從一道高考題思考學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

摘?要：2019年全國(guó)一卷理科數(shù)學(xué)：21題以數(shù)列加概率綜合的形式取代了以往函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題的位置。在限定時(shí)間內(nèi)要快速理解題意并克服題型變換的壓力，無(wú)疑增加了考生答題的難度。筆者對(duì)此題及學(xué)生的答題情況進(jìn)行具體分析，思考學(xué)生在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)上的缺失。

關(guān)鍵詞：高考數(shù)學(xué);解題;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

一、?問(wèn)題的呈現(xiàn)

為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)。試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)。對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥。一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)。當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效。為了方便描述問(wèn)題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分。甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為x。

1.?略;

2.?若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，Pi（i=0，1，…，8）表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則P0=0，P8=1，其中Pi=aPi-1+bPi+cPi+1（i=1，2，…，7），其中a=P（x=-1），b=P（x=0），c=P（x=1）.假設(shè)α=0.5，β=0.8。

（?。┳C明：{Pi+1-Pi}（i=0，1，…，7）為等比數(shù)列;

（ⅱ）求P4，并根據(jù)P4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性。

二、?問(wèn)題的難點(diǎn)

難點(diǎn)一：無(wú)法適應(yīng)試卷結(jié)構(gòu)，認(rèn)為題目的閱讀量較大，對(duì)題目的信息理解不到位，覺(jué)得讀不懂題。

難點(diǎn)二：目標(biāo)不知如何轉(zhuǎn)化，證明等比數(shù)列的常規(guī)方法是證明Pi+1-PiPi-Pi-1=q（常數(shù)），但從題干的等式中難以得出需要的目標(biāo)式。

難點(diǎn)三：能證明出{Pi+1-Pi}（i=0，1，…，7）為等比數(shù)列，但由于得不到P1而無(wú)法求得P4。

難點(diǎn)四：無(wú)法根據(jù)P4的值解釋試驗(yàn)方案的合理性。

三、?問(wèn)題的分析與解決

（一）?問(wèn)題的分析

本題通過(guò)概率為載體，考查了概率統(tǒng)計(jì)和數(shù)列的交匯，以及概率與統(tǒng)計(jì)的實(shí)際應(yīng)用。在題目的背后，需要學(xué)生具備數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

（二）?問(wèn)題的解決

1.?理解題目本質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)

突破難點(diǎn)一

由于本題題干較長(zhǎng)，試驗(yàn)的規(guī)則較復(fù)雜，學(xué)生在短暫的時(shí)間里可能摸不著頭腦。要有效地解決這個(gè)問(wèn)題，需要對(duì)題干的信息進(jìn)行簡(jiǎn)單的整理和加工。從對(duì)試驗(yàn)方案的理解中我們意識(shí)到一輪試驗(yàn)是一次隨機(jī)試驗(yàn)，即分配兩只小白鼠分別試驗(yàn)甲藥和乙藥是隨機(jī)的，所以兩次試驗(yàn)是獨(dú)立的。這樣一輪下來(lái)會(huì)得到四個(gè)結(jié)果，我們抽象成如下的表1（這里用符號(hào)√表示治愈，×表示未治愈）：

對(duì)文字的抽象可以更清晰地幫助我們理解題意，方便后面解題，但是這種抽象更多的是一種翻譯，還停留在表層，我們需要進(jìn)一步抽象。隨著試驗(yàn)的不斷進(jìn)行，這就是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，這個(gè)試驗(yàn)結(jié)束的時(shí)刻是當(dāng)其中的一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，如果還是不能理解，我們可以舉一個(gè)具體的例子看看甲有效的情況，如表2：

通過(guò)上述例子可以發(fā)現(xiàn)要結(jié)束試驗(yàn)，∑Xi=-∑Yi，更近一步，當(dāng)且僅當(dāng)∑Xi=4或-4時(shí)，試驗(yàn)結(jié)束。到此，數(shù)學(xué)抽象幫助我們深刻地理清了題意及考查的大致知識(shí)情況。

2.?建立數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)

突破難點(diǎn)二

在清楚題意之后，難點(diǎn)就變成了如何證明等比數(shù)列。等比數(shù)列這個(gè)數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)特點(diǎn)是：一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比值等于同一個(gè)常數(shù)q（q≠0），即a1≠0，anan-1=q。如果能熟練運(yùn)用這個(gè)模型，學(xué)生會(huì)知道要證明{Pi+1-Pi}（i=0，1，…，7）為等比數(shù)列即要得到Pi+1-PiPi-Pi-1=q（常數(shù)）或Pi+2-Pi+1Pi+1-Pi=q（常數(shù)）。更近一步，觀察題干可以發(fā)現(xiàn)，與Pi相關(guān)的題設(shè)條件僅有遞推式Pi=aPi-1+bPi+cPi+1（i=1，2，…，7），所以我們下一步應(yīng)該是要在求得a，b，c具體數(shù)值的基礎(chǔ)上得到Pi+1-PiPi-Pi-1=q（常數(shù)）這個(gè)目標(biāo)式。

