具有p -Laplacian算子的delta-nabla分?jǐn)?shù)階差分邊值問題正解的存在性

董強(qiáng)， 侯成敏

( 延邊大學(xué) 理學(xué)院, 吉林 延吉 133002 )

0 引言

近年來分?jǐn)?shù)階差分系統(tǒng)受到很多學(xué)者的關(guān)注，其相關(guān)研究成果已逐步被應(yīng)用在電氣工程、化學(xué)和生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域中[1-4].在分?jǐn)?shù)階差分方程的相關(guān)研究中，其初值、邊值問題解的存在性、唯一性和多重性等成為廣大學(xué)者的研究熱點(diǎn)[5-7].2017年Liu等[8]研究了如下帶p-Laplacian算子的delta-nabla分?jǐn)?shù)階差分邊值問題:

本文受文獻(xiàn)[8]的啟發(fā),考慮在非齊次邊界值條件下帶有p-Laplacian算子的離散分?jǐn)?shù)階delta-nabla邊值問題：

(1)

(H1)α,β∈(1,2], 3<α+β≤4,ω∈(0,1),α-ε-1>0.

(H2)g(t,x)是定義在[0,b]N0×(0,+∞)上的非負(fù)函數(shù),且0≤g(t,x)≤k(|x|)l,l,k∈(0,+∞).

(H3)f∶[0,b]N0×R×R→[0,∞)是連續(xù)函數(shù),對任何t∈[0,b]N0,f(t,0,0)≠0,f(t,1,1)≠0, 并令

(2)

1 預(yù)備知識

定義1[8]3設(shè)f∶Νa→R, 且v>0時(shí),函數(shù)f的左分?jǐn)?shù)階和的定義為：

定義2[9]2設(shè)f∶bΝ→R, 且v>0時(shí),函數(shù)f的右分?jǐn)?shù)階和的定義為：

引理1[9]3設(shè)b∈R, 當(dāng)μ>0時(shí),對于變量t有此外,對v>0,N-1

引理2[8]4設(shè)f∶Νa→R, 當(dāng)v,μ>0且N-1

引理3[8]4設(shè)f∶bΝ→R, 當(dāng)v,μ>0且N-1

b -μvb-μf(t)=bv -μf(t),t∈b -μ -N +vΝ.

引理5[9]3設(shè)f∶bΝ→R, 當(dāng)v>0, 且N-1

(i)bvf(t)=(-1)NNb- (N -v)f(t).

引理6[8]4設(shè)f∶Νa→R, 當(dāng)v>0,k∈Ν0時(shí),對任意的t∈Νa +M -μ +v有

此外,若μ>0, 且M-1<μ≤M, 則對任意的t∈Νa +v有

引理7[8]4設(shè)f∶bΝ→R, 當(dāng)v>0,k∈Ν0時(shí),對任意的t∈b -vΝ有

此外,若μ>0, 且M-1<μ≤M, 則對任意的t∈b -M +μ -vΝ有

定理1設(shè)h∶[0,b]Ν0→R, 則nabla邊值問題

(3)

所以

定理2設(shè)L∶[0,b]Ν0→R, 則邊值問題

(4)

有唯一解u(s)=-φq[A(s,τ)λL(τ-α+1)].其中

證明由引理6容易驗(yàn)證定理2成立,故省略.

下面記τ′=τ-α+β+1,t′=t-α+β+1, 則由定理1和定理2可得方程(1)的解為

定理3設(shè)h∶[0,b]Ν0→R, 當(dāng)1<α-ε<2時(shí),nabla邊值問題(3)等價(jià)于問題

(5)

證明假定x(t)是問題(3)的一個(gè)解,令y(t)=bεx(t), 則通過引理7及x(b)=0, 有y(b+ε)=0且x(t)=b + ε -1-εy(t).又因?yàn)閎αx(t)=b -1αx(t)=b -1αb + ε -1-εy(t)=b + ε -1α - εy(t)=b + εα - εy(t), 所以問題(3)與問題(5)等價(jià).

定理4當(dāng)1<α-ε<2時(shí),邊值問題(1)等價(jià)于問題

(6)

證明證明類似于定理3的證明,故省略.

