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    非線性分數(shù)階KdV-mKdV方程和mCH方程的孤波解

    2019-02-20 02:02:12,
    關鍵詞:設法孤子常數(shù)

    ,

    (內蒙古師范大學 數(shù)學科學學院, 內蒙古 呼和浩特 010022)

    分數(shù)階微分方程是廣義的整數(shù)階微分方程的經典形式。非線性分數(shù)階偏微分方程在力學、工程學、電學、等離子體物理、生物學、控制論、經濟學和金融等許多科學和工程領域中有著重要應用,受到極大關注,其研究工作日趨活躍[1]。首次積分法[2]、G′/G-展開法[3]、exp函數(shù)法[4]、擴展雙曲正切函數(shù)法[5]、F-展開法[6]等諸多方法被先后應用于求解非線性分數(shù)階偏微分方程。2008年至2009年,Biswas、Triki和Wazwaz[7]提出了求解非線性分數(shù)階偏微分方程另一種方法——擬設法,并用該方法給出KdV和mKdV等方程的亮孤子解和暗孤子解。2015年,Guner等[8]求解了時空分數(shù)階Boussinesq方程的亮孤子解和單孤子解。2016年,Guner和Bekir[9]利用擬設法求解了時空分數(shù)階mBBM方程的亮孤子解和暗孤子解,同一年,Korkmaz[10]利用擬設法求解了時空分數(shù)階EW和mEW方程的單孤子解。2017年,Guner和Bekir[11]利用擬設法求解了時空分數(shù)階mEW方程的暗孤子解。但他們只處理了包含單獨的sech函數(shù)或tanh函數(shù)的情形,未考慮包含sech和tanh函數(shù)的乘積項的情形。本研究把擬設法推廣應用到出現(xiàn)sech函數(shù)與tanh函數(shù)的乘積項的情形,并借助修正的黎曼-劉維爾導數(shù)給出時空分數(shù)階KdV-mKdV[12]方程和Modified Camassa-Holm方程的精確孤波解。

    修正的α階黎曼-劉維爾定義為[13]

    (1)

    其中f(x)表示連續(xù)函數(shù),Γ(α)表示Gamma函數(shù),具有以下形式[14]

    (2)

    或者

    (3)

    修正的黎曼-劉維爾導數(shù)具有許多有用的性質,如

    (4)

    (5)

    (6)

    (7)

    考慮具有以下形式的非線性時空分數(shù)階偏微分方程

    (8)

    分數(shù)階微分方程可以通過變換

    (9)

    轉化為整數(shù)階微分方程,這里k和c為非零常數(shù)。在計算過程中使用分數(shù)階導數(shù)的鏈法則

    (10)

    把式(4)、(9)和(10)代入式(8)中,可以把式(8)轉化為以下形式的非線性常微分方程

    Q(U,U′,U″,U′″,…)=0,

    (11)

    其中,Q是關于U(ξ)及其各階導數(shù)的多項式。

    本研究旨在利用擬設法研究時空分數(shù)階KdV-mKdV方程和Modified Camassa-Holm方程的孤波解。

    1 時空分數(shù)階KdV-mKdV方程的孤波解

    考慮方程時空分數(shù)階KdV-mKdV方程

    (12)

    其中,μ和δ為任意常數(shù)。

    為了求解方程(12)的亮孤子解,將使用以下形式變形:

    u(x,t)=U(ξ),

    (13)

    (14)

    其中,c為非零任意常數(shù)。

    將式(4)、(10)和(14)代入方程(12),方程(12)可化為以下形式常微分方程

    -cU′+μUU′+δU2U′+U′″=0,

    (15)

    作以下假設

    U(ξ)=Asechpξ,

    (16)

    其中,A為任意非零常數(shù)。在求解方程(12)的亮孤子解的過程中將確定p的取值。

    通過方程(14)和(16)可以得到

    (17)

    U2(ξ)=A2sech2pξ。

    (18)

    把方程(16)~(18)代入方程(15)中,則得到

    cApsechpξtanhξ-Ap3sechpξtanhξ-μA2psech2pξtanhξ

    -δA3psech3pξtanhξ+Ap(p+1)(p+2)sechp+2ξtanhξ=0。

    (19)

    進一步化簡得到

    cAp-Ap3-μA2psechpξ-δA3psech2pξ+Ap(p+1)(p+2)sech2ξ=0。

    (20)

    平衡方程(20)中的sech2pξ項與sech2ξ項,則得2p=2,即

    p=1。

    (21)

    將p=1代入方程(20)后,令sech2ξ的系數(shù)和為零,則得到

    Ap(p+1)(p+2)-δA3=0,

    (22)

    在方程(20)中,令sechξ的系數(shù)為零,則得到μ=0;令常數(shù)項為零,則有

    cAp-Ap3=0,

    (23)

    由此解出c=1。

    因此,得到方程(12)的如下形式的亮孤子解

    (24)

    再假設方程(12)有以下形式的孤波解

    U(ξ)=Acschpξ,

    (25)

