數(shù)學(xué)建模：賦予學(xué)習(xí)的力量

詹旺飛

摘要：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)不但要教會學(xué)生解答題，而且要教會學(xué)生解決實際問題，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力。因此，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師必須向?qū)W生傳授“數(shù)學(xué)建?！钡乃枷搿?/p>

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;應(yīng)用意識;抽象概括;系統(tǒng)歸納

長期以來，有很多學(xué)生在潛意識中認(rèn)為自己沒有能力學(xué)好數(shù)學(xué)。以前對數(shù)學(xué)教材的認(rèn)識掩蓋了學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)部機(jī)制，曲解了學(xué)習(xí)內(nèi)容。但其實，只有當(dāng)學(xué)生從觀察具體事例而獲得直覺猜想，對不同的猜想的正確性的分析、比較、討論，從而真正建構(gòu)起自己的思想體系，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才富有成效。因此，學(xué)生需要培養(yǎng)出這樣一種數(shù)學(xué)頭腦：會數(shù)學(xué)地提出問題、分析問題、解決問題。近年來，“數(shù)學(xué)知識在實際中的應(yīng)用”及“從實際問題中建立數(shù)學(xué)模型”的教學(xué)越來越引起了人們的重視。

教學(xué)中怎樣建模

模式建構(gòu)的基本思想是教師通過創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生體驗教學(xué)建構(gòu)的過程，從而取得創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，它是把“創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)”納入數(shù)學(xué)教育的一種可行的手段，因而，在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要作用越來越被數(shù)學(xué)教育工作者所認(rèn)可。弗賴登特爾認(rèn)為“學(xué)生自己發(fā)明數(shù)學(xué)就會學(xué)得更好”。在建構(gòu)過程中，由于激發(fā)學(xué)生參與發(fā)現(xiàn)的熱情，因而增加了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增長創(chuàng)新智慧。

模式的建構(gòu)必須從問題開始 模式的建構(gòu)是一種創(chuàng)造性數(shù)學(xué)思維活動，“思維自疑問題”，沒有問題就不可能有思維，當(dāng)然更談不上創(chuàng)造性思維。

隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，把生活中的經(jīng)濟(jì)問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)建模中常見的例子。如某公司向銀行貸款40萬元用來開發(fā)某種新產(chǎn)品，已知該貸款的年利率為15%（不計復(fù)利，即還貸前每年利息不重復(fù)計息），每個新產(chǎn)品的成本是2.3元，售價是4元，應(yīng)納稅款為銷售額的10%，如果每年生產(chǎn)該種產(chǎn)品20萬個，并把所得利潤用來歸還貸款，問需幾年后才能一次性還清。（利潤=銷售額-成本-稅款）。

略解：設(shè)需x年后才能一次性還清貸款，根據(jù)所得利潤等于貸款的本息和得：（4×20-2.3×20-4×20×10%）x=40+40×15%x整理得x=2答：略

解決這類產(chǎn)銷問題，首先要理解“成本價”“銷售價”“利潤”“本息和”名詞的意義。明確有關(guān)量之間關(guān)系式：利潤=銷售額-成本-稅款，本息和=本金+本金×利率×期限，銷售利潤率=銷售利潤÷成本×100%等，通過“模型”移植建立數(shù)學(xué)模型，使之成為常規(guī)數(shù)學(xué)問題，這不僅能體會理論與實踐相互關(guān)系和相互作用，還能從結(jié)果的實際意義中看到數(shù)學(xué)的價值。

教材是一種導(dǎo)向，要求教師和學(xué)生不僅要重視數(shù)學(xué)建模思想，還要有的放矢地采用，去解決一類實際應(yīng)用問題。而設(shè)定一個或幾個難度恰當(dāng)?shù)膯栴}對模式的建構(gòu)至關(guān)重要。而且它一般是以某種情境給出，既要有典型性和啟發(fā)性，又要背景豐富引人入勝。

模式的建構(gòu)必須充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用 現(xiàn)代建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)論認(rèn)為：學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并非是被動吸收知識的過程，“而是一個以已有的知識和經(jīng)驗為基礎(chǔ)的主動的建構(gòu)過程”。這就是說，主體只有親身經(jīng)歷自己內(nèi)心世界的建構(gòu)和體驗才能更好地學(xué)好數(shù)學(xué)。

模式的建構(gòu)過程正是猜想與證明的過程 模式的建構(gòu)，是學(xué)生模仿數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)真理創(chuàng)造模式的過程。而要實現(xiàn)這個過程，既需要形式邏輯思維，更需要觀察、實驗、歸納、類比、抽象、猜測等辨證邏輯思維。因此，在這個教學(xué)過程中，教師既要教猜測，又要教證明。G·波利亞認(rèn)為“先猜后證——這是大多數(shù)的發(fā)現(xiàn)之道”。

猜測在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要，尤其幾何證題中。如教材第三冊中講授定理全等三角形對應(yīng)角的平分線對應(yīng)相等，在學(xué)此定理后，教師應(yīng)及時指導(dǎo)學(xué)生猜測與此類似的命題，通過學(xué)生討論可得出“全等三角形對應(yīng)邊上的高線、中線對應(yīng)相等”，然后教學(xué)生證明。類似的還有“等腰三角形兩底角的平分線相等”，先教學(xué)生猜測類似的命題“等腰三角形兩腰上的高線、中線相等?！痹诓聹y和證明的過程中，引導(dǎo)學(xué)生模仿數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)真理創(chuàng)造模式，從中學(xué)會數(shù)學(xué)的思想，學(xué)會從方法論的角度去自覺地總結(jié)數(shù)學(xué)活動中的經(jīng)驗。

