構(gòu)建好模型，破解壓軸題

萬(wàn)浩浪

【摘要】中考數(shù)學(xué)壓軸試題，總給人以啟迪。以“2019年廣州市中考數(shù)學(xué)題第24題”為例，是一道延續(xù)往年創(chuàng)新風(fēng)格的壓軸題，題面簡(jiǎn)潔明快，但內(nèi)涵極為豐富。本文從構(gòu)建合適的基本模型著手，探究多種解法，破解壓軸題。

【關(guān)鍵詞】構(gòu)建模型;壓軸題

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“模型思想的建立是學(xué)生體現(xiàn)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑?！彼鞔_地表述了這樣的意義：建立模型思想的本質(zhì)就是使學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系。中考數(shù)學(xué)壓軸試題，是中考試題的創(chuàng)新重點(diǎn)和難點(diǎn)高潮，思維深度、廣度最大的內(nèi)容，綜合性、靈活性最強(qiáng)的設(shè)計(jì)。中考?jí)狠S題的訓(xùn)練，是鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的良機(jī)。本文以“2019年廣州中考數(shù)學(xué)題第24題”為例，本文從構(gòu)建合適的基本模型著手，探究多種解法，破解壓軸題，與同行共研。

一、[題目呈現(xiàn)]

24.如圖，等邊中，AB=6，點(diǎn)D在BC上，BD=4，點(diǎn)E為邊AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），ACDE關(guān)于DE的軸對(duì)稱圖形為AFDE。

（1）當(dāng)點(diǎn)F在AC上時(shí)，求證：DF//AB;

（2）設(shè)AACD的面積為S1，AABF的面積為S2，記S=S1-S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;

（3）當(dāng)B，F(xiàn)，E三點(diǎn)共線時(shí)，求AE的長(zhǎng)。

本題是一道延續(xù)往年創(chuàng)新風(fēng)格的壓軸題，它的信息量大，綜合能力強(qiáng)，靈活度高，能全面考查學(xué)生的核心素養(yǎng)，重點(diǎn)考察動(dòng)態(tài)分析能力，在動(dòng)態(tài)幾何變換的背景下考查的旋轉(zhuǎn)最值和解直角三角形等。

二、解法探討

24題（1）（2）都是和動(dòng)點(diǎn)F有關(guān)，（1）問(wèn)點(diǎn)F位置是在AC上，利用全等的知識(shí)比較容易求證，這里不祥細(xì)闡述。（2）問(wèn)S=Sl-S2是否存在最大值？期中S1可以算出來(lái)是常量，S2是變量，主要是由動(dòng)點(diǎn)F的位置決定的，若S有最大值，則S2就是最小值，那又如何判斷s2有最小值？根據(jù)S2=1/2ABhF（hk表示點(diǎn)F到邊AB的距離），因?yàn)锳B=6，所以要使S2最小，就是最小，點(diǎn)F在什么位置時(shí)候hF最??？這個(gè)就是大部分學(xué)生的難點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)F是動(dòng)點(diǎn)，學(xué)生的思維混亂，無(wú)從下手。

構(gòu)建模型一：hF的最小值一箭穿心成共線（點(diǎn)D、點(diǎn)F、點(diǎn)H三點(diǎn)共線）。

為了突破難點(diǎn)，我們就關(guān)注點(diǎn)F，既然它是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，就去探究其運(yùn)動(dòng)路徑，因?yàn)椤鰿DE關(guān)于DE的軸對(duì)稱圖形為△FDE，所以FC=DC=2，不難發(fā)現(xiàn)點(diǎn)F是以定點(diǎn)D為圓心，半徑為2的圓弧上的一點(diǎn)，如圖2，于是問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為探究圓上一點(diǎn)到直線的最小距離，即過(guò)點(diǎn)D向AB作垂線段DH與OD相交得到與AB距離最近的點(diǎn)F。因?yàn)閔F=DH-DF=DH-2所以hF也最小。S存在最大值連接AD，AF，BF，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于H，如圖5∵CD=2，等邊三角形ABC邊長(zhǎng)為6，BD=4，BH=2，DH=2√3，∴S1=S△ACD=1/2×3√3*2=3√3，由于S= Sl - S2，當(dāng)S2有最小值時(shí)，S有最大值，

∵△CDE關(guān)于DE的軸對(duì)稱圖形為△FDE.

∴FC=DC=2，即點(diǎn)F是以定點(diǎn)D為圓心，r=2的圓弧上的一點(diǎn)，

∴S2=1/2ABhF=1/2*6hF=3hF

當(dāng)點(diǎn)F恰好落在DH上時(shí)，有hF最小值=DH-r-2

S2最小值為S2=3hF=6√3-6，S最大值為

3√3- （6√3-6）=6-3√3.

