經(jīng)歷建模過程 感悟數(shù)學(xué)思想
——以人教版數(shù)學(xué)教材五年級上冊“植樹問題”教學(xué)為例

張素賢

（葫蘆島市教師進修學(xué)院附屬小學(xué)）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011 年版）》指出：“模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識。”在教學(xué)中，只有讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的過程，才能使他們進一步理解所建立的數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)，從而感悟數(shù)學(xué)思想。下面以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級上冊“植樹問題”教學(xué)為例，探討如何讓學(xué)生經(jīng)歷建模過程，感悟數(shù)學(xué)思想。

一、創(chuàng)設(shè)情境，感知模型

杜威認為：“教學(xué)的藝術(shù)就在于能夠創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫??！痹跀?shù)學(xué)教學(xué)中，大多數(shù)知識點都與一定的社會背景即“情境”相聯(lián)系，通過創(chuàng)設(shè)有效的教學(xué)情境，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的動機，充分發(fā)揮動手、動腦能力，使他們?nèi)ヌ骄俊⑺伎?、發(fā)現(xiàn)和解決問題，從而享受學(xué)習(xí)的樂趣，獲得成功的喜悅，真正成為學(xué)習(xí)的主人。

如在教學(xué)本課時，我先用課件出示“康師傅3+2餅干”的生活情境圖。

師：同學(xué)們吃過“康師傅3+2 餅干”嗎？猜猜看，為什么稱它為“3+2”呢？

生：因為它有3層餅干，兩層夾心。

師：像這種餅干與餅干之間的夾心，在數(shù)學(xué)上我們稱之為“間隔”。這種餅干有兩層夾心，我們就說它有2個間隔，間隔數(shù)為2。

師：生活中“間隔”隨處可見，請同學(xué)們伸出右手，五指張開，你看到了什么？

生：5個手指有4個空隙。

生：5個手指有4個空隙，就是4個間隔。

師：請靠窗戶這一列的第一位和第二位同學(xué)起立，這兩位同學(xué)之間產(chǎn)生了幾個間隔？

生：1個間隔。

師：請第三位同學(xué)也起立，這三位同學(xué)之間產(chǎn)生了幾個間隔？

生：三位同學(xué)之間產(chǎn)生了2個間隔。

師：請第四位同學(xué)也起立，這四位同學(xué)之間產(chǎn)生了幾個間隔呢？

生：四位同學(xué)之間產(chǎn)生了3個間隔。

師：這一列共有幾位同學(xué)？產(chǎn)生幾個間隔？

生：6位同學(xué)產(chǎn)生5個間隔。

師：如果我們班50 位同學(xué)都像這樣站成一列，能產(chǎn)生多少個間隔？

生：50位同學(xué)產(chǎn)生49個間隔。

師：如果我們五年級全體同學(xué)站成了這樣的一列，出現(xiàn)了300 個間隔，你們猜我們五年級一共有多少位同學(xué)？

生：301位同學(xué)。

師：看來間隔數(shù)和人數(shù)有點關(guān)系。今天我們就來研究和間隔數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題——植樹問題。

在新課導(dǎo)入環(huán)節(jié)，以學(xué)生熟悉的“3+2”餅干作為引入來認識間隔，理解間隔的意義，并將生活中一些看似不相關(guān)的事物放在一起，意在讓學(xué)生體會：不同的事物或現(xiàn)象之間存在著相同的數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)模型。這樣引入親切自然，既讓學(xué)生感受到了生活中處處有數(shù)學(xué)，又為接下來的學(xué)習(xí)分散了難點。