學(xué)生建模能力的培養(yǎng)

細(xì)水長流，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識 數(shù)學(xué)問題源于現(xiàn)實生活，是從生活、生產(chǎn)實際問題中抽象出來的。所以在數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想的傳授時，應(yīng)盡可能地聯(lián)系生活、生產(chǎn)實際。

首先，在教學(xué)中重視數(shù)學(xué)概念的實際引入，如通過“溫度計”引入負(fù)數(shù);由直角三角形的勾股定理引入無理數(shù);用“細(xì)胞分裂”的實例引入了指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)等。這樣的教學(xué)既加深了學(xué)生對概念的理解，又培養(yǎng)了學(xué)生對應(yīng)用問題的興趣。

其次，用好課本上帶有應(yīng)用性的習(xí)題是培養(yǎng)學(xué)生建模能力的一個重要環(huán)節(jié)。在教材各章節(jié)中，編入了涉及廣泛的應(yīng)用知識習(xí)題，如測量建筑物的高度、兩岸兩點間的距離、控制人口增長、產(chǎn)量的遞增、水池中噴水管的高度等。為數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，加強(qiáng)建模訓(xùn)練，提高將實際問題“數(shù)學(xué)化”能力提供豐富的材料，在平常教學(xué)中應(yīng)本著“能滲透，就滲透，能聯(lián)系就聯(lián)系”的原則，要克服單純追求課堂上教學(xué)的容量，而忽視“實例引入”和“知識實際應(yīng)用”的數(shù)學(xué)方法。

突破題意閱讀關(guān)，提高學(xué)生抽象概括能力 在教學(xué)中，我們經(jīng)常見到部分學(xué)生在解決實際問題時，往往表現(xiàn)得無從下手，束縛于舊知，苦思而不得其解，在已知與未知之間不能建立一種等量關(guān)系。而解決實際問題的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即建立數(shù)學(xué)模型，而要建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型必須突破題意閱讀大關(guān)。

由于應(yīng)用題表達(dá)問題的方式較間接，題意轉(zhuǎn)化較為困難，部分學(xué)生往往因讀不懂題目而采取回避的態(tài)度，久而久之，看到應(yīng)用題就害怕，失去解題的信心。

要解決上述問題，首先教師應(yīng)明確目前學(xué)生的認(rèn)知水平，必須考慮到學(xué)生的生活閱歷及掌握的數(shù)學(xué)知識和解題經(jīng)驗。其次應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生主動理解題意，重視語言的轉(zhuǎn)化，切不可為學(xué)生代勞，要啟發(fā)學(xué)生自己總結(jié)數(shù)學(xué)模型，切不可貪快貪多。在教學(xué)中教師指導(dǎo)學(xué)生閱讀題目建立模型一般分為三步：閱讀原題尋找關(guān)鍵詞，明確題意;設(shè)置未知數(shù)，實踐階段列式目標(biāo);尋找關(guān)系，建立模型。

系統(tǒng)歸納，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力 系統(tǒng)歸納常見的數(shù)學(xué)模型是提高學(xué)生建模能力的重要途徑，因此在教學(xué)中及時指導(dǎo)學(xué)生歸納整理，形成能力，消除畏難情緒，提高建模能力。如建立函數(shù)模型，其特點題目往往涉及最優(yōu)化問題，如前面提到的銷售價;建立不等模型，其特點：題目中涉及到“不超過……”“不少于……”“至少……”“至多……”等敘述句;建立方程模型，其特點題中有等量關(guān)系;建立幾何模型，其特點涉及行走路線、測量、航行等。

結(jié)束語

數(shù)學(xué)素質(zhì)可歸結(jié)為“歸納，演繹，建模，創(chuàng)新”，而數(shù)學(xué)來源于實際，又應(yīng)用到實際中去。我們既要重視基礎(chǔ)知識，基本技能，更要重視基礎(chǔ)知識、基本技能的轉(zhuǎn)化應(yīng)用，只有這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)，才能掌握數(shù)學(xué)的內(nèi)函，形成全面的數(shù)學(xué)素質(zhì)。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要把培養(yǎng)建模能力和創(chuàng)新能力作為突破口，經(jīng)常地、有意識地把有關(guān)的數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實生活聯(lián)系起來，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)立場、觀點、思想去觀察分析各種社會現(xiàn)象，尋找其本質(zhì)特性，建立數(shù)學(xué)模型達(dá)到解決問題的目的。

參考文獻(xiàn)

[1]丁爾升，唐復(fù)蘇.中學(xué)數(shù)學(xué)課程導(dǎo)論[M]，上海：上海教育出版社，1994.

[2]戴再平.數(shù)學(xué)習(xí)題理論[M].上海：上海教育出版社，1996.

[3]徐利治、鄭毓信，數(shù)學(xué)模式論[M].南寧：廣西教育出版社，1993.

（作者單位：浙江省諸暨市開放雙語實驗學(xué)校）