由于Pi=0.4Pi-1+0.5Pi+0.1Pi+1（i=1，2，…，7），通過(guò)分析目標(biāo)式結(jié)構(gòu)，移項(xiàng)與拼湊，可以得到0.1Pi+1-0.1Pi=0.4Pi-0.4Pi-1，即Pi+1-PiPi-Pi-1=4（常數(shù)），下面還需驗(yàn)證首項(xiàng)不為零，由于P1-P0=0.5P1+0.1P2，題上沒(méi)有給出P2，故“P1-P0是否為零”這個(gè)問(wèn)題暫時(shí)還無(wú)法解決。但題上給出了P8=1，那是否可以根據(jù)這個(gè)條件得到P1呢？

3.?尋求數(shù)學(xué)聯(lián)系，提升邏輯推理核心素養(yǎng)

突破難點(diǎn)三及首項(xiàng)P1-P0是否為零的問(wèn)題

現(xiàn)在，把相關(guān)信息進(jìn)行整理：①Pi+1-PiPi-Pi-1=4?②P0=0，P8=1我們要求的是P4和P1，那如何從①這個(gè)一般式推得特殊值呢？從一般入手，等比數(shù)列{Pi+1-Pi}中，P1-P0，P2-P1……P8-P7這八項(xiàng)后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值都為4，可以根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式計(jì)算得到這八項(xiàng)之和。這樣有兩個(gè)好處，一是根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式得到（P1-P0）+（P2-P1）+……+（P8-P7）=P1（1-48）1-4，二是把括號(hào)打開得到（P1-P0）+（P2-P1）+……+（P8-P7）=P8，由于P8已知，所以我們可以反推P1。值得注意的是，整個(gè)過(guò)程的前提都是首項(xiàng)不為0，數(shù)列{Pi+1-Pi}（i=0，1，…，7）是等比數(shù)列的前提下進(jìn)行的，如果首項(xiàng)為0，那整個(gè)過(guò)程將毫無(wú)意義，這實(shí)際上是一種邏輯假設(shè)，我們計(jì)算得到P1=348-1說(shuō)明假設(shè)是成立的。

在我們得到P1后，我們可以用剛才的方法求得P4，這里進(jìn)一步地訓(xùn)練邏輯思維，即順向思維和逆向思維，我們要得到P4，需要從另一個(gè)角度進(jìn)行構(gòu)造，即P4=（P1-P0）+（P2-P1）+（P3-P2）+（P4-P3）=1257。

4.?分析理解數(shù)據(jù)，滲透數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)。

突破難點(diǎn)四

計(jì)算出P4=1257后，根據(jù)這個(gè)數(shù)值解釋試驗(yàn)方法的合理性，我們首先要弄清P4的具體含義。由題可知，Pi（i=0，1，…，8）表示“甲藥的累計(jì)得分為時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率。即1257代表的是甲藥比乙藥更有效的概率的大小。那如何根據(jù)概率的大小來(lái)判斷試驗(yàn)方案的合理性呢？甲藥的治愈率是0.5，乙藥的治愈率是0.8，在這個(gè)前提下，我們得出甲藥比乙藥更有效的概率是1257（約為0.0039），這個(gè)概率與0.05相比是很小的。所以甲藥比乙藥更有效的概率很小，這與兩種藥本身的治愈率的大小是相吻合的，故試驗(yàn)方案是合理的。

這里很多考生直接把0.0039與0.05相比較，得出概率小所以不合理的結(jié)果，這是由于沒(méi)有真正理解“合理”二字的意義，數(shù)據(jù)分析不夠全面透徹。沒(méi)有弄清數(shù)據(jù)可能性大小代表的真正含義，只是單從數(shù)字大小本身進(jìn)行解讀，這樣的結(jié)果往往都是片面的、易錯(cuò)的。數(shù)據(jù)分析要想準(zhǔn)確，離不開題目、數(shù)學(xué)學(xué)科、社會(huì)生活這些大環(huán)境，在我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，會(huì)出現(xiàn)一些特殊的數(shù)字或字母，這些數(shù)字和字母都具有豐富的含義，可以幫助我們更方便簡(jiǎn)潔地分析理解數(shù)據(jù)。

四、?結(jié)語(yǔ)

波利亞在《怎樣解題》中提供了一種解題的思路，學(xué)生可以通過(guò)思考“你以前見(jiàn)過(guò)此題嗎？你見(jiàn)過(guò)一道和它相關(guān)的題目嗎？”來(lái)找到解題的方法。但值得思考的是，隨著時(shí)代的發(fā)展，學(xué)科要求的不斷提高。學(xué)生面臨的是題量增大，題型多變，他可能很難通過(guò)一道題馬上聯(lián)想到其他與之相關(guān)的題，因?yàn)榉秶螅瑫r(shí)間太短。筆者認(rèn)為，學(xué)生應(yīng)該在融會(huì)貫通的基礎(chǔ)上，通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)來(lái)了解數(shù)學(xué)的基本特征，完善數(shù)學(xué)重要的思維品質(zhì)，提高自己的學(xué)科能力。如此，以不變應(yīng)萬(wàn)變，做好面對(duì)一切未知的準(zhǔn)備，遇到難題時(shí)才會(huì)有行之有效的方法。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：陳瑤瑤，四川省南充市，西華師范大學(xué)。