二、探究規(guī)律，建立模型

探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律是培養(yǎng)學(xué)生模型思想的重要途徑之一，發(fā)現(xiàn)一個規(guī)律就是發(fā)現(xiàn)一個模式，要引導(dǎo)學(xué)生能夠用多種方法表達“模式”的特點。課程標準中明確提出，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生感悟建模過程，發(fā)展模型思想。小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)具有鮮明的階段性和初始性特征，即要從學(xué)生熟悉的生活和已有的經(jīng)驗出發(fā)，引導(dǎo)他們經(jīng)歷將實際問題逐步抽象成數(shù)學(xué)模型并進行解釋與運用的過程，進而使他們對數(shù)學(xué)學(xué)科和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理解更深刻。

“植樹問題”中最重要的數(shù)學(xué)思想就是模型思想，而如何讓學(xué)生理解從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型的過程是本節(jié)課的難點。課堂上，要從實際問題入手，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜測、驗證、推理與交流活動，使他們在解決問題的分析、思考過程中逐步發(fā)現(xiàn)隱含于不同情形中的規(guī)律，經(jīng)歷抽象出數(shù)學(xué)模型的過程，體驗數(shù)學(xué)思想方法在解決問題中的應(yīng)用。

（一）出示問題，分析理解

課件出示例題：在全長100 米小路的一邊植樹，每隔5米栽一棵，兩端要栽，一共要栽多少棵樹？

師：從題目中你知道了什么？

生：這條路全長100米。

生：只在路的一邊植樹。

師：路的“一邊”是什么意思？如果將這把尺子看作一條路，一邊指的是什么？（學(xué)生拿著直尺，一邊演示一邊描述）

師：尺子的兩端指的是哪里？“兩端要栽”是什么意思？誰能解釋一下？

生：“兩端要栽”是指路的首尾都要栽樹。

師：“每隔5米栽一棵”是什么意思？

生：說明樹與樹之間的間隔長度相等，都是5米。

這樣，學(xué)生從觀察題意入手，通過分析，基本上理解了題意。

（二）大膽猜測，引發(fā)沖突

引導(dǎo)學(xué)生分析理解題意之后，還應(yīng)發(fā)揮學(xué)生的主體作用，以問題引導(dǎo)他們大膽猜想，引發(fā)思維沖突。

師：猜一猜，一共要栽多少棵樹？試著算一算。

生：100÷5=20（棵）。

生：我覺得需要21 棵樹，列算式是100÷5+1=21（棵）。

生：我覺得需要19棵樹，列算式是100÷5-1=19（棵）。

師：這三種不同的答案中卻有一個相同的地方，那就是都有一個除法算式100÷5。想一想，100÷5表示的是什么呢？

生：100÷5 表示把 100 米長的小路，平均每 5 米分成一段，可以分成20段。

生：我猜想植樹的棵數(shù)與段數(shù)存在一定的關(guān)系。

生：我猜想植樹的棵數(shù)應(yīng)該和間隔數(shù)有關(guān)系。

師：同學(xué)們真是善于思考、敢于猜想，你們打算怎樣檢驗自己的猜想？有什么好的方法能讓人非常直觀地看出你的猜想是正確的呢？

生：可以畫圖。

師：對，畫圖是解決問題的一種好方法。我們就用畫圖的方法進行驗證。

師：怎么畫？畫100米嗎？

生：這樣畫太麻煩了。

師：那有什么好辦法？

另一方面，在執(zhí)行過程中要堅持以人為本，講究實事求是。管理者要對制度內(nèi)容和要求了然于胸，對于組織成員要一視同仁，獎罰分明。其他組織成員要對管理制度清晰認識，遵守制度。對于違反管理制度的成員要懲處，樹立制度的權(quán)威，促使組織成員從上到下自覺維護，保證制度對管理工作的高效作用。

生：我們可以先畫一小段看看。

生：畫短點，找出規(guī)律。

師：好主意。遇到較復(fù)雜的數(shù)據(jù)，不便于研究的時候，我們可以換成較小的數(shù)據(jù)進行研究，也就是把復(fù)雜問題簡單化，這種方法在數(shù)學(xué)上叫做“化繁為簡”。我們先選取100米中的20米來研究，行嗎？

