形狀記憶合金纖維復合材料梁非線性變形、熱屈曲和振動

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(山東科技大學 機械電子工程學院，山東 青島 266590)

復合材料結(jié)構(gòu)與金屬材料結(jié)構(gòu)相比具有強度和剛度大、重量輕以及耐高溫和耐腐蝕等優(yōu)越性能，特別是復合材料結(jié)構(gòu)力學性能可剪裁性，在許多工程領域受到普遍認可。近年來，復合材料梁、板和(或)殼在航空航天、潛艇和汽車等領域得到廣泛的應用。智能材料與結(jié)構(gòu)理論的發(fā)展，為進一步改進和擴展復合材料的功能，提供了有效途徑[1]。復合材料超音速飛機結(jié)構(gòu)在氣動熱載荷的作用下，可能產(chǎn)生較大的熱屈曲非線性變形，干擾飛機表面的氣流場，影響飛機的安全飛行，而熱屈曲和非線性振動可能導致結(jié)構(gòu)的強度和安全性能退化。近幾十年來，將形狀記憶合金(shape memory alloy,SMA)作為一種先進的智能材料，埋入復合材料梁、板和殼類結(jié)構(gòu)中，構(gòu)成SMA復合材料結(jié)構(gòu)，以實現(xiàn)對復合材料結(jié)構(gòu)控制的理論研究與實際應用，已經(jīng)受到來自工程界和學術(shù)界極大關注并獲得許多重要進展。 SMA特有的力學性能主要源于其在溫度激勵下會產(chǎn)生馬氏體相變，改變結(jié)構(gòu)剛度特性和彈性特性調(diào)節(jié)復合材料結(jié)構(gòu)的性能。

Lau等[2]研究具有SMA絲兩端固支復合材料梁在SMA絲驅(qū)動下固有頻率的變化規(guī)律；Tsai等[3]針對具有主動SMA纖維的復合材料梁的靜屈曲載荷和固有頻率進行參數(shù)研究；Aoki等[4]研究埋入TiNi纖維環(huán)氧樹脂的主動阻尼效應，以檢驗復合材料做為阻尼材料的可能性；Zhang等[5]研究運動學假設對任意埋入SMA的復合材料梁撓度和振動特性的影響，將直接線性化非線性控制方程得到的固有頻率和在靜平衡點附近線性化非線性控制方程得到的固有頻率進行了比較；Majewska等[6]研究具有磁致SMA作動器、帶裂紋的復合材料梁主動振動控制；Lee等[7]采用傳遞矩陣方法研究具有SMA螺旋彈簧的復合材料階梯梁的橫向振動；Dos Reis等[8]研究在環(huán)氧樹脂中埋入NiTi的智能復合材料梁的振動抑制特性。Ren等[9]將SMA纖維埋入各向異性復合材料薄壁矩形截面梁，提出具有變形主動驅(qū)動作用的SMA纖維混雜復合材料薄壁截面梁的力-位移本構(gòu)關系模型，揭示了SMA纖維對復合材料薄壁梁收縮-彎曲-扭轉(zhuǎn)靜變形特性的作用規(guī)律。任勇生等[10]研究具有SMA主動纖維旋轉(zhuǎn)復合材料單閉室薄壁截面梁的耦合自由振動問題。Sohn等[11]采用實驗方法研究具有SMA絲作動器柔性梁的振動與位置控制，并且將實驗結(jié)果與理論結(jié)果進行比較；Kang等[12]研究在不同溫度下碳/環(huán)氧復合材料在低速沖擊下的響應；Brinson等[13]通過加熱和冷卻SMA絲考察復合材料梁變形主動控制特性；Raghavan等[14]評價了超彈性SMA纖維用于增強阻尼能力的潛力以及熱固樹脂基的韌性；Du等[15]研究埋入SMA的環(huán)氧樹脂的變形，為了分析環(huán)氧樹脂梁力學特性對時間的依賴性，導出一個遞歸方程。

