基于數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓學(xué)習(xí)深度發(fā)生
——對(duì)人教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)“小數(shù)的意義”的思考與實(shí)踐

浙江杭州市蕭山區(qū)夾灶小學(xué) 李國(guó)良

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，應(yīng)注重對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)。教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)與生活的聯(lián)系，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)、操作、嘗試等活動(dòng)來(lái)理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)及體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想。體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)可以從不同的角度加以分析，從不同的層次進(jìn)行理解。因此，這給我們數(shù)學(xué)課堂教學(xué)提供了一個(gè)啟示，在教學(xué)中我們不僅要尋找知識(shí)的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)，也要尋找數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯起點(diǎn)，更要尋找各知識(shí)點(diǎn)的“前世今生”。

一、教材分析

人教版數(shù)學(xué)教材中，“小數(shù)的意義”這一知識(shí)點(diǎn)分散在三年級(jí)下冊(cè)第七單元《小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)》和四年級(jí)下冊(cè)第四單元《小數(shù)的意義和性質(zhì)》。在“小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”中，教材通過(guò)生活中的質(zhì)量、價(jià)格、體溫、身高等感性材料來(lái)認(rèn)識(shí)小數(shù)，設(shè)計(jì)“量身高”等具體情境教學(xué)小數(shù)，運(yùn)用幾何直觀米與分米的十進(jìn)制關(guān)系來(lái)理解一位小數(shù)的意義，初步懂得一位小數(shù)是用來(lái)表示十分之幾；在第二課時(shí)中結(jié)合具體的“量”來(lái)比較一位小數(shù)的大小，以進(jìn)一步鞏固對(duì)一位小數(shù)意義的理解。四年級(jí)“小數(shù)的意義與性質(zhì)”單元中，教材通過(guò)小數(shù)產(chǎn)生的必要性來(lái)引入小數(shù)，再次運(yùn)用米與分米、厘米、毫米之間的關(guān)系來(lái)明確一位小數(shù)表示十分之幾、兩位小數(shù)表示百分之幾……掌握小數(shù)的計(jì)數(shù)單位和小數(shù)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率。在小數(shù)的讀法與寫法中安排小數(shù)的數(shù)位順序表，知道小數(shù)的組成和小數(shù)部分的數(shù)位順序。

通過(guò)對(duì)兩個(gè)年級(jí)的“小數(shù)意義”教材分析后，筆者認(rèn)為這兩個(gè)階段均借助于熟悉的生活情境來(lái)理解、掌握小數(shù)的意義。但四年級(jí)對(duì)小數(shù)意義的學(xué)習(xí)不能僅僅停留生活中“量”的范圍內(nèi)，它需要從“量”抽象成為“數(shù)”，最終完善對(duì)小數(shù)意義的認(rèn)識(shí)，理解并掌握小數(shù)的概念。

二、學(xué)情分析

學(xué)情分析是教師在實(shí)施教學(xué)過(guò)程前的一段時(shí)間內(nèi)，通過(guò)不同的調(diào)查方式對(duì)學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備、已有經(jīng)驗(yàn)、思維水平等進(jìn)行了解、分析與思考，為教學(xué)設(shè)計(jì)、實(shí)施有針對(duì)性的教學(xué)提供依據(jù)。

1.調(diào)查內(nèi)容的擬定與思考

根據(jù)“小數(shù)的意義”一課的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，我們擬定了7個(gè)小題進(jìn)行調(diào)查，主要了解學(xué)生對(duì)小數(shù)意義的知識(shí)儲(chǔ)備、圖形表征、意義建構(gòu)、深度理解等能力。對(duì)這些問(wèn)題按照思維層次的四級(jí)水平進(jìn)行分類，分別是：

二級(jí)思維層次有2個(gè)問(wèn)題：即用圖來(lái)表征0.2和0.25。主要考查學(xué)生能否借助圖形來(lái)理解一位小數(shù)，類推出兩位小數(shù)的意義；了解一位小數(shù)用十分之幾的圖形來(lái)表示，能否類推出兩位小數(shù)用百分之幾的圖形來(lái)表示，充分構(gòu)建起圖形與小數(shù)的關(guān)系。

三級(jí)思維層次有1個(gè)小題：能否在上圖的計(jì)數(shù)器上表示出25.4。主要考查學(xué)生能否借助計(jì)數(shù)器從整數(shù)的位值原理推理出小數(shù)的位值大小，明白整數(shù)與小數(shù)的聯(lián)系。了解學(xué)生從小數(shù)的“量”到“數(shù)”的理解程度。

