數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的研究分析

摘?要：近年來(lái)，在我國(guó)新課程改革的影響之下，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中更加注重培養(yǎng)學(xué)生的自主探究學(xué)習(xí)能力。數(shù)形結(jié)合思想作為數(shù)學(xué)學(xué)科中的重要解題思想之一，教師應(yīng)在平常的教學(xué)過(guò)程中融入數(shù)形結(jié)合思想，有利于學(xué)生思維的擴(kuò)展。在實(shí)際的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程，教師可以充分地借助數(shù)形結(jié)合思想，來(lái)提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，有效培養(yǎng)學(xué)生的自主探