金屬橡膠的本構(gòu)關(guān)系研究★

王亞杰 趙亞哥白* 任小龍 黃新宇 王 璇 韓靜怡

(東北林業(yè)大學(xué)，黑龍江哈爾濱 150040)

過去的許多試驗表明，金屬橡膠材料是一種具有良好的變形自恢復(fù)能力的非線性干摩擦阻尼材料。它具有含有良好三次非線性成分［1］的無記憶恢復(fù)力，除此還具有優(yōu)秀的變形自恢復(fù)能力即記憶恢復(fù)力，金屬橡膠耗能器的恢復(fù)能力具有非線性遲滯效應(yīng)，其阻尼成分既有粘性阻尼又有干摩擦阻尼。國內(nèi)外現(xiàn)在有宏觀力學(xué)模型與微觀力學(xué)模型兩種建立金屬橡膠本構(gòu)關(guān)系比較著名的方法，在建立本構(gòu)關(guān)系時需考慮金屬橡膠材料諸多復(fù)雜性質(zhì)。

1 建立宏觀力學(xué)模型

通常采用理論法和實驗法［2］兩種方法來建立宏觀數(shù)學(xué)本構(gòu)模型，理論法常常被看做“白箱”問題，通過運用現(xiàn)有的定理規(guī)律，來推導(dǎo)判斷系統(tǒng)中狀態(tài)參數(shù)與作用的關(guān)系。而實驗法是直接從實驗數(shù)據(jù)出發(fā)，通過歸納總結(jié)來建立數(shù)學(xué)模型，這種情況又被稱為“黑箱”問題。但是在實際中遇到的問題往往是介于兩者之間的問題，必須將定理分析與實驗歸納融合起來來尋找解決方法，遇到這種情況可以根據(jù)部分已知特性并通過特殊處理后來推導(dǎo)未知參數(shù)從而確定完整的狀態(tài)方程，這種問題常常被稱之為“灰箱”問題。目前常采用最小二乘法來確定未知參數(shù)，相比于極大似然法，輔助變量法等其他方法，最小二乘法具有概念簡單，使用情況更加廣泛等很多優(yōu)點，用其求得的估計值具有最優(yōu)統(tǒng)計特性，可以實現(xiàn)使得實驗數(shù)據(jù)在平方誤差意義上達到最小誤差的效果。其實現(xiàn)過程為:假定一組變量含有m個元素x=(x1，x2…，xm)與某個變量z成某種確定的線性關(guān)系，如下:

方程中:θ=(θ1，θ2，…，θm)為一組參數(shù)并且是常數(shù)，式中 θi是未知的，該未知參數(shù)的取值可以通過在不同時刻觀測變量z和x的關(guān)系來估計。假設(shè)已經(jīng)在t1，t2，…，tn時刻對二者作了n次觀測，其觀測數(shù)據(jù)用 z(i)和 x1(i)，x2(i)，…，xm(i)，(i=1，2，…，n)兩組參數(shù)來代表，如此便可以得到以下方程:

上述方程又可定義為回歸函數(shù)，θm則為回歸系數(shù)。其又可寫成矩陣形式如下所示:

式中:

為了估計參數(shù)θ，前提是m≥n。如果m與n值相等，那么θ值則有唯一解，即是:

再設(shè) J=(Z －Xθ)T(Z － Xθ)=ZTZ － θTXTZ － ZTXθ+θTXTXθ。

從而解得θ～=(XTX)－1XTZθ即為在最小二乘法基礎(chǔ)上的估計值。

白鴻柏、黃協(xié)清［1］通過運用宏觀力學(xué)分析方法，并使用最小二乘法對各參數(shù)進行識別取值來確定金屬橡膠隔振器中的力—位移之三次非線性遲滯泛函本構(gòu)關(guān)系，又得到三階非線性多項式的彈性力和等效粘性阻尼力疊加組成了金屬橡膠的恢復(fù)力的結(jié)論。姜洪源［3］曾提出建立金屬橡膠構(gòu)件的變形模型可以通過實驗的理論方法來實現(xiàn)。

2 細觀力學(xué)模型的研究

由于承受徑向和軸向荷載的微螺旋彈簧沖壓使得金屬橡膠材料的細觀結(jié)構(gòu)特征成型，則金屬橡膠的剛度由微螺旋彈簧的剛度決定。在分析中可忽略彈簧絲軸力和剪力的影響，只考慮彎矩影響。陳艷秋曾提出用小曲梁的串并連來描述材料總體剛度，可將雜亂金屬絲看成多層微小彈簧，每一個彈簧都有一定剛度，它們共同組成金屬橡膠總的剛度。彭威，白鴻柏［5］也曾通過引用新的材料參數(shù)鋪層比例系數(shù)來建立微彈簧組合變形的細觀本構(gòu)模型。

