向?qū)W生展示數(shù)學(xué)思維的美妙

摘 要：概念和應(yīng)用是數(shù)學(xué)思維必不可少的兩樣基礎(chǔ)，深度理解“定義”，并掌握“公式”是真正學(xué)好數(shù)學(xué)的基本功，而不是靠題海和訓(xùn)練套路的。

關(guān)鍵詞：直覺；抽象；數(shù)學(xué)思維

思維是人們根據(jù)已知條件，依托已有的知識和經(jīng)驗，對未知的客觀事物的間接反映，是認識過程的高級階段，即以感知為基礎(chǔ)又超越感知的智力活動。數(shù)學(xué)思維是一種有序的、有系統(tǒng)的思考，是層層遞進地觀察、猜想、探索和發(fā)現(xiàn)事物規(guī)律的邏輯思維。

一、 軟件畫圖激發(fā)直覺思維

直覺思維是沒有經(jīng)過完整的分析過程和嚴密的邏輯推理，憑借靈感快速理解，仰仗頓悟作出判斷的非邏輯思維。記得我從理科考場走出來時，聽見學(xué)生議論著（2018年全國Ⅰ理科16）已知函數(shù)f（x）=2sinx+sin2x，則函數(shù)f（x）的最小值是 ，很多學(xué)生說他們的答案是0。為了驗證他們的答案，我利用手機中函數(shù)的圖像，發(fā)現(xiàn)最小值不是0。

平時我們可以在數(shù)學(xué)軟件geogebra的在命令框中直接輸入f（x）=2sinx+sin2x，便得到函數(shù)的圖像，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)猜想錯誤，激發(fā)了學(xué)生的探究的熱情。接著再在geogebra軟件的在命令框中直接輸入derivativef（x）=2sinx+sin2x，便得到f（x）的導(dǎo)函數(shù)圖像，引導(dǎo)學(xué)生如何由圖像想性質(zhì)，經(jīng)歷如何用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f（x）的最小值的過程。

二、 推理論證形成抽象思維

抽象思維是人們以概念為起點運用分析、綜合、歸納、演繹方法去進行邏輯推理的思維方式，主要用于代數(shù)方面。該題推理過程就是學(xué)生抽象思維的結(jié)果，具體如下：首先，讓學(xué)生知道該題是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值問題，其次，在求解的過程中，讓學(xué)生明確函數(shù)的相關(guān)求導(dǎo)公式，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)符號的關(guān)系，由函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間求得函數(shù)的最小值點，第三，求得相應(yīng)的三角函數(shù)值，最后代入求得函數(shù)的最小值。

代數(shù)推理方法1（直接求導(dǎo)）：首先對函數(shù)f（x）=2sinx+sin2x進行求導(dǎo)，化簡求得f′（x）=2cosx+2cos2x=2cosx+4cos2x-2=4（cosx+1）（cosx-12），由不等式f′（x）>0得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[2kπ-13π，2kπ+13π]，k∈Z，由不等式f′（x）<0得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[2kπ+13π，2kπ+53π]，k∈Z，比較函數(shù)的極值和端點值，從而確定函數(shù)的最小值。即當(dāng)x=2kπ-13π，k∈Z時，函數(shù)f（x）取得最小值是-332。

代數(shù)推理方法2（換元后求導(dǎo)）：首先引導(dǎo)學(xué)生對函數(shù)f（x）=2sinx+sin2x化同名，f（x）=2sinx（1+cosx）=2×2tanx21+tan2x2（1+1-tan2x21+tan2x2），

換元，設(shè)t=tanx2，則f（t）=2×2t1+t2（1+1-t21+t2）=8t（1+t2）2，求導(dǎo)化簡得f′（t）=-8（3t2-1）（1+t2）3，確定出函數(shù)的減區(qū)間為（-∞，-33]，[33，+∞），增區(qū)間為[-33，33]，由函數(shù)的極值和函數(shù)圖像，得t=-33時，函數(shù)f（x）取得最小值，

確定函數(shù)的最小值是-332。

以上過程正如張景中院士所說“好的教材、好的讀物、好的老師，就應(yīng)當(dāng)向?qū)W生展示數(shù)學(xué)思維的美妙，引導(dǎo)學(xué)生體驗震撼感、力量感、解放感和科學(xué)之美”。

三、 日常積累拓寬數(shù)學(xué)思維

（一） 加強概念和應(yīng)用，提升直覺思維

數(shù)學(xué)解題是學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、定理和公式的一種靈感和頓悟，是對學(xué)生長期以來積累的數(shù)學(xué)知識的積累，對學(xué)生數(shù)學(xué)思考過程的一種提煉，是數(shù)學(xué)能力的一種升華。因此學(xué)生要熟悉概念、公式和定理的使用條件，結(jié)合自身的知識和經(jīng)驗，提升直覺思維作出正確的判斷。

（二） 加強知識網(wǎng)絡(luò)，培養(yǎng)思維導(dǎo)圖

加強各模塊間聯(lián)系，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，搭建橋梁在原來認為毫無關(guān)聯(lián)的各章節(jié)知識或諸理論分支之間，往往可以覺察到某種統(tǒng)一性或相關(guān)性，進一步溝通內(nèi)化，拓展學(xué)生眼界，讓學(xué)生形成思維導(dǎo)圖。

（三） 加強數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)思維敏銳

學(xué)生的觀察力和觀察角度與其的直覺息息相關(guān)，觀察力敏銳的學(xué)生，洞察事物本質(zhì)，直覺思維出現(xiàn)的概率高，直覺效果非常好。數(shù)形結(jié)合激發(fā)學(xué)生的洞察力和頓悟力，而洞察力和頓悟力又是直覺思維的突出特點，因此，平常解題中常常應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，提高學(xué)生思維的敏銳。

總之，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣是學(xué)生思考之樂，是挑戰(zhàn)之樂。產(chǎn)生數(shù)學(xué)思維的源泉在雙基和合理認知結(jié)構(gòu)，這就要求教師在平常教學(xué)中要幫助學(xué)生夯實基礎(chǔ)、熟練通法緊抓不放。只有掌握好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和基本結(jié)構(gòu)，掌握好數(shù)學(xué)的基本技能，強化基礎(chǔ)的同時滲透數(shù)學(xué)思想方法、特別是數(shù)形結(jié)合思想，抽象概括能力，提升空間想象能力，推理論證能力，數(shù)據(jù)處理能力，運算求解能力的解題能力。注意幫助學(xué)生查缺補漏，舉一反三、觸類旁通，才能有助于學(xué)生的思維由單向型向多向型轉(zhuǎn)變，由直觀向抽象轉(zhuǎn)變，由粗糙向嚴謹轉(zhuǎn)變，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

參考文獻：

[1]靳峰娜.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力的實踐探析[J].才智，2014（08）：98.

[2]彭麗霞.高中生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的現(xiàn)狀調(diào)查研究[D].福建師范大學(xué)，2017.

作者簡介：

陳錦平，福建省福州市，福建省福州高級中學(xué)。