四級(jí)思維層次安排1個(gè)問(wèn)題：為什么分?jǐn)?shù)寫成小數(shù)，小數(shù)寫成分?jǐn)?shù)的分母都是10、100、1000…呢？你知道其中的原因嗎？把理由寫在下面。主要考查學(xué)生能否通過(guò)一級(jí)、二級(jí)思維層次等中間問(wèn)題來(lái)推理、闡述小數(shù)的意義，了解為什么小數(shù)的意義要借助分?jǐn)?shù)的意義來(lái)理解的程度。

2.調(diào)查結(jié)果的梳理與分析

本次調(diào)查，我們選擇了城鎮(zhèn)兩所小學(xué)各兩個(gè)班級(jí)的120名四年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了前認(rèn)知調(diào)查，采用獨(dú)立完成、無(wú)暗示的方式進(jìn)行。

從上面統(tǒng)計(jì)中，我們認(rèn)為：

調(diào)查結(jié)果顯示：一級(jí)思維層次的三個(gè)小題學(xué)生回答得較為理想。在分?jǐn)?shù)化小數(shù)的3個(gè)小題中，只有4個(gè)學(xué)生把分母是1000的分?jǐn)?shù)化錯(cuò)為兩位小數(shù)；小數(shù)化分?jǐn)?shù)的3個(gè)小題中，只有5個(gè)學(xué)生把三位小數(shù)化成了分母是100的分?jǐn)?shù)。從這一側(cè)面可以看出分母是10、100的分?jǐn)?shù)化成小數(shù)和一位、兩位的純小數(shù)化成分?jǐn)?shù)不存在障礙；而分母是1000的分?jǐn)?shù)化成小數(shù)或三位小數(shù)化成分?jǐn)?shù)需要在后續(xù)的學(xué)習(xí)中加以引導(dǎo)。

二級(jí)思維層次的兩個(gè)小題大部分學(xué)生能用長(zhǎng)（正）方形圖來(lái)表征十分之幾和百分之幾，而用線段圖來(lái)表征的相對(duì)較少。筆者覺(jué)得，十分之幾用一維的圖來(lái)表征相對(duì)較為方便，而百分之幾用二維的圖來(lái)表征較為容易，千分之幾用三維的立體圖來(lái)呈現(xiàn)較為合適。我們?cè)囅耄喊俜种畮撞捎镁€段圖來(lái)表征需把線段進(jìn)行100等分，顯然，學(xué)生對(duì)于這樣的分法存在困難；當(dāng)學(xué)生用正方形面積圖來(lái)表征百分之幾，能聯(lián)想到1dm2與1cm2之間進(jìn)率的推導(dǎo)方法，思維就相對(duì)來(lái)得簡(jiǎn)單一些，理解起來(lái)較為容易。

三級(jí)思維層次的題目正確率較低，而兩種錯(cuò)誤形式比率也接近。筆者以為，學(xué)生有一個(gè)表象就是小數(shù)點(diǎn)是整數(shù)部分與小數(shù)部分的分界點(diǎn)，應(yīng)有其位置，對(duì)于現(xiàn)象背后的相鄰數(shù)位之間的進(jìn)率的本質(zhì)就無(wú)法建構(gòu)；而沒(méi)有呈現(xiàn)數(shù)位順序表也屬于正?，F(xiàn)象，他們的大腦里已經(jīng)呈現(xiàn)了25.4。

四級(jí)思維層次的題目屬于本質(zhì)性概念的理解，因四年級(jí)學(xué)生還沒(méi)有完整地學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義，要讓他們從十進(jìn)制分?jǐn)?shù)的理解中抽象出小數(shù)的意義是困難的。在調(diào)查中，我們也發(fā)現(xiàn)個(gè)別學(xué)生對(duì)小數(shù)意義的理解有自己的想法而且符合小數(shù)的本質(zhì)屬性（如下圖），這兩個(gè)學(xué)生能從0.1縮?。▽W(xué)生表述不是很精確，但能說(shuō)明問(wèn)題）和從圖形的表征來(lái)理解0.01，說(shuō)明他們對(duì)于小數(shù)的意義已經(jīng)有了本質(zhì)的理解，期待教師能正確、科學(xué)地加以引導(dǎo)。