3 建立硬化折線本構(gòu)模型

為建立金屬橡膠本構(gòu)模型，可以運用實驗法，該方法的簡化分析模型不僅便于計算，簡化了MR耗能減振結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)分析方法，而且能夠表征材料的應(yīng)變硬化特征，與試驗曲線符合。根據(jù)實驗法原理，在室溫下對相對密度為0.27，加載頻率為1 Hz，并處于最大應(yīng)變幅值為20%的應(yīng)力—應(yīng)變曲線部分的金屬橡膠材料進行擬合，其相應(yīng)的應(yīng)力應(yīng)變曲線如圖1所示。

構(gòu)建模型可以利用MATLAB計算軟件來實現(xiàn):第一步將MR應(yīng)力—應(yīng)變曲線分成兩部分，分別為加載段和卸載段;然后對前者采用局部依次擬合的方法，來得到圖中的OA與AB曲線段，從而得到簡化模型的強化應(yīng)力、初始彈性模量等重要參數(shù)，最后確定BC段和CO段依據(jù)原則為能量相等，使簡化模型與實際曲線包圍相等的面積(見圖2)。

圖1 OMR-D“τ — γ”遲滯回線

圖2 應(yīng)變硬化折線本構(gòu)模型擬合

下面將以此為例來編制計算程序，其詳細步驟如下所述:

1)把名義應(yīng)力、名義應(yīng)變根據(jù)相應(yīng)轉(zhuǎn)換關(guān)系轉(zhuǎn)換為真實應(yīng)力與應(yīng)變，將數(shù)據(jù)拷入txt文件中，以便MATLAB讀取。

2)將原點和應(yīng)力最大值作為擬合折線的兩個點，近似讀取中間加載點的坐標，寫入系統(tǒng)，bx，by為選定剛度變化拐點坐標，cx，cy為最大橫縱坐標。

3)輸出面積差矩陣。

豎方向223個點表示應(yīng)變點，i=1∶223，表示曲線最大橫坐標值乘以10，縱坐標j=1∶20，表示有20個點。

4)計算步驟，假設(shè)已經(jīng)確定了(15，04)為加載段拐點的坐標，并確定了(22，3)為曲線最大的點的坐標，這時卸載段的橫坐標應(yīng)該處于這兩個坐標之間，若此時取x=19為卸載拐點橫坐標，那么190那一行就是在矩陣里面對應(yīng)的，找到這行最小面積差的那個點0.233 7，j=8，將其代入 for j=1∶20，y=(j/2 －1) × ( －1) ×0.1 進行處理計算，便可以得到y(tǒng)，此時，便確定了卸載點的縱坐標。

注意事項:

1)根據(jù)面積最小原理計算，若有兩個符合要求的卸載點，則需選擇橫坐標位置符合真實規(guī)律的點。

2)卸載點對應(yīng)的橫坐標最好取中間的點(見圖3)。

圖3 本構(gòu)擬合面積相等卸載點

最后根據(jù)上述數(shù)值可以調(diào)整ABAQUS關(guān)于金屬橡膠的子程序參數(shù)，從而進一步建立本構(gòu)模型。

4 結(jié)語

通過討論細觀力學(xué)模型并引入宏觀力學(xué)模型，采用最小二乘法為參數(shù)估計的方法，研究變量y與若干元素的線性關(guān)系得到回歸函數(shù)，定義誤差矢量來求得回歸系數(shù)的最小二乘的大致值。來建立金屬橡膠構(gòu)件的變形模型，在室溫下相對密度為0.27，加載頻率為1 Hz，并處于最大應(yīng)變幅值為20%的應(yīng)力—應(yīng)變曲線部分的金屬橡膠材料進行擬合，對實驗結(jié)果按照包絡(luò)面積相等原則，通過MATLAB計算軟件來處理，從而得到應(yīng)變硬化折線本構(gòu)模型。下一步要研究如何建立金屬橡膠阻尼器的剪力墻—連續(xù)梁結(jié)構(gòu)分析模型，調(diào)整ABAQUS的子程序參數(shù)，使金屬橡膠本構(gòu)模型更加具體化，提高其可靠性。