然而，上述研究均未考慮復合材料梁剪切變形的影響。事實上，SMA復合材料梁結(jié)構(gòu)建模可以依據(jù)不同理論。如果梁的橫截面在變形后仍保持平面且垂直于變形后梁的撓度曲線，則可采用經(jīng)典梁理論或者是Euler-Bernouli梁理論。如果梁在厚度方向的位移多項式的階數(shù)為1，則稱為Timoshenko梁理論或一階剪切變形梁理論；位移多項式的階數(shù)大于1，則稱為高階剪切變形梁理論。

Barzegari等[16]提出具有SMA絲的復合材料梁的固有頻率和振型函數(shù)的解析解，分別采用Euler-Bernoulli梁理論、Timoshenko梁理論和Reddy高階理論，進行結(jié)構(gòu)建模，但是模型沒有考慮結(jié)構(gòu)非線性的影響。文獻[17-21]研究計及剪切變形、具有不同邊界條件復合材料梁的自由振動和屈曲，采用Euler-Bernoulli梁理論、Timoshenko梁理論和Reddy高階理論描述梁的剪切變形，但結(jié)構(gòu)模型僅限于不含SMA纖維的普通復合材料梁，同時也不涉及結(jié)構(gòu)非線性。Emam[22]基于高階剪切變形理論研究不含SMA的復合材料梁的后屈曲非線性響應特性，幾何非線性來源于復合材料梁的軸向可伸長。Asadi等[23-24]研究具有任意鋪層SMA纖維混雜復合材料梁的非線性自由振動、主共振和超諧共振以及熱屈曲，采用Von-Kármán應變場描述梁的幾何非線性。然而，上述這些研究都未考慮剪切變形的影響。

Ren等[25]基于經(jīng)典梁理論，一階剪切變形理論以及Von Kármán非線性應變-位移方程，研究埋入SMA纖維復合材料梁的非線性自由振動與受迫振動。但上述研究模型不包含高階剪切變形梁理論，同時也缺少對復合材料梁在SMA驅(qū)動下的靜變形和熱屈曲問題的研究。

本研究對Ren等[25]的工作進行擴展。在SMA纖維復合材料梁的結(jié)構(gòu)建模過程中，為了考察剪切變形的影響，除了采用Euler-Bernoulli梁理論和Timoshenko梁理論之外，還進一步采用Reddy高階理論。在建立SMA纖維復合材料梁非線性控制方程的基礎上，采用近似解法導出SMA纖維復合材料梁在機械載荷作用下的非線性靜變形，溫度作用下的熱屈曲響應以及非線性固有頻率和穩(wěn)態(tài)受迫振動的計算公式，通過數(shù)值分析比較了不同理論的差異，并且研究不同參數(shù)的影響。

1 理論模型

1.1 本構(gòu)關系

根據(jù)混合率公式，SMA纖維混雜復合材料單層材料系數(shù)的表達式[26]如下：

E1=E1mVm+EsVs，
E2=E2mEs/[E2mVs+EsVm]，
G12=G13=G12mGs/[G12mVs+GsVm]，
G23=G23mVm+GsVs，
Gs=Es/[2(1+νs)]，
ν12=ν12mVm+νsVs，
ρ=ρmVm+ρsVs，
Vm+Vs=1。

(1)

式中：E1，E2為材料主軸方向的彈性模量；ν12為泊松比；G12為剪切模量；Es為SMA的楊氏模量；E1m，E2m分別為基體在主軸方向上的彈性模量；Vs，Vm分別為SMA和基體的體積含量；Gs為SMA的剪切模量。

含有SMA纖維的復合材料梁在軸向方向的偏軸應力-應變關系式為[25]：

(2)

(3)

Von-Kármán應變位移方程為：

表1 剪切變形下不同梁理論的形函數(shù)f(z)Tab.1 The shape function f(z) describing the shear deformation according to different beam theories

(4)

(5)