3.學(xué)生訪談的梳理

為讓學(xué)生把對(duì)小數(shù)意義的理解的真實(shí)想法表達(dá)出來(lái)，我們選擇了每個(gè)班級(jí)最好的那個(gè)學(xué)生（由任課老師推薦）進(jìn)行了訪談，主要是了解他們對(duì)小數(shù)意義的理解程度。整理后發(fā)現(xiàn)，他們都存在同樣的困惑：一是原來(lái)學(xué)習(xí)整數(shù)時(shí)都是數(shù)數(shù)的，現(xiàn)在學(xué)習(xí)小數(shù)為什么要用線段圖或正方形來(lái)進(jìn)行研究？二是在商場(chǎng)里看到的小數(shù)如25.4元就是25元4角，0.4元也就是把1元分成10角是其中的4個(gè)1角，為什么數(shù)學(xué)上學(xué)習(xí)小數(shù)要通過(guò)分?jǐn)?shù)來(lái)進(jìn)行學(xué)習(xí)？三是小數(shù)與整數(shù)、分?jǐn)?shù)有什么聯(lián)系與區(qū)別？

筆者認(rèn)為，學(xué)生對(duì)小數(shù)意義建構(gòu)的困惑正是我們教學(xué)小數(shù)時(shí)需要思考與研究的，教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)是否符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律？是否從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)展開(kāi)教學(xué)？

三、教學(xué)思考

小數(shù)的意義是一個(gè)典型的過(guò)程型概念，也就是說(shuō)它既是過(guò)程又是概念。在對(duì)教材與學(xué)情的分析后，我們認(rèn)為：“小數(shù)意義”的教學(xué)過(guò)程中，不僅要重視具體情境下的表述，即充分利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有認(rèn)知，引導(dǎo)他們?cè)诙啻伪硎鲋懈形蛐?shù)的含義，促進(jìn)學(xué)習(xí)的正遷移；也要從數(shù)學(xué)的本質(zhì)上借助于“數(shù)數(shù)”來(lái)激活相關(guān)經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)基礎(chǔ)，促進(jìn)對(duì)小數(shù)意義的歸納與理解。為此，筆者認(rèn)為要處理好以下兩個(gè)關(guān)系：

1.理清小數(shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系

眾所周知，小數(shù)的實(shí)質(zhì)是十進(jìn)制分?jǐn)?shù)的另一種表現(xiàn)形式，但其依據(jù)是十進(jìn)制位值原理，其本質(zhì)是“位置計(jì)數(shù)法”的拓展，引進(jìn)小數(shù)是為了表示小于“單位1”的量。在歷史上，小數(shù)的認(rèn)知遠(yuǎn)早于對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)，我國(guó)商代已經(jīng)有十進(jìn)制的度量衡制度，就是小數(shù)，而分?jǐn)?shù)的記載則出現(xiàn)在春秋時(shí)期，中國(guó)古代數(shù)學(xué)由于重視位值計(jì)算及其算法，特別崇尚小數(shù)，曾經(jīng)盛行數(shù)百年的珠算則完全使用小數(shù)計(jì)算。因此，在教學(xué)小數(shù)時(shí)，不要總回到分?jǐn)?shù)的意義上理解小數(shù)，而應(yīng)遵循勞動(dòng)人民對(duì)小數(shù)與分?jǐn)?shù)認(rèn)知的先后順序，這樣才真正符合發(fā)展規(guī)律。

2.理清小數(shù)與整數(shù)的關(guān)系

認(rèn)識(shí)小數(shù)其意義在于擴(kuò)充自然數(shù)，使得可以用“數(shù)”來(lái)表示小于“單位1”的量。小數(shù)使用的是十進(jìn)制位值計(jì)數(shù)法，而不是簡(jiǎn)單的“十分之幾、百分之幾……”表述，它是將個(gè)、十、百等往左不斷疊加的位置計(jì)數(shù)方式，朝著另一個(gè)方向加以延伸，也就是不斷平均分成10份的過(guò)程，即增加十分位、百分位等新位置，使之成為更完善的一種位值計(jì)數(shù)制度，顯示了自然數(shù)與小數(shù)的完美統(tǒng)一。在教學(xué)時(shí)，要讓學(xué)生掌握一些本源的問(wèn)題，也就是為什么要學(xué)習(xí)小數(shù)？小數(shù)與整數(shù)的聯(lián)系在哪里？小數(shù)如何在數(shù)軸上表示出來(lái)？為什么小數(shù)的分母是10、100、1000等？盡量把小數(shù)背后的數(shù)學(xué)思想方法用易懂的方法表示出來(lái)。

四、教學(xué)實(shí)踐

基于對(duì)“小數(shù)的意義”的深入分析與思考，我們認(rèn)為可以把例1與例2進(jìn)行整合，從“注重表征，初步感知小數(shù)的意義”和“追尋本質(zhì)，深刻理解小數(shù)的意義”兩大板塊開(kāi)展研究。

