通過增加玉璧、土樓、門洞、銅錢等具有文化底蘊的實物設(shè)置問題背景，傳遞著中華“尚圓”與“天圓地方”的傳統(tǒng)理念。另一方面，教科書的問題情境具有真實性與生活性，更符合兒童的實際經(jīng)驗，突出數(shù)學(xué)知識在生活、文化、歷史中的運用。例如，在圓的周長練習(xí)中，編排了在生活中找圓環(huán)形物體，測量并計算它的面積。在日常生活用品中找數(shù)學(xué)圖形圓環(huán)，將數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實生活緊密聯(lián)系，是數(shù)學(xué)問題生活化的典型體現(xiàn)。

三、研究結(jié)論與啟示

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)在于建構(gòu)知識的內(nèi)在聯(lián)系，探索規(guī)律的形成過程，提煉基本的思想方法，體驗理性的數(shù)學(xué)精神。數(shù)學(xué)既有具備明確條件、結(jié)論、策略、技巧的波利亞式問題，也有注重建立概念、構(gòu)造體系、形成思想的本原問題。[9]在從知識本位向素養(yǎng)本位的轉(zhuǎn)變過程中，小學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題設(shè)計取得了良好發(fā)展。通過比較研究，可以發(fā)現(xiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題板塊呈現(xiàn)出以下特點：習(xí)題擇取的代表性、知識呈現(xiàn)的統(tǒng)整性、問題設(shè)計的變式性、情境創(chuàng)設(shè)的生活性、題目表征的多元性。

(一)習(xí)題擇取的代表性

教科書練習(xí)系統(tǒng)的習(xí)題擇取表現(xiàn)出由系統(tǒng)性向代表性的轉(zhuǎn)變趨勢?；陟柟讨R、加深理解、考察學(xué)情、培養(yǎng)應(yīng)用與解決問題能力的作用，摘錄于教科書中的習(xí)題應(yīng)當具有基礎(chǔ)性、范例性、典型性的特點。范例教學(xué)思想主張在有限教學(xué)時間內(nèi)組織“教養(yǎng)性學(xué)習(xí)”，[10]促進學(xué)習(xí)者的獨立性，發(fā)揮學(xué)生的知識、能力、態(tài)度的連續(xù)作用。從知識點的面面俱到到難點突破，由代表性題目整合而成的練習(xí)系統(tǒng)，正是建構(gòu)知識框架與思維層級的媒介。

習(xí)題系統(tǒng)建立要力戒盲目追求量而忽視質(zhì)。明確練習(xí)板塊的每道題目并非是獨立個體，而是有重點的整體，謀求讓學(xué)生通過做懂一道題，而解決一類問題，訓(xùn)練一套習(xí)題組，而經(jīng)歷歸納與類比的推理過程，抽象出數(shù)學(xué)現(xiàn)象背后的規(guī)律。一道好習(xí)題需要學(xué)生達到從對原始問題的斟酌到能夠建立解決問題的模型，從個到類，從特殊到一般，從總結(jié)規(guī)律到普遍運用，激發(fā)學(xué)生的獨創(chuàng)、生成與潛在的能力，達到舉一反三的練習(xí)效果。

(二)知識呈現(xiàn)的統(tǒng)整性

教科書增強了習(xí)題的綜合程度，對知識的檢驗由孤立考查向統(tǒng)整考核變化。整個練習(xí)系統(tǒng)通過整體漸進與局部銜接，在練習(xí)內(nèi)部強化學(xué)生的概念域，探究內(nèi)在聯(lián)系，厘清整個知識板塊的邏輯線。在解題過程中，讓學(xué)生反復(fù)經(jīng)歷表征問題、分析問題、解決問題的過程，將問題放置于整個知識框架內(nèi)部，綜合考慮題目中的各個因素。

零散、孤立的習(xí)題不能有效促進學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，將散點聚攏，綜合考查，做到鞏固知識點、串聯(lián)邏輯線、組合認知面。一方面，削弱已知條件與問題的直接關(guān)聯(lián)，促成階段性的推理，設(shè)置層次性的求解過程，借助概念間關(guān)系，讓問題解決經(jīng)歷多條件間的聯(lián)結(jié)，強化知識間關(guān)系理解與綜合應(yīng)用。另一方面，將概念性知識與程序性知識相融合，在靜態(tài)理性知識與動態(tài)操作知識交替發(fā)展中實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的統(tǒng)整。

(三)問題設(shè)計的變式性

習(xí)題板塊中問題設(shè)計開始由原始問題向變式問題轉(zhuǎn)化。鄭毓信認為“不應(yīng)求全，而應(yīng)求變”是數(shù)學(xué)技能教學(xué)的基本原則，“不應(yīng)求變，而應(yīng)求聯(lián)”是數(shù)學(xué)知識教學(xué)的相應(yīng)原則。[11]對此，我們應(yīng)當借助變式問題達到變中求全、變中求聯(lián)，讓學(xué)生在表征、建模、推演中，發(fā)揮抽象概括與歸納推理能力去解決開放性問題。綜合運用知識、技能、思維，在構(gòu)建概念本質(zhì)與非本質(zhì)因素間的關(guān)系時，讓學(xué)生的思維發(fā)展達到由“順”向“逆”，幫助學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)科提高思考能力。

