數(shù)形結(jié)合 架設(shè)算理與算法的橋梁

劉慶弟

數(shù)學(xué)家華羅庚教授說(shuō)過(guò)：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求：“數(shù)”與“形”相結(jié)合，相互滲透，把數(shù)的精確與圖形的直觀描述相結(jié)合，以形理解數(shù)。所謂數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中抽象的數(shù)學(xué)概念、計(jì)算方法、數(shù)量關(guān)系與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，更好理解和把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)。那么，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何做到數(shù)形結(jié)合呢？下面以人教版六年級(jí)上冊(cè)第三單元“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”教學(xué)為例，闡述教師如何借助直觀圖形讓學(xué)生理解分?jǐn)?shù)除法的算理，從而歸納總結(jié)出分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算方法，讓數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想為算理與算法架設(shè)一座橋梁。

一、數(shù)形結(jié)合，直觀感知

教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，在新課學(xué)習(xí)前需要喚醒已經(jīng)獲得的經(jīng)驗(yàn)為起點(diǎn)，設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知水平的數(shù)學(xué)活動(dòng)，為學(xué)習(xí)新知識(shí)作鋪墊，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移以及探索方法的遷移，達(dá)到溫故而知新的學(xué)習(xí)效果。在教學(xué)“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”課始時(shí)，教師讓學(xué)生折一折，涂一涂來(lái)復(fù)習(xí)驗(yàn)證前面所學(xué)的一個(gè)數(shù)除以整數(shù)的算理和計(jì)算方法。新課導(dǎo)入滲透數(shù)形結(jié)合的思想，讓學(xué)生直觀感知知識(shí)。

片段一：

師：同學(xué)們，還記得我們學(xué)過(guò)的分?jǐn)?shù)除以整數(shù)是怎樣除的嗎？請(qǐng)同學(xué)們口答下面兩道除法，并說(shuō)說(shuō)你的想法。

課件出示：

口算：

生： 等于把一張紙的 平均分成2份，取其中的1份，也就是求 的 。（學(xué)生邊操作演示邊說(shuō)）

師：同意嗎？

生：同意，陰影部分就是占這張紙的 。

生：我是把一張長(zhǎng)方形紙平均分成5份，取其中的3份，再把這3份對(duì)折，也就是平均分成2份，涂其中的一份，結(jié)果陰影部分占這個(gè)長(zhǎng)方形的 ，所以我認(rèn)為剛才某某同學(xué)是正確。

生： 就是把 分成3份，取其中的一份，也就是求 的 是多少。（學(xué)生邊操作演示邊說(shuō)）

師：你們真棒！不但掌握了分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的方法，還會(huì)從乘、除法的意義去理解算法，更棒的是能通過(guò)分一分，折一折，涂一涂，等操作，借圖示來(lái)理解算法和驗(yàn)證結(jié)果。

師：今天，我們還可以運(yùn)用剛才的操作方法來(lái)研究新的知識(shí)。

利用上面兩道鋪墊練習(xí)為新舊知識(shí)的銜接，新舊經(jīng)驗(yàn)的對(duì)接做了充分的準(zhǔn)備，為探索新知提供了探究的方法。

二、數(shù)形結(jié)合，明理知法

《標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》指出：“通過(guò)操作和直觀圖示幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)乘除法的算理，掌握計(jì)算方法。”也就是要求課堂上加強(qiáng)直觀教學(xué)，結(jié)合實(shí)際操作和圖形語(yǔ)言，探索、理解計(jì)算方法。而且分?jǐn)?shù)乘除法計(jì)算教學(xué)的重點(diǎn)是讓學(xué)生理解算理，掌握計(jì)算方法。如果只讓學(xué)生記住分?jǐn)?shù)乘除法的計(jì)算法則并不困難，但我們不但要讓學(xué)生知其然，更要知其所以然。分?jǐn)?shù)除法是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與運(yùn)算內(nèi)容中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，主要包括分?jǐn)?shù)除以整數(shù)、整數(shù)除以分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)等類型，并經(jīng)過(guò)循序漸進(jìn)的教學(xué)后將算法統(tǒng)一為“除以一個(gè)數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”，因此，如何讓學(xué)生既理解算理，又掌握算法， 便成為本節(jié)課的難點(diǎn)。為了突破這一教學(xué)難點(diǎn)，在教學(xué)分?jǐn)?shù)乘除的計(jì)算時(shí)，教師應(yīng)注意滲透數(shù)形結(jié)合、歸納等數(shù)學(xué)思想方法，設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，在“做”和“思考”的過(guò)程中逐步積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷算法的自主探索過(guò)程，并將探索的過(guò)程進(jìn)行總結(jié)和反思，形成普通適用的計(jì)算法則。