1.注重表征，初步感知小數(shù)的意義

數(shù)學(xué)表征是指學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念及其關(guān)系的信息加工過(guò)程，可以通過(guò)文字、圖形等方式呈現(xiàn)出來(lái)。數(shù)學(xué)表征水平代表著學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)的水平，表征形式越豐富，學(xué)生對(duì)概念的理解就越深刻。

課始，讓學(xué)生直接說(shuō)幾個(gè)一、兩位小數(shù)（如0.4，0.6，0.15,0.78……）等，然后集體讀一讀這些數(shù)。接著，組織學(xué)生用自己的方法表示出0.4和0.15（如下圖），集體討論：為什么0.4和0.15采用這樣的方法表示出來(lái)？

生1:0.4就是把1條線段平均分成10份，其中的4段就是0.4。

生2：0.4就是把1個(gè)長(zhǎng)方形平均分成10份，其中的4份就是0.4。

生3:0.15就是把1條線段平均分成100份，其中的15段就是0.15。

生4：0.15就是把1個(gè)正方形平均分成100份，其中的15份就是0.15。

師：為什么0.4把線段或長(zhǎng)方形平均分成10份，0.15要把線段或正方形平均分成100份呢？

生5：如果把0.4加上單位“元”，0.4元就是把1元分成10個(gè)1角，也就是4角；同樣把0.15加上單位“元”，0.15元就是1角5分，就是15分。

……

隨后，集體小結(jié)：0.4與0.15表示把一個(gè)圖形平均分成10份和100份表示其中的4份和15份。接著教師設(shè)疑：0.003用圖可以怎么表示出來(lái)？

生1：把一個(gè)圖形平均分成1000份，其中的3份就是0.003。

生2：可以把一個(gè)立方體平均分成1000份，其中的3份就是0.003。

課件出示把1個(gè)立方體平均分成1000份，3個(gè)涂色部分就是0.003。隨即組織學(xué)生把0.4、0.15、0.003寫成分?jǐn)?shù)。

筆者認(rèn)為，這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)充分尊重學(xué)生的前概念認(rèn)知，一位小數(shù)與兩位小數(shù)直接讓學(xué)生用圖等形式進(jìn)行表征，三位小數(shù)用推理的方法來(lái)進(jìn)行教學(xué)，對(duì)于發(fā)展學(xué)生的空間想象能力和推理能力起到重要的作用。對(duì)于為什么一、兩、三位小數(shù)要平均分成10、100、1000份形成表象即可，深究其原因要借助于計(jì)數(shù)器，這樣才更有數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

2.追尋本質(zhì)，深刻理解小數(shù)的意義

在第一環(huán)節(jié)中通過(guò)對(duì)小數(shù)意義的表征與質(zhì)疑，學(xué)生初步懂得了小數(shù)的意義及小數(shù)與分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上需要深入探究背后的道理。

出示小數(shù)119.15，組織學(xué)生在計(jì)數(shù)器上（如上圖）表示出來(lái)。學(xué)生自然會(huì)出現(xiàn)前概念調(diào)查時(shí)的三種情況：完全正確的、小數(shù)點(diǎn)占數(shù)位、沒(méi)有數(shù)位表示的。隨后教師讓學(xué)生對(duì)上述三種表示方法發(fā)表意見(jiàn)。

生1：這個(gè)計(jì)數(shù)器是沒(méi)有數(shù)位順序表的，要先標(biāo)出數(shù)位，第三種沒(méi)有表示出數(shù)位，不知道11915是什么數(shù)。

生2：小數(shù)點(diǎn)不能占據(jù)一個(gè)數(shù)位，因?yàn)樗鼪](méi)有計(jì)數(shù)單位，小數(shù)點(diǎn)的左邊起依次是個(gè)位、十位、百位……是相鄰的，它們之間的進(jìn)率依次是10。同樣，小數(shù)點(diǎn)右邊第一位與個(gè)位之間的進(jìn)率也是10。

生3：小數(shù)點(diǎn)左起應(yīng)該是個(gè)位、十位……右邊起是十分位、百分位……第一種記錄是對(duì)的（如上圖）。

生4：我覺(jué)得完成這個(gè)題目應(yīng)該先在計(jì)數(shù)器上標(biāo)出數(shù)位，然后根據(jù)這個(gè)小數(shù)依次在相應(yīng)的數(shù)位上表示出珠子的個(gè)數(shù)。