方程(4)中的u1表示中性層的位移；f(z)是描述在厚度方向上的剪切變形的形狀函數(shù)，是由不同的梁理論推導而出的，具體的表達式見表1。

將式(4)代入式(2)，導出SMA纖維復合材料梁的橫截面合力和力矩如下：

(6)

式中：

(7)

上標“T”和“r”分別表示由溫度和SMA纖維回復應力引起的面內(nèi)力和力矩。

1.2 控制方程

SMA纖維復合材料梁的運動方程將采用Hamilton原理建立：

(8)

式中，δV、δWnc和δT分別表示應變能、非保守力做功和動能。

復合材料梁非保守力做功為：

(9)

其中，q為復合材料梁所受的外在的機械載荷。

將變分代入公式(8)，可得到偏微分方程：

(10)

其中，質(zhì)量以及慣性矩m1,m2,m3,m4,m5,m6分別為：

(11)

式中，ρ為復合材料梁的密度。

假定方程(10)中的面內(nèi)慣性項和旋轉(zhuǎn)項等于零[27]，可以得到化簡之后的方程如下：

(12)

利用方程(6)和方程(12)中的第一式，所以可以得到以下方程：

(13)

將方程(13)沿x進行積分，得：

(14)

根據(jù)邊界條件u(0,t)=u(L,t)=0，解得C1、C2的表達式：

(15)

由此可得軸向力N的表達式：

N=b(A11A(t)-NT+Nr)。

(16)

式中：

(17)

如果復合材料梁的鋪層是對稱的，那么剛度系數(shù)E11=B11=0，將式(16)代入方程(12)，化簡得：

(18)

假設復合材料梁兩端簡支，其邊界條件為：w=M=Ms=0,(x=0,L)?？梢宰C明，簡支梁的邊界條件能夠表示為：

(19)

在模型中不考慮剪切變形的影響，即令f(z)=0，則可退化得到文獻[23]的振動方程；不考慮由溫度和SMA纖維回復應力引起的面內(nèi)力，則可退化為文獻[22]的方程。

方程(18)是含SMA纖維的復合材料梁的非線性振動方程：如果不考慮慣性的影響，并且假設橫向載荷q與時間無關，則得到的方程可以用于研究含有SMA纖維復合材料梁在機械載荷下的非線性靜變形；如果不考慮慣性和橫向載荷的影響，則得到的方程可以用于研究含有SMA纖維復合材料梁受溫度變化影響的非線性熱屈曲；如果不考慮橫向載荷的影響，則得到的方程可以用于研究含有SMA纖維復合材料梁的非線性自由振動；最后，如果假設橫向載荷q為簡諧激勵，則可以用于研究含有SMA纖維復合材料梁的非線性受迫振動。

1.3 方程求解

令方程(18)中所有慣性項等于0，并且假設靜變形具有如下形式：

(20)

將上式代入靜平衡方程并采用Galerkin法，得：

(21)

(22)

其中：

在方程(18)中令所有慣性項等于0以及外載荷q=0，并且假設：

可導出屈曲響應a、b與溫度的關系：

(23)

(24)

假定激振力q(t)=q0cosωt，其中，q0和ω分別表示激振力幅值和頻率。為了求解振動微分方程(18)的解，令

將上式代入(18)，得

(25)

(26)

其中

(29)

2 數(shù)值結(jié)果與分析

數(shù)值計算選用的SMA纖維的材料常數(shù)如表2所示[25]。

表2 SMA纖維材料常數(shù)[25]Tab.2 The parameters of SMA fiber

2.1 靜變形

圖1表示不同SMA纖維含量時的靜變形隨分布力變化曲線。結(jié)果表明，隨著SMA含量增加，靜變形變小。這是由于當SMA纖維含量增加，SMA纖維產(chǎn)生的回復應力對復合材料梁的彎曲剛度的調(diào)節(jié)作用也隨之增加，因此，對非線性靜變形特性的影響也增加。不含SMA纖維的復合材料梁的靜變形遠大于SMA纖維復合材料梁的靜變形。因此，增加SMA纖維的含量可以增強復合材料梁的抗彎剛度和抵抗變形的能力。

