分類討論思想在初中等腰三角形問題中的應(yīng)用探究

摘 要：數(shù)學(xué)思想方法是解題的靈魂，只有掌握良好的思想方法，才能夠提高數(shù)學(xué)解題的能力，將知識轉(zhuǎn)化為實際的技能?；诖耍疚闹饕治龇诸愑懻撍枷敕椒☉?yīng)用在初中等腰三角形問題當中的價值，探討具體的應(yīng)用對策，有計劃、有意識、有步驟地滲透分類討論思想。

關(guān)鍵詞：分類討論;數(shù)學(xué)思想方法;教學(xué)應(yīng)用

一、 分類討論思想在等腰三角形中應(yīng)用的價值

新課程改革要求我們創(chuàng)新數(shù)學(xué)教學(xué)的方法，在整個數(shù)學(xué)教學(xué)的過程當中，不僅要提高學(xué)生探索知識的邊界，更要學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的基本思想，對數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣，從實踐教學(xué)經(jīng)驗來看，分類討論思想應(yīng)用在等腰三角形的教學(xué)當中，具有以下幾方面的價值：

1. 可以幫助學(xué)生挖掘數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當中的差異點與共同點，采用適當?shù)臉藴剩恢貜?fù)、不遺漏地對問題進行有限的討論，通過逐漸分析、按步驟解決的方式，來提高數(shù)學(xué)計算的精準程度。

2. 分類討論思想可以在三角形教學(xué)當中，通過定理的推演求解，開展系統(tǒng)的分析，達到標準統(tǒng)一、不重不漏的實際效果，在一些問題的解決當中，還可以將繁雜的步驟簡化，促進學(xué)生用形象的知識理解抽象的概念，更好地形成數(shù)學(xué)運用能力。

3. 分類討論思想是一個人思維條理性和概括性的重要基礎(chǔ)，通過三角形教學(xué)當中分類討論思想的應(yīng)用，可以幫助學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)，提高數(shù)學(xué)的思考能力，在原有的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)之上，提高自己的總結(jié)能力，概括能力和分析能力。

4. 對于我們中學(xué)生來說，分類討論問題就是將要研究的數(shù)學(xué)對象按照一定的標準劃分為若干不同的情形，然后再逐類進行求解的一種數(shù)學(xué)解題思想。有助于學(xué)生解題能力的提升，建立起對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

5. 分類討論思想往往被用在一些題目條件含有不確定因素，或者結(jié)論不能給予統(tǒng)一表述的數(shù)學(xué)問題，我們往往將問題劃分為若干類或若干個局部問題來解決。這類問題也是等腰三角形當中的重點問題和難點問題，只有通過分類討論才能進行知識的解答。

二、 分類討論思想在初中等腰三角形問題中的應(yīng)用

（一） 步驟拆分

在解題的過程當中，我們要將研究問題當中拆分出各個情況，制定一個統(tǒng)一的標準，根據(jù)這個標準來劃分成不同的小步驟，以不同的形式來解決這些問題，最終將一個大問題拆分成不同的小問題，使得原始的大問題可以得到正確的解答。這種拆解方式是分類討論的基礎(chǔ)和靈魂，在教學(xué)的過程當中，教師要有意識地滲透分類討論的思想，不斷豐富課堂教學(xué)的形式，補充分類討論的內(nèi)容，采用靈活有效的教學(xué)手段，鼓勵學(xué)生進行分類討論的思考，既要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，也要鼓勵學(xué)生在原有的知識基礎(chǔ)之上，進行發(fā)散性思考。

【案例1】 在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，求∠C

解：在DC上截取DE=BD，連接AE， ∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADE=90°

在△ABD和△AED中，AD=AD，∠ADB=∠ADE，DB=DE，

∴△ABD≌△AED（SAS），

∴AB=AE，∴∠B=∠AEB

又AB+BD=CD，DE=BD，∴AB+DE=CD，而CD=DE+EC

∴AB=EC

∴AE=EC，

故設(shè)∠EAC=∠C=x°，∠AEB為△AEC的外角

∴∠B=∠AEB=∠EAC+∠C=2x°，∴∠B=2x°

在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°

∴2x+120+x=180

解得：x=20，則∠C=20°。

在分類討論教學(xué)過程當中，要選擇合理的分類標準，不能盲目地按照學(xué)生的喜好來進行個人的分類，在解題的過程當中，教師可以組織學(xué)生多練習(xí)經(jīng)典的類型，從而更好地避免少討論或多討論的現(xiàn)象，提高解題的效率，做到不重不漏、層次分析。這樣的教學(xué)方法實現(xiàn)需要一定的時間，但是教師要鼓勵學(xué)生在多次的訓(xùn)練當中，不斷培養(yǎng)對于學(xué)習(xí)的自信心，了解到只有進行多樣化的練習(xí)才能夠更好地掌握分類討論的思想。