……

此時(shí)，教師小結(jié)表示的方法并繼續(xù)質(zhì)疑：為什么一（兩）位小數(shù)用十（百）分之幾來(lái)表示呢？

生1：我發(fā)現(xiàn)計(jì)數(shù)器上往左計(jì)數(shù)單位越來(lái)越大，往右計(jì)數(shù)單位越來(lái)越小。

生2：我發(fā)現(xiàn)個(gè)位是9，如果加1，就滿十了，就向前一位進(jìn)1，往左是加起來(lái)的；如果十位1不夠，需要向百位借1作10，向右相當(dāng)于是分出來(lái)。

生3：如果十分位的1不夠，向個(gè)位借1就是10個(gè)0.1，也就是向右是從高位分出1個(gè)10來(lái)。

生4：如果十分位上的1加10個(gè)就滿十，就向個(gè)位進(jìn)1。

師(小結(jié))：在原來(lái)整數(shù)計(jì)數(shù)器上，個(gè)位、十位、百位等,它們相鄰的計(jì)數(shù)單位是10，為了保持計(jì)數(shù)器的一致性，向右個(gè)位、十分位、百分位等它們之間的進(jìn)率也是10，十分位就是從個(gè)位1平均分成10份，也就是10個(gè)所以一位小數(shù)就用十分之幾來(lái)表示，兩位小數(shù)就用百分之幾來(lái)表示。在計(jì)數(shù)器上我們發(fā)現(xiàn)，向左就是加的過(guò)程，向右就是分的過(guò)程。

接著教師繼續(xù)提問(wèn)：為什么這些數(shù)位取名個(gè)位、十位、十分位、百分位？

生1：個(gè)位就是1個(gè)1個(gè)的，把1個(gè)1個(gè)加起來(lái)到9再加1個(gè)滿十了就要向高一位進(jìn)1，這個(gè)1就是10，所以就取名十位；如果10個(gè)10個(gè)疊加，滿百了就要向高一位進(jìn)1，這個(gè)1就是100，所以就有百位了。

生2：如果從1元里要拿出幾角，就需要從個(gè)位的1元平均分成10份，也就是分成10個(gè)1角是元，這個(gè)十分位了；如果從1角里拿出幾分，就需要再平均分成10份，也就是1元要平均分成100份，就是100個(gè)1分是元，就是百分位。

生3：個(gè)位1平均分成10份，往右給下一位，就是十分位，再平均分成10份，給下一位就是百分位，百分位上的數(shù)就是把個(gè)位平均分成100份。

……

在教師小結(jié)后，一起研究119.15是怎么組成的？這個(gè)數(shù)怎樣在數(shù)軸上表示出來(lái)？

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我們可以發(fā)現(xiàn)，上述三個(gè)大問(wèn)題都緊緊圍繞小數(shù)的意義層層展開(kāi)教學(xué)，借助于計(jì)數(shù)器可以清晰地知道為什么一（兩）位小數(shù)用十（百）分之幾來(lái)表示。它不僅拓展了數(shù)系，在計(jì)數(shù)器上完整地呈現(xiàn)小數(shù)與整數(shù)的關(guān)系，小數(shù)也是通過(guò)“數(shù)數(shù)”的方法來(lái)進(jìn)行，保持了與整數(shù)的一致性；還從數(shù)學(xué)的本質(zhì)屬性來(lái)思考小數(shù)的意義，明白了小數(shù)與分?jǐn)?shù)的聯(lián)系與區(qū)別。這樣教學(xué)“小數(shù)的意義”，就不再局限于從“分?jǐn)?shù)的意義”來(lái)展開(kāi)，學(xué)生自然不會(huì)有思維的斷層，學(xué)起來(lái)就顯得容易。

老子說(shuō)：“道生一，一生二，二生三，三生萬(wàn)物?！蔽覀兘柚谡麛?shù)“數(shù)數(shù)”的方法來(lái)研究小數(shù)，用學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)與知識(shí)經(jīng)驗(yàn)把小數(shù)意義背后的知識(shí)與道理發(fā)掘出來(lái)，讓學(xué)生真正懂得知識(shí)的來(lái)龍去脈，知道數(shù)學(xué)知識(shí)的生長(zhǎng)性。因此，我們進(jìn)行課堂教學(xué)，只有不斷地研究學(xué)科本位知識(shí)，正確掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì)屬性，才能將教學(xué)內(nèi)容把握得更精準(zhǔn)、更到位；我們只有不斷地研究學(xué)生，了解學(xué)生需要什么，才能使教學(xué)更接地氣、更加實(shí)效，真正把“教什么”與“怎么教”一樣重要地落到實(shí)處。