以生為本的課堂，需要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展和形成過程，要以他們的學(xué)習(xí)起點為基礎(chǔ)展開教學(xué)。小學(xué)五年級學(xué)生的思維仍以形象思維為主，但抽象思維能力也有了初步的發(fā)展，具備了一定的分析綜合、抽象概括能力。當(dāng)問題出現(xiàn)后，根據(jù)題中給的已知條件，他們會想到以前學(xué)過的除法，列出除法算式100÷5，然后再猜想植樹的棵數(shù)。這時，再引導(dǎo)學(xué)生思考：怎樣檢驗這個結(jié)果是否正確？能使他們經(jīng)歷整個分析、思考的全過程。在一這個過程中初步感受到：遇到問題時，可以先給出一個猜測，要判斷這個猜測對不對，可以用比較簡單的例子來驗證，從簡單的事例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后應(yīng)用找到的規(guī)律來解決原來的問題。在這個過程中，學(xué)生感悟到了“化歸”的數(shù)學(xué)思想，理解了化歸思想是攻克復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的法寶之一，具有重要的意義和作用。

（三）借助操作，探究規(guī)律

課件出示例題：20 米長的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵,兩端要栽，一共要栽多少棵樹？

師：如果兩端要栽，請在線段圖上畫出要種的樹。想一想樹要種在線段圖上哪個位置？要種幾棵？（學(xué)生獨立思考，動手操作）

生：第一棵樹種在起點，量出5 米種第二棵，再量5 米種第三棵，再量5 米種第四棵，最后再量5 米也就是末尾處種第5棵，一共要栽5棵。

師：20米長的小路，每隔5米種一棵樹，同把這條線段平均分成了幾段？有幾個間隔？怎么列算式？

生：這條線段平均分成了4段，有4個間隔，列算式是20÷5=4。

師：20 米是路的總長，每隔5 米分成一段，就說明間隔長度是5 米?？梢苑殖? 段，就是有4 個間隔，也叫做間隔數(shù)是4，那么間隔數(shù)等于什么呢？

生：路的長度÷間隔長度=間隔數(shù)。

師：明明是有4個間隔？怎么就種5棵樹了呢？

生：兩端都要種樹,一棵樹對應(yīng)一個間隔，一棵樹對應(yīng)一個間隔，這樣依次對應(yīng)下去，最后一棵樹沒有對應(yīng)的間隔了，所以棵數(shù)比間隔數(shù)多1。

師：那怎么列算式呢？

生：20÷5+1=5（棵）。

師：也就是說，兩端都種的情況下，棵數(shù)等于間隔數(shù)加1。（板書，棵數(shù)=間隔數(shù)+1）

小學(xué)生以具體形象思維為主，他們對數(shù)學(xué)的理解是從動手操作開始的。上述教學(xué)片斷中，我指導(dǎo)他們通過畫線段圖初步建立植樹問題的數(shù)學(xué)模型，通過觀察兩端都栽樹的線段圖，把分割點數(shù)和栽樹的棵數(shù)一一對應(yīng)起來。以“明明是有4 個間隔，怎么就種5 棵樹了呢”引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生認知沖突，借助線段圖將認識聚焦到“棵數(shù)”與“間隔數(shù)”之間的一一對應(yīng)關(guān)系上，引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)并初步總結(jié)出栽樹的棵數(shù)與間隔數(shù)之間的關(guān)系，建立起了數(shù)學(xué)模型。

（四）舉例驗證，建立模型

學(xué)生的具體數(shù)學(xué)模型建立后，還應(yīng)以此為基礎(chǔ)，擴展思維，引領(lǐng)他們抽象出適用性更廣的數(shù)學(xué)模型。

師：我們只研究了 100 米中的一段20 米，得出這樣的結(jié)論。這個結(jié)論一定是對的嗎？我們可以再舉幾個例子試一試。請選擇你比較喜歡的方法，先自己獨立思考嘗試一下，再在小組內(nèi)交流，看看能發(fā)現(xiàn)怎樣的規(guī)律，并填好研究單。