（二） 進行分類計算

在實際教學(xué)的過程當中，分類討論思想的應(yīng)用也與很多計算有關(guān)，很多學(xué)生由于思維能力的不足，在邏輯方面有一定的漏洞，無法掌握這種高效的數(shù)學(xué)思想方式，在實際討論的過程當中，或者出現(xiàn)重復(fù)討論的現(xiàn)象，或者出現(xiàn)遺漏討論現(xiàn)象，這都無法達到良好的分類討論的效果。因而在教學(xué)的過程當中教師要對學(xué)生的討論結(jié)果進行反思分析和指導(dǎo)，要求學(xué)生按照自己討論的結(jié)果與答案當中進行比對，了解到哪一個層次出現(xiàn)了漏洞，是進行了哪些項目的探討？從而優(yōu)化解題的過程，學(xué)生可以將這種分類討論的結(jié)果記錄到自己的錯題本當中，從而對實際的討論情況進行優(yōu)化分析。

【案例2】 在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21。動點P從點D出發(fā)，沿射線DA的方向以每秒2個單位長的速度運動，動點Q從點C出發(fā)，在線段CB上以每秒1個單位長的速度向點B運動，點P、Q分別從點D、C同時出發(fā)，當點Q運動到點B時，點P隨之停止運動。設(shè)運動的時間為t（秒）。當t為何值時，以B、P、Q三點為頂點的三角形是等腰三角形？

本題目考察的知識點有等腰三角形的定義、勾股定理、無理方程的解法、一元二次方程根的判別式。在讀題時就要明白該類題需分析BP=QP，或BP=BQ，或QP=BQ三種情況。與該題類似的還有在平面直角坐標系中，兩點固定，另一點在一條直線上運動，求三點構(gòu)成的三角形為等腰三角形有幾種情況。

在解答的過程當中，重點就是對頂角的位置以及實際的運動軌跡進行解答，教師可以引導(dǎo)學(xué)生分類討論P、Q兩點的位置，設(shè)置以P為中心和以Q為中心兩個要點，從而獲得正確答案“要使以B、P、Q三點為頂點的三角形是等腰三角形，則需有BP=QP，或BP=BQ，或QP=BQ?！苯處熞朴趩l(fā)學(xué)生的思維，始終以學(xué)生為教學(xué)的中心，了解學(xué)生的解題思路，分析學(xué)生在解題過程當中遇到了哪些問題，從而更好地對學(xué)生進行指導(dǎo)。很多學(xué)生在實際解題過程當中，缺乏反向思維，在已知三角形為等腰三角形的條件下，可以很好地進行問題的分析，但是給出相關(guān)條件之后，對于三角形是等腰三角形的判斷，缺乏足夠的思考，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生從該三角形是等腰三角形和該三角形不是等腰三角形兩個角度來進行討論，從而對已知條件進行優(yōu)化運用。

（三） 設(shè)置分類討論問題

除了解答題當中，填空題、判斷題當中也蘊含著豐富的分類討論思想，很多教學(xué)題目都是組合化的，學(xué)生如果基礎(chǔ)知識掌握不夠牢固，就很容易誤判。例如，等腰三角形與矩形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、銳角的三角比、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識聯(lián)合在一起，就要求學(xué)生對于等腰三角形的定義深入理解，除此之外，涉及點的運動的題目也常常運用分類討論思想。

【案例3】

例如在題目3：△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一點，且EA=EC，求證：EB⊥AB.的解答當中，教師就要指導(dǎo)學(xué)生將等腰三角形定義的知識與三角形的銳角三角形判斷知識聯(lián)合在一起，進行系統(tǒng)分析。在題目4：在△ABC中，AB=15cm，AC=13cm，邊BC上的高AD=12cm，求△ABC的面積。當中，學(xué)生需要對等腰三角形的綜合判斷進行分類。