表3 復合材料基體材料參數(shù)Tab.3 The material parameters of composite material matrix

圖1 不同SMA含量下分布力與靜變形的關系(T=60 ℃，ε0=0.008)Fig.1 The relationship between different SMA contents(T=60 ℃，ε0=0.008)

圖2表示SMA纖維初始應變分別取0、0.036、0.075靜變形隨分布力變化曲線，通過局部放大圖可以看到，初始應變的增加可以減小復合材料梁的靜變形，但初始應變對靜變形的影響似乎并不明顯。

圖3表示溫度取20、60和120 ℃時,靜變形隨分布力變化曲線。由圖可知，溫度升高時，復合材料梁的靜變形減小。這是由于溫度的增加使得受限的SMA纖維產(chǎn)生溫度誘發(fā)馬氏體相變，從而產(chǎn)生受限回復應力，提高了復合材料梁的彎曲剛度。

2.2 熱屈曲響應

圖5(a)～(c)分別表示SMA纖維含量分別為0、0.01和0.05屈曲變形隨溫度升高的變化曲線，同時展示出三種梁理論的計算結(jié)果，所用到的其他參數(shù)為：ε0=0.03,h=0.001 m，L/h=5。從圖5中可以看出，由經(jīng)典梁理論得到的熱屈曲變形，低于一階梁理論和高階梁理論的計算結(jié)果；隨著SMA纖維含量的增加，曲線向右移動，同時伴隨屈曲變形的減小。這表明，由于SMA纖維的驅(qū)動作用，復合材料梁的熱屈曲溫度變大了，而且對熱屈曲響應也能夠產(chǎn)生明顯的抑制作用。

圖2 不同初始應變下分布力與靜變形的關系(T=60 ℃，Vs =0.005)Fig.2 The relationship between and under different initial strain (T=60 ℃，Vs =0.005)

圖3 不同溫度下分布力與靜變形的關系(ε0=0.036，Vs =0.005)Fig.3 The relationship between and under different temperatures (ε0=0.036，Vs =0.005)

圖4 基于不同梁理論的分布力與靜變形的關系(T=50 ℃,ε0=0.036，Vs =0.005)Fig.4 The relationship between and using different beam theories(T=50 ℃,ε0=0.036，Vs=0.005)

圖5 基于不同梁理論的溫度T與梁熱后屈曲變形a關系曲線(Vs=0, 0.01, 0.05)Fig.5 Relationship between temperature T and the thermal post-buckling deflections ausing different theories(Vs=0, 0.01, 0.05)

圖6(a)～(c)表示SMA纖維初始應變分別為0、0.030和0.075時，屈曲變形隨溫度升高的變化曲線，為其他參數(shù)取值為Vs=0.005,L/h=5。從圖6(a)～(c)中可以看出,隨著初始應變的增加梁的屈曲曲線的變化并不明顯，這表明SMA纖維的初始應變對復合材料梁的熱屈曲穩(wěn)定性的影響似乎不大。

2.3 自由振動

圖7為非線性固有頻率ωn與振幅A0的關系曲線，是采用一階梁理論得到的。圖7(a)表示不同SMA纖維含量的非線性固有頻率ωn與振幅A0的關系曲線，其中：T=50 ℃，ε0=0.005，L/h=10。結(jié)果表明，非線性固有頻率隨著振幅的增加而增加，而線性振動的固有頻率是與變形無關的。在溫度、初始應變和長厚比確定的情況下，隨著SMA纖維含量的增加，非線性固有頻率ωn與振幅關系曲線向右移動，這是由于增加SMA纖維含量使得復合材料梁的彎曲剛度也增加。說明埋入SMA纖維可以有效增加復合材料梁的非線性固有頻率。