（學(xué)生匯報規(guī)律得出：路的長度÷間隔長度=間隔數(shù)，間隔數(shù)+1=棵數(shù)）

師：同學(xué)們都明白了兩端都栽的情況下樹的棵數(shù)與間隔數(shù)之間的關(guān)系?；氐嚼}，在全長100 米的小路一邊植樹，每隔5 米栽一棵（兩端要栽），一共要栽多少棵樹？哪些同學(xué)剛才猜對了？

師：（點幾個猜錯的同學(xué)）現(xiàn)在你知道自己猜錯的原因是什么了嗎？

師：你能解釋100÷5=20 是什么意思嗎？為什么還要用20+1=21（棵）？

（學(xué)生舉手回答，解釋兩個算式的含義）

師：剛開始時同學(xué)們都猜想棵數(shù)與段數(shù)或間隔數(shù)存在一定的關(guān)系，其實段數(shù)就是間隔數(shù)，兩端都栽，棵數(shù)=間隔數(shù)+1。

教育活動必須以調(diào)動學(xué)生的主動性、積極性為出發(fā)點，使他們具有充分的動力，主動學(xué)習(xí)，善于學(xué)習(xí)，逐步形成自主學(xué)習(xí)能力。自主探究、合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式，也是學(xué)習(xí)必須具備的學(xué)習(xí)能力。在上面教學(xué)片段中，學(xué)生有時自主探索、有時合作交流，在知識探索中充分體驗了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的全過程，發(fā)展了數(shù)學(xué)思維，為數(shù)學(xué)建模思想的發(fā)展提供了載體。

（五）變式應(yīng)用，拓展延伸

在達成教材中要求掌握的“植樹問題”基本數(shù)學(xué)模型后，我們還可以借勢變式和應(yīng)用，以達到拓展延伸的效果。

【情況一】只種一端。

師：剛才我們研究了“兩端都種”的情況，發(fā)現(xiàn)“兩端都種”時棵數(shù)和間隔數(shù)有著一定的關(guān)系。按照剛才的種法，在20 米長的小路上種樹，假如路的盡頭是一幢房子該怎么辦？

生：只能種一端。

師：這時候，棵數(shù)與間隔數(shù)還會是這個規(guī)律嗎？它跟“兩端都種”又有什么不同？在你畫的20 厘米小路的最右端安上一個房子，看看你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：少了一棵，只要種4 棵。20÷5=4（棵），要種4 棵。

師：在這種情況下，棵數(shù)與間隔數(shù)有什么關(guān)系？

學(xué)生借助線段圖，用一一對應(yīng)的方法一邊演示，一邊說明理由：假如路的一端有房子，這時候間隔數(shù)是4，棵數(shù)也是4，棵數(shù)等于間隔數(shù)。

【情況二】兩端都不種。

師：你覺得種樹還有可能發(fā)生哪種情況？

生：路的兩端都有房子。

師：猜想一下，這種情況又會是什么結(jié)果？棵數(shù)與間隔數(shù)有什么關(guān)系？

學(xué)生先猜想結(jié)果，再借助線段圖，用一一對應(yīng)的方法一邊演示，一邊說明理由：如果路的兩端都有房子，那兩端都不能種。這時候，間隔數(shù)還是4，但棵數(shù)是3，棵數(shù)比間隔數(shù)少1。

師：剛才我們探究植樹問題時遇到了三種不同的情況：“兩端都種”“ 只種一端”和“兩端都不種”。我們知道在不同的情況下，間隔數(shù)與棵數(shù)之間存在不一樣的關(guān)系。