    其中A為任意非零常數(shù)。在求解方程(12)的孤子解的過程中將會確定p的取值。

    因此,通過方程(14)和(25)可以得到:

    (26)

    U2(ξ)=A2csch2pξ。

    (27)

    把方程(25)至(27)代入方程(15)中,得到

    -cApcschpξcothξ-μA2pcsch2pξcothξ-δA3pcsch3pξcothξ
    -Ap3cschpξcothξ-Ap(p+1)(p+2)cschp+2ξcothξ=0 ,

    (28)

    進一步化簡得到

    -(c+p2)cschpξ-μAcsch2pξ-δA2csch3pξ-(p+1)(p+2)cschp+2ξ=0。

    (29)

    平衡(29)中csch3pξ項與cschp+2ξ項,則得3p=p+2,即

    p=1。

    (30)

    將p=1代入方程(29)后令csch3ξ的系數(shù)和為零,則得到

    (p+1)(p+2)+δA2=0,

    (31)

    在方程(29)中,令csch2ξ的系數(shù)為零,則得到μ=0;令cschξ為零,則有

    -(c+p2)=0,

    (32)

    并由此解出c=-1。

    因此,方程(12)具有下面的奇異孤波解

    (33)

    2 時間分數(shù)階Modified Camassa-Holm方程的孤波解

    考慮方程時間分數(shù)階Modified Camassa-Holm(mCH)方程

    (34)

    其中,0<α<1,β>0,k∈R。

    為了求解方程(34)的亮孤子解,將使用以下形式變形:

    《企業(yè)會計準則》重新制定關于企業(yè)內部研發(fā)費用的會計處理,批準其符合標準可資本化。促進了無形資產的會計處理和信息披露的標準化。然而,實際運用中,行業(yè)標準缺乏標準型和統(tǒng)一性,企業(yè)往往依賴主觀判斷和內部未來計劃標準去進行實際會計操作,研發(fā)支出費用化或資本化不僅從一方面可說明企業(yè)會計處理的謹慎性,其裝化為無形資產可調整利潤,無形中提高了市場乃至社會對于相關信息的披露要求。

    u(x,t)=U(ξ),

    (35)

    (36)

    其中,c為非零任意常數(shù)。

    將式(4)和方程(10)、式(36)代入方程(34),方程(34)可化為以下形式常微分方程:

    -clU′+2kU′+βU2U′+clU′″=0,

    (37)

    作以下假設

    U(ξ)=Asechpξ,

    (38)

    其中,A為任意非零常數(shù)。在求解方程(34)的亮孤子解的過程中將確定p的取值。

    因此,通過方程(38)可以得到:

    (39)

    U2(ξ)=A2sech2pξ。

    (40)

    把方程(38)~(40)代入方程(37)中,則得到:

    -Apsechpξtanhξ(-cl+2k+βA2sech2pξ)-Aclp3sechpξtanhξ+

    (41)

    進一步化簡得到:

    -(2k-cl+clp2)sechpξ-βA2sech3pξ+cl(p+1)(p+2)sechp+2ξ=0,

    (42)

    平衡方程(42)中的sech3pξ項與sechp+2ξ項,得3p=p+2,即

    p=1。

    (43)

    將p=1代入方程(42),令sech3ξ的系數(shù)和為零,則得

    6cl-βA2=0。

    (44)

    在方程(42)中令sechξ的系數(shù)為零,則得到k=0。

    因此,得到方程(34)的如下形式的亮孤子解

    (45)

    再假設方程(34)有以下形式的孤波解

    U(ξ)=Acschpξ,

    (46)

    其中,A為任意非零常數(shù)。在求解方程(34)的孤子解的過程中將確定p的取值。

    因此,通過方程(36)和(46)可以得到:

    (48)

    把方程(46)~(48)代入方程(34)中,得到

    -Apcschpξcothξ(-cl+2k+βA2csch2pξ)-Aclp3cschpξcothξ

    -Aclp(p+1)(p+2)cschp+2ξcothξ=0 ,

    (49)

    進一步化簡得到

    (cl-2k-clp2)cschpξ-βA2csch3pξ-cl(p+1)(p+2)cschp+2ξ=0,

    (50)

    平衡(50)中csch3pξ項與cschp+2ξ項,則得3p=p+2即

    p=1。

    (51)

    將p=1代入方程(50),令csch3ξ的系數(shù)和為零,則得到

    βA2+6cl=0。

    (52)

    在方程(50)中令cschξ的系數(shù)為零,則得到k=0。

    因此,方程(34)具有下面的奇異孤波解

    (33)

    3 結論

    利用擬設法求解時空分數(shù)階KdV-mKdV方程和時間分數(shù)階mCH方程的孤波解,包括亮孤子解和奇異孤波解,表明擬設法是求解時空分數(shù)階偏微分方程的有效方法。擬設法也適用于求其他分數(shù)階偏微分方程的孤波解,且當擬設法中設U(ξ)=Atanhpξ時能夠給出某些分數(shù)階非線性方程的暗孤子解。

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