由此可知函數(shù)?(t,s)是關(guān)于t遞減的，故

定理6稱z(t)為問題(6)的下解，若函數(shù)z(t)滿足不等式組

(7)

定理7稱κ(t)為問題(6)的上解，若函數(shù)κ(t)滿足不等式組

(8)

引理8(Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理) 設(shè)E是一個(gè)Banach空間，T∶E→E是完全連續(xù)映射,集合{x∈E:x=σTx}對0≤σ≤1是有界的,則T有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

2 主要結(jié)果及其證明

為了證明邊值問題解的存在性,給出以下條件：

(H4)f(·,u,s)∶[0,b]N0×[0,+∞)×[0,+∞)→[0,+∞)是關(guān)于變量u和s的非增連續(xù)函數(shù).對λ∈(0,1), 存在兩個(gè)常數(shù)μ1,μ2>0, 且對任意的(t,u,s)∈[0,b]N0×[0,+∞)×[0,+∞) 有以下不等式成立：

f(t,λu,s)≤λ-μ1f(t,u,s),

(9)

f(t,u,λs)≤λ-μ2f(t,u,s).

(10)

注1不等式(9)和(10)分別等價(jià)于下列不等式:

f(t,λu,s)≥λ-μ1f(t,u,s),?λ>1；

(11)

f(t,u,λs)≥λ-μ2f(t,u,s),?λ>1.

(12)

定理8假設(shè)(H4)成立,則存在一個(gè)常數(shù)λ*>0, 使得其對任意的λ∈(λ*,+∞), 邊值問題(6)至少存在一個(gè)解ω(t)， 且存在一個(gè)常數(shù)0

證明令F=C([ε,b+ε]Nε,R), 并定義一個(gè)F的子集P：

(13)

事實(shí)上,對任意的y∈P, 存在一個(gè)正常數(shù)0

(14)

再利用定理5、定理6和注1,可得

(15)

令

取

(16)

根據(jù)式(14)和(15)可得

(17)

令

故

(18)

令

(19)

對t∈[ε,b+ε]Nε, 利用式(17)和(18)，有以下不等式成立：

(20)

再通過式(19)和(20)可得

(21)

類似式(14)—(16)的證明過程,可得φ(t),ψ(t)∈P.由式(18)可得

(22)

再由式(19)可知

(23)

考慮到f是非遞增的,則通過式(19)、(22)和(23)可得：

-λ*f(t′,b + ε-εφ(t′),φ(t′+ε))+λ*f(t′,b + ε-εφ(t′),φ(t′+ε))=0，

(24)

(25)

根據(jù)式(21)—(25)知,ψ(t)和φ(t)是差分邊值問題(6)的上解和下解.定義如下函數(shù)：

(26)

根據(jù)性質(zhì)(H4)和式(26)的定義知F(t,u,s)∶[0,b]N0×[0,+∞)×[0,+∞)→[0,+∞)是連續(xù)的.

下證差分邊值問題

(27)

(28)

當(dāng)f(t′,b + ε-εφ(t′),φ(t′+ε))≤F(t′,b + ε-εy(t′),y(t′+ε))≤f(t′,b + ε-εψ(t′),ψ(t′+ε))時(shí),有ψ(t)≤y(t)≤φ(t)；

當(dāng)F(t′,b + ε-εy(t′),y(t′+ε))=f(t′,b + ε-εψ(t′),ψ(t′+ε))時(shí),有y(t)<ψ(t)；

當(dāng)F(t′,b + ε-εy(t′),y(t′+ε))=f(t′,b + ε-εφ(t′),φ(t′+ε))時(shí),有y(t)>φ(t).

故f(t′,b + ε-εφ(t′),φ(t′+ε))≤F(t′,b + ε-εy(t′),y(t′+ε))≤f(t′,b + ε-εψ(t′),ψ(t′+ε)).由式(21)、(22)和上式可得

(29)

再由定理5和式(29)可知,對任意的y∈P有

(30)

(31)

令z(t)=(φp(b + εα - εφ(t)))-(φp(b + εα - εw(t))), 則有：

z(α+ε-2)=(φp(b + εα - εφ(α+ε-2)))-(φp(b + εα - εw(α+ε-2)))=0.

故z(t)≤0, 即(φp(b + εα - εφ(t)))-(φp(b + εα - εw(t)))≤0.事實(shí)上,如果定義則根據(jù)引理6可得其中K1=0, 因此z(t)≤0.

注意到φp是單調(diào)遞增的,且b + εα - ε是線性算子,所以有b + εα - ε(φ-ω)(t)≤0.根據(jù)式(31)可得φ(t)-w(t)≥0, 因此對任意的t∈[ε,b+ε]Nε有w(t)≤φ(t).同理可得,對任意的t∈[ε,b+ε]Nε有w(t)≥ψ(t).故

ψ(t)≤w(t)≤φ(t),t∈[ε,b+ε]Νε,

(32)

且F(t′,b + ε-εw(t′),w(t′+ε))=f(t′,b + ε-εw(t′),w(t′+ε)),t∈[ε,b+ε]Νε.因此,w(t)是差分邊值問題(27)的一個(gè)正解,y(t)=b + ε-εw(t)是差分邊值問題(1)的一個(gè)正解.