師：這就是我們今天研究的不同情況的植樹問題。（板書課題，植樹問題）

上述教學(xué)片段中，通過引導(dǎo)學(xué)生參與觀察、猜測、驗證、推理等活動，使他們經(jīng)歷了將實際問題抽象出數(shù)學(xué)模型并進行解釋與應(yīng)用的過程。將“兩端都種”作為植樹問題的基本模型，歸納出棵數(shù)與間隔數(shù)之間的關(guān)系，理解植樹問題的本質(zhì)，滲透幾何直觀、一一對應(yīng)、化歸、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)思想方法。最后，在“兩端都種”模型的基礎(chǔ)上，再引出兩個特殊情況（只種一端、兩端都不種），分別用一一對應(yīng)的方法得出結(jié)果，激發(fā)了學(xué)生對數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲，激發(fā)了他們對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。

三、應(yīng)用模型，解決問題

建立數(shù)學(xué)模型的目的是要應(yīng)用模型解決實際問題，學(xué)生建立了數(shù)學(xué)模型并不表示問題得到解決，還要用所建立的數(shù)學(xué)模型來解答生活中的實際問題，把建立的模型拓展應(yīng)用到生活中，讓學(xué)生能體會到數(shù)學(xué)模型的實際應(yīng)用價值，體驗到所學(xué)知識的用途和益處。這樣，才能使學(xué)生加深對模型的體會、促進對模型的領(lǐng)悟，體驗到實際應(yīng)用帶來的快樂。

（一）回歸生活，尋找模型

將掌握的知識應(yīng)用到生活中去，是課程標準中的一個重要理念，在習(xí)得了數(shù)學(xué)模型后，還需要回歸生活，讓學(xué)生尋找模型。

師：其實植樹問題并不只是與植樹相關(guān)，生活中有很多問題可以看作植樹問題來解決。

課件出示圖片案例：

師：同學(xué)們能舉幾個這樣的例子嗎？

生：排隊，每隔1米站一名同學(xué)。

生：擺桌子，每隔一段距離，擺放一張桌子。

生：公交車，每隔一段距離，設(shè)一個公交站臺。

生：架設(shè)電線桿。

通過聯(lián)系生活中的實例，學(xué)生尋找到了新的模型，對“植樹問題”的理解更為深刻。

（二）聯(lián)系實際，判別模型

課件出示：下面每一題相當(dāng)于植樹問題中哪一種情況？

1.廣場上的鐘聲（ ）

2.音樂中的“五線譜”（ ）

3.成語“一刀兩段”（ ）

A.兩端都種 B.只種一端 C.兩端不種

通過聯(lián)系實際，學(xué)生不僅學(xué)會了應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，還學(xué)會了判別遇到的問題是否為“植樹問題”。

（三）練習(xí)應(yīng)用，鞏固模型

1.在一條全長2km 的街道兩旁安裝路燈（兩端也要安裝），每隔50m 安一盞。一共要安裝多少盞路燈？

2.馬拉松比賽全程約42km。平均每3km 設(shè)置一處飲水服務(wù)點（起點不設(shè)，終點設(shè)）。全程一共有多少處這樣的服務(wù)點？

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的建模過程，就是教師啟發(fā)學(xué)生從一種生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象出發(fā)，聯(lián)想到具有相同特點的其它規(guī)律，在形成大量的表象基礎(chǔ)上，引導(dǎo)他們?nèi)サ羯畹摹巴庖隆保Ａ魯?shù)學(xué)的本質(zhì)，從而抽象出數(shù)學(xué)模型。上述教學(xué)片斷中，我通過舉例“生活中還有什么事情可以看作植樹問題”，帶領(lǐng)學(xué)生一起尋找類似植樹問題的實例，并借助類比聯(lián)想讓學(xué)生自主建構(gòu)模型，形成植樹問題的模型結(jié)構(gòu)圖，加深了對植樹問題的認識和理解。同時，使得相關(guān)問題都可以歸結(jié)到這個結(jié)構(gòu)圖中，充分發(fā)揮了模型思想在解決問題中的作用，讓學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)在日常生活中的廣泛應(yīng)用，體會到了數(shù)學(xué)價值。