[反思]要突破難點(diǎn)實(shí)際上是為學(xué)生建立了——圓上任意一點(diǎn)到已知直線距離的最小值問(wèn)題模型，解決此問(wèn)題的通法是回到定點(diǎn)D來(lái)解答，先確定DH的最小值（垂線段最短）再減去定長(zhǎng)DF，從而解決此問(wèn)題。

構(gòu)建模型二：最小值化折為直

解法2：S存在最大值。與解法1相同的部分不重述了，主要說(shuō)難點(diǎn)，如何求FH的最小值，關(guān)注動(dòng)點(diǎn)F落在何處，如圖3，任取動(dòng)點(diǎn)F'（不在DH上）根據(jù)三角形三邊關(guān)系與垂線段最短性質(zhì)知DF'+F'H'>DH'>DH（DH=DF+FH），且DF、=DF-2，所 以F'H'>FH，當(dāng)F'點(diǎn)恰好落在DH上點(diǎn)F重合時(shí)，此時(shí)F'H'=FH取得最小，補(bǔ)全圖形如圖4。

[反思]要突破難點(diǎn)實(shí)際上是為學(xué)生建立了——三角形三邊關(guān)系（兩邊之和大于第三邊）模型，當(dāng)兩邊之和與第三邊（定值）重合時(shí)，存在最小值，最小值為定長(zhǎng)DH與2的差。

（3）當(dāng)當(dāng)B，F(xiàn)，E三點(diǎn)共線時(shí)如圖6，求AE的長(zhǎng)。

要求AE的長(zhǎng)，可設(shè)EC=x，則AE=6-x，此時(shí)要找到關(guān)于x的數(shù)量關(guān)系列出方程，然后解方程，問(wèn)題就解決，但大部分同學(xué)不知如何找它們之間的數(shù)量關(guān)系，這個(gè)也是此問(wèn)的難點(diǎn)。

構(gòu)建模型三：構(gòu)造直角三角形，利用解直角三角形的知識(shí)突破。

解法1如圖7，過(guò)點(diǎn)D作DP⊥BE，過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥BC，

由此可知（1）知△DCE≌△DFE，設(shè)CE=x，則EF=x，DF=DC=2，∠DFE-∠c=60°，在Rt△DFP中，PF=DF=1，PD=√3在Rt△BPD中，BP=√BD2-PD2=√42-（√3）2=√13，sin∠DBP=DP/DB=√3/4在Rt△BPD中，QE=EC·sinC=√3x/2在Rt△BPD中：BE=BP—PE+EF=√13-1+xsin∠EBQ=EQ/EB=√3x/2/√13-1+x∵∠DBP=∠EBQ∴√3/4=√3x/2/√13-1+x解得：x=√13-1，∴AE=AC-CE=6-（√13-1）=7-√13

[反思]“直角三角形模型”是平面幾何一種基本圖形，解法1主要是利用在直角三角形中三角函數(shù)的知識(shí)找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出關(guān)于味知數(shù)的方程完成解答。

解法2：如圖8，過(guò)點(diǎn)D作DP⊥BE，過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥BC，

由可知（1）知△DCE≌△DFE，設(shè)CE=x則EF=x，DF=DC=2，∠DFE-∠C=60°，在Rt△DFP中，PF=1/2DF=1，PD=√3，在Rt△BPD中，BP=√BD2-PD2=√13，在Rt△DFP中，CQ=1/2CE=1/2x，QE=√3x/2，在Rt△BEQ中，BQ=BE-CQ=6-1/2x，BE=BF-PF+EF=√13-1+x，由勾股定理，可得：BQ2+QE2=BE2即：（6-1/2x）2+（√3x/2）2=√13-1+x）2解方程得：x=√13-1，所以AE=AC-CE=6-（√13-1）=7一√13.

[反思]解法2主要是利用勾股定理的知識(shí)找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出關(guān)于味知數(shù)的方程完成解答，但前提仍是在構(gòu)建“直角三角形模型”中才能破解。

解法3：由折疊得，∠EFD=∠ECD=60°，DF=DC=2，如圖，過(guò)D點(diǎn)作DG⊥BE交BE于點(diǎn)G，過(guò)B點(diǎn)作BH⊥AC交AC于點(diǎn)H，在Rt△DFG中，F(xiàn)G=DF·cos∠DFG=√3在Rt△BGD中，由勾股定理得，BG=√BD2*GD2=√3，∴BF=BG—FG=√13-1，在Rt△BHC中，CH=BC·cos∠=3，BH=BC·sin∠C=3√3設(shè)CE=EF=x，則HE=CH-CE=3-x，BE=BF+EF=√13-1+x，在Rt△BEH中，由勾股定理得：BH2+EH2=BE2即（√3）2+（3-x）2（√13*1+x）2解得x=√3-1，∴AC-CE=7-√13，。