變式理論認為有意義學(xué)習(xí)包含概念性變式與過程性變式兩類策略，前者凸顯本質(zhì)明晰外延，讓學(xué)生多角度理解概念；后者優(yōu)化結(jié)構(gòu)融會貫通，讓學(xué)生體驗知識的演變發(fā)展過程。數(shù)學(xué)練習(xí)系統(tǒng)要綜合兩類策略，合理設(shè)計變式，呈現(xiàn)一題多變與一題多解。變條件、變問題，在變中挖掘不變因素，找到知識聯(lián)結(jié)的關(guān)鍵，感受類比的推理過程。提高問題設(shè)置的開放性與變通性，通過以舊引新，發(fā)掘新思路與新方法。

(四)情境創(chuàng)設(shè)的生活性

習(xí)題情境的設(shè)置開始從“偽生活”向“生活化”轉(zhuǎn)化，試圖加強數(shù)學(xué)知識與生活經(jīng)驗的聯(lián)系，將知識貼近現(xiàn)實，幫助學(xué)生感受社會生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，讓學(xué)生在實際情境中體驗數(shù)學(xué)運用。避免給冰冷的數(shù)字和符號包裹上一層華麗的外衣，改變問題背景“去情景化”到“再情境化”的演變，樹立“練”是為了“用數(shù)學(xué)”的理念。

真實問題情境具有中介與導(dǎo)向功能，一方面能夠讓學(xué)生投身于真切的情境中，體驗知識向生活的遷移過程；另一方面可以讓學(xué)生以辯證的眼光審視題目，結(jié)合自身經(jīng)驗，考慮現(xiàn)實因素，選擇最優(yōu)解決方案。數(shù)學(xué)問題的情境可以衍生出豐富的歷史底蘊與嚴謹?shù)目茖W(xué)魅力，滲透理性思維與數(shù)學(xué)思想，助力學(xué)生理性精神與情感態(tài)度價值觀的更新?；诖?，習(xí)題設(shè)計生活化的關(guān)鍵在于從學(xué)生的日常生活中挖掘好的教學(xué)素材，不僅有思維啟發(fā)性，更有現(xiàn)實運用性，引導(dǎo)學(xué)生從生活中走進文本，再從文本中走向生活。

(五)題目表征的多元性

教科書習(xí)題逐漸由描述性、敘述性的單獨表征向多元表征過渡，借助符號、表格、圖片表征問題，滲透數(shù)形結(jié)合的解題思想，促進內(nèi)在知識結(jié)構(gòu)外化，提高學(xué)生邏輯思維和理性思維能力。多元表征是西方倡導(dǎo)的一種教學(xué)方式，主張概念表征不同方面的相互滲透和必要互補，小學(xué)數(shù)學(xué)多元表征背后體現(xiàn)出多元主義與本質(zhì)主義融合的哲學(xué)基礎(chǔ)。[12]在言語視覺的多重表征下，避免呈現(xiàn)“純條件”與“純問題”，完整反映知識本質(zhì)與非本質(zhì)屬性。借助各個成分的暗示與意指，讓學(xué)生在思維轉(zhuǎn)換，內(nèi)在感知力外化的過程中，理解不同表征間的內(nèi)涵差異，建構(gòu)不同概念因素間的體系。

表征具有多樣性與結(jié)構(gòu)性，不同表征包含著各自獨特的優(yōu)勢。基于此，在教科書編排中，需要明晰不同表征的作用，合理選擇表征形式。習(xí)題是檢驗學(xué)生概念理解的手段，題目設(shè)計要選取恰當?shù)谋碚餍问?，做到問題本質(zhì)屬性的準確刻畫。各類表征中，文字表征闡明題意，呈現(xiàn)條件；圖像表征輔助理解，營造背景；符號表征精確感知，抽象概括。綜合考慮不同表征的功能，通過感知、運算、分析、推理的逐步推進，強化表征寓意與數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系，從而達到數(shù)學(xué)意識與數(shù)學(xué)思維的形成目標。

哈爾莫斯(P.R.Halmos)說過“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，教科書中呈現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的核心環(huán)節(jié)就是習(xí)題板塊。如上所述，代表性習(xí)題具有舉一反三的作用，統(tǒng)整知識為綜合理解奠定了基礎(chǔ)，變式問題起到了轉(zhuǎn)換思維的功效，生活化情境落實了回歸生活的理念，多元表征實現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)的準確刻畫。根據(jù)小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中習(xí)題板塊的變遷特點，我們可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)練習(xí)題設(shè)計應(yīng)立足數(shù)學(xué)素養(yǎng)，探究數(shù)學(xué)本原，在動態(tài)解題過程中，注重滲透數(shù)學(xué)思想，構(gòu)建完整的知識體系，感受數(shù)學(xué)文化魅力。題目的具體設(shè)計，應(yīng)站在數(shù)學(xué)學(xué)科自身角度去思考，通過練習(xí)，我們要傳遞出數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，它不僅是關(guān)于數(shù)與形的科學(xué)，更是關(guān)于思維的模型。