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生明白算理，從而掌握計(jì)算方法，這是一個(gè)厚積薄發(fā)的過(guò)程，應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)。教學(xué)時(shí)，教師要用好這些直觀手段，給學(xué)生充分提供動(dòng)手的機(jī)會(huì)和時(shí)間，讓更多的學(xué)生在操作觀察的過(guò)程中，憑借直觀，理解算理發(fā)現(xiàn)算法。要提高這些教學(xué)活動(dòng)的有效性，還需要教師給予適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥，引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)與形結(jié)合，邊操作，邊觀察，邊思考，并通過(guò)討論交流，在理解的基礎(chǔ)上總結(jié)和掌握算法。在計(jì)算分?jǐn)?shù)除法時(shí)，通常出現(xiàn)的錯(cuò)誤是有些同學(xué)直接約分或把被除數(shù)倒了，變成乘被除數(shù)的倒數(shù)。學(xué)生也許會(huì)出現(xiàn)種種千奇百怪，令你意想不到的錯(cuò)誤，原因就是學(xué)生不明白算理造成計(jì)算方法的混亂。所以我們要為學(xué)生提供充分開展數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生通過(guò)操作，觀察，數(shù)形結(jié)合來(lái)理解算理，歸納計(jì)算法則。

三、數(shù)形結(jié)合，提煉概括

魯賓斯坦曾說(shuō)過(guò)：“思維是在概括中完成的?！彬?yàn)證計(jì)算結(jié)果是否正確是對(duì)運(yùn)算過(guò)程方法和結(jié)果的反思及檢驗(yàn)，也是積累運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)、提高運(yùn)算能力的重要手段。驗(yàn)算的方法有多種多樣。如重算一遍，用加法驗(yàn)算減法，用乘法驗(yàn)算除法等等。

例如，“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”為例，教師引導(dǎo)學(xué)生采用新穎的驗(yàn)證方法：①把分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)來(lái)驗(yàn)算：4÷ =4÷0.5=8;②運(yùn)用商不變的規(guī)律，把除數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)來(lái)除：4÷ =（4×2）÷（ =8;③運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，讓學(xué)生看圖解說(shuō)驗(yàn)證。生說(shuō)：4個(gè)餅共有12份，每2份一人，可以分6人，也就是4÷ =4×3÷ =4×3× =4 =6;

學(xué)生的多種驗(yàn)證方法，是對(duì)計(jì)算過(guò)程的反思，這樣的反思既把新知轉(zhuǎn)化為舊知，又實(shí)現(xiàn)了舊知的遷移，使新知識(shí)與舊知識(shí)融為一體。數(shù)形結(jié)合使學(xué)生做到了勇于猜想，敢于驗(yàn)證，大膽創(chuàng)新。同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生善于觀察、深入思考、多角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。

數(shù)形結(jié)合在學(xué)生整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮了橋梁的作用。運(yùn)用數(shù)與形的結(jié)合，讓學(xué)生經(jīng)歷探究方法——明白算理——?dú)w納算法——反思驗(yàn)證的過(guò)程。引導(dǎo)學(xué)生積極參與整個(gè)教學(xué)過(guò)程，這樣才能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高他們終身學(xué)習(xí)的能力。