[小結(jié)]解法3仍是利用勾股定理的知識(shí)找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出關(guān)丁味知數(shù)的方程完成解答。

解法4：由折疊得：

∠EFD=∠ECD=60°.DF=DC=2，

當(dāng)B，F(xiàn)，E三點(diǎn)共線，∠BFD=180°-∠EFD=120

過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BE交BE于點(diǎn)G.在Rt△DFG，F(xiàn)G=DF·cos∠DFG=1，DG=DFsin∠DFG=√3，在Rt△BGD中，由勾股定理得：BG=√BD2-GD）=√13，∴BE=BG-FG√=√13-1，∵BD/CD=√13-1，∵BD/CD=2，∴S△BDE/S△CDE=2由折疊得：教△EDF≌△EDC，∴S△EDF=S△EDC，∴S△BFD=S△EDFBF=EF=CE=√13-1，∴AE=AC-CE=7-√13

[反思]解法4是利用解直角三角形和面積法進(jìn)行計(jì)算。尤其是用面積公式來(lái)推理，很多學(xué)生難以想到，主要抓住折疊的性質(zhì)及△EBD與△EDC的面積比=2：1，推出BF=FE=EC，從而算出EC，所以在解題時(shí)一定要“讀題”，對(duì)題目中的條件在大腦中有個(gè)整體的認(rèn)識(shí)，然后根據(jù)條件的特征和相互聯(lián)系發(fā)現(xiàn)解題的途徑。

解法5：當(dāng)B，F(xiàn)，E三點(diǎn)共線時(shí)，有ED平分∠BEC，設(shè)EC=X，在△EBC中，由角平分線定理得BE/EC=BD/DC ∴BE=2x過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC交于點(diǎn)H，在Rt△EHC中EH=√3x/2，HC=1x/2，則HB=6-1x/2在Rt△EHB中：BE2=BH2+HE24x2=3x2/4+（6-1x/2）2解得：x=-1+√13∴AE=AC-x=7-√13

[反思]解法5是利用勾股定理和角平分線定理找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出關(guān)于未知數(shù)的方程完成解答。此方法相對(duì)上面的方法計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單，學(xué)生容易接受。

構(gòu)建模型二：構(gòu)造相似三角形，利用相似比突破。

解法6：作∠HFB=60°，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BE于點(diǎn)G

∵B，F(xiàn)，E三點(diǎn)共線 ∴∠DFH=60°

又∠ABF+∠FBH=∠FBH=∠FDB=60°

∴∠FDE= ∠ABF 又∵∠DFH=60°=∠A

∴△DFH∽△BAE

∴DF/AB=FH/AE，設(shè)AE=y，

∴2/6=FH/AE可算出FH=1/3y

在Rt△DFG中，F(xiàn)G=DF·COS∠DFG=1，DG=DF·sin∠DFG=√3，

在Rt△BGD中，由勾股定理得：BG=√BD2-GD2=√13

∴BF=BG-FG=√13-1

又∠BFH=60°=∠C，∠FBH=∠CBE（公共角）

△FBH∽△CBE

∴FH/CE=FB/CB

∴（1/3y）/（6-y）=（√13-1）/6，解方程可算出y=7-√13

[反思]構(gòu)造“相似”模型一種常見(jiàn)的方法，解法6在本小題中利用的角去構(gòu)造兩個(gè)相似三角形，利用相似比建立方程完成解答。

三、題后啟示

（1）初中生應(yīng)具備數(shù)學(xué)建模能力，縱觀初中數(shù)學(xué)教材不難發(fā)出，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號(hào)建立起來(lái)的代數(shù)式、關(guān)系式、方程、函數(shù)、不等式，及各種圖表、圖形等都是數(shù)學(xué)基本模型。如以上每一種解法都是在構(gòu)建基本模型下探尋的，不管是直接方法還是間接方法，其主線是從幾何的背景出發(fā)，利用幾何圖形的性質(zhì)，列出方程，求出結(jié)果。要破解壓軸題的前提是構(gòu)建合適的基本模型。

（2）對(duì)于此類壓軸題，師生希望“解一題，會(huì)一類，通一片”，希望能舉一反三、觸類旁通，這就是需要學(xué)生平時(shí)注重積累基本模型，并要全面地對(duì)其歸類，理解“實(shí)際問(wèn)題——建立模型——求解驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，逐步熟練地應(yīng)用模型解決問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

[1]史寧中.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京師范大學(xué)出版社，