圖7(b)表示不同溫度的非線性固有頻率ωn與振幅A0的關系曲線，其他參數(shù)取值為：Vs=0.005，ε0=0.01，L/h=10。結(jié)果表明，當溫度增加時，由于相變作用，SMA纖維的受限回復應力增加，從而使得復合材料梁的剛度也隨之增加，這就使得非線性固有頻率隨著溫度的增加而增加。

圖7(c)表示不同初始應變的非線性固有頻率ωn與振幅A0的關系曲線，其他參數(shù)取值為：T=60 ℃，Vs=0.005，L/h=10。結(jié)果表明，隨著初始應變的增加，復合材料梁的非線性固有頻率增加。

圖6 基于不同梁理論的溫度T與梁熱后屈曲變形a關系曲線(ε0=0, 0.030, 0.075)Fig.6 The relationship between temperature T and the thermal post-buckling deflections ausing different theories (ε0=0, 0.030, 0.075)

圖7 非線性固有頻率ωn與振幅A0關系曲線Fig.7 The relationship between amplitude A0 and nonlinear natural frequencies ωn

圖8(a)～(c)分別表示長厚比為5、10和50時的非線性固有頻率與振幅關系曲線。其他參數(shù)為：T=50 ℃，Vs=0.005，ε0=0.03，A0/h=1。結(jié)果表明，如果振幅保持不變，隨著長厚比的增加，復合材料梁的非線性固有頻率減小。長厚比為5時，經(jīng)典梁理論得出的非線性固有頻率大于一階梁理論和高階梁理論得到的非線性固有頻率，高階梁理論下的非線性固有頻率數(shù)值最小。此外，長厚比越大，非線性固有頻率就越小，長厚比為50時，三種模型得出的數(shù)值幾乎重合，說明在長厚比較大的情況下，剪切變形對非線性固有頻率的影響可以忽略不計。

2.4 受迫振動

圖9(a)～(c)分別表示長厚比為5、10和50，SMA纖維復合材料梁的非線性穩(wěn)態(tài)頻率響應曲線，其他參數(shù)為：T=50 ℃，Vs=0.005，ε0=0.03，q0=10N。結(jié)果表明，隨著長厚比增加，穩(wěn)態(tài)頻率響應曲線隨之逐漸向左移動。此外，也可以看到，當L/h較小時，三種不同的梁理論得到的結(jié)果明顯不同，此時，剪切變形對SMA纖維復合材料梁非線性穩(wěn)態(tài)響應的影響較大。在相同的激勵頻率下，經(jīng)典梁理論得出的非線性穩(wěn)態(tài)響應振幅小于一階梁理論和高階梁理論得到的結(jié)果，高階梁理論下的非線性穩(wěn)態(tài)響應振幅數(shù)值最大，當長厚比較大時，剪切變形的影響可忽略不計。

圖8 非線性固有頻率ωn與振幅A0的關系Fig.8 The relationship between nonlinear natural frequency ωnand amplitude A0

圖9 不同理論下激勵頻率ω與振幅的關系

3 結(jié)論

1) 經(jīng)典梁非線性靜變形、熱屈曲和穩(wěn)態(tài)振動響應的計算結(jié)果，小于一階和高階梁的計算結(jié)果，高階梁理論的結(jié)果最大；經(jīng)典梁非線性固有頻率的計算結(jié)果大于一階和高階梁的計算結(jié)果，高階梁理論的結(jié)果最??；一階和高階梁理論的結(jié)果彼此較為接近，經(jīng)典梁理論結(jié)果與前兩種理論的結(jié)果相差較大。當長厚比大于50，剪切變形的影響可忽略不計。

2) 在被激活的SMA纖維的受限回復應力的驅(qū)動下，復合材料梁的非線性靜變形和熱屈曲響應顯著降低，而非線性固有頻率顯著增加。

3) SMA纖維體積含量和驅(qū)動溫度能夠?qū)MA纖維驅(qū)動性能產(chǎn)生重要影響，相對而言，初始應變對SMA纖維驅(qū)動的作用并不十分明顯。