布置不同類型的分類討論作業(yè)，可以幫助學(xué)生在實際解題的過程當中積累分類討論的經(jīng)驗，關(guān)于三角形圖形位置改變的情況進行系統(tǒng)的討論，按照相關(guān)條件進行幾何圖形的分析，對于所有符合條件的圖形進行正確的解答。在這樣的過程當中，學(xué)生可以根據(jù)不同題干的對比，掌握真正的分類討論思想，并且做到不重不漏。例如在題目4當中，就可以通過內(nèi)部、外部兩種情況來進行分類討論，從而正確的解答問題。

（四） 開展分類教學(xué)

在一個班級當中學(xué)生的知識能力參差不齊，只有面向全體學(xué)生進行系統(tǒng)性教育，才能夠避免學(xué)生負擔過重、壓力過大。開展分層討論，可以在學(xué)生原有的基礎(chǔ)之上，不斷提高教學(xué)的實際質(zhì)量和效果：

第一，進行分類討論教學(xué)過程中教師也要因材施教，根據(jù)學(xué)生的具體情況設(shè)置不同的分類教學(xué)目標，采取不同的教學(xué)方法，按照整體進行不重疊不遺漏的探討，對各個問題進行分享解決，從問題考查的角度、問題解決的方式、問題實際的答案設(shè)置良好的分類標準。

第二，在等腰三角形教學(xué)的過程當中，整個分類討論的思想實際上就是化整為零分而治之，作為一種重要的思想方法，教師要不斷提高對于分類討論的重視程度，掌握實際的教學(xué)策略。為了提升教學(xué)的實際水平，教師要進行充分的教學(xué)準備，既可以和經(jīng)驗豐富的教師進行探討，掌握深化分類討論教學(xué)效果的方法，也可以在網(wǎng)絡(luò)當中進行視頻課程的學(xué)習(xí)，提升分類討論的靈活程度，吸引學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

第三，教師要對于分類討論的教學(xué)細致準備，對引起討論的原因進行整合分析，對于問題的定義進行討論，如果這個討論是由點引發(fā)的，那么就要引導(dǎo)學(xué)生對于三角形的范圍限制條件進行逐項分析，在解題的過程當中更多的關(guān)注三角形的邊和角等限制元素，開展充分的討論。教師要培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成分類討論的習(xí)慣，在遇到復(fù)雜問題的時候，先想到運用分類討論的方法對問題進行細化拆解，轉(zhuǎn)換為自己已知的知識，進行靈活解題。

第四，在三角形運算討論過程當中，如果整個運算是由定義引發(fā)的討論，那么就要對運算的限制條件進行排除，在角度運算的過程當中，要對滿足相應(yīng)的條件進行系統(tǒng)的討論，避免由于運算討論不足導(dǎo)致必要條件被遺漏。整合兩圓的位置關(guān)系、勾股定理、無理方程的解法、直角梯形的有關(guān)性質(zhì)等知識。

第五，三角形的位置討論是等腰三角形運算當中討論的主體，對于圖形變化引起的討論要對平面圖形所處的位置進行分門別類的分析，做到化整為零。加大對分類討論的重視程度，開展多樣化靈活教學(xué)。

結(jié)論：綜上所述，很多數(shù)學(xué)問題不僅在涉及的范圍上帶有綜合性，而且，問題本身會受多種條件的交叉制約，形成錯綜復(fù)雜的局面，很難從整體上著手解決。所以，只能運用分類討論思想，化整為零，各個擊破，最后達到整體的解決。我們要重視思想劃歸，開展分層教學(xué)，不斷提升教學(xué)的細致程度，促進教學(xué)質(zhì)量的升級，提升學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的感興趣程度，提高學(xué)生學(xué)習(xí)成績與解題能力。

參考文獻：

[1]李淑杰.初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的“三把尺”——以“等腰三角形”復(fù)習(xí)課為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（23）：49-51.

[2]任小平.初中數(shù)學(xué)課堂運用數(shù)字教材助力學(xué)生高階思維的培養(yǎng)——以“分割等腰三角形”的教學(xué)為例[J].數(shù)字教育，2019，5（4）：64-68.

[3]汪衛(wèi).核心素養(yǎng)視角下初中數(shù)學(xué)探究式教學(xué)——以“等腰三角形性質(zhì)”教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2019（9）：94.

[4]張漢軍.“教體驗”助力初中幾何教學(xué)——以“等腰三角形的性質(zhì)”為例[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2019（5）：3-6.

作者簡介：雷貴珍，中學(xué)數(shù)學(xué)一級，福建省南平市，福建省南平市順昌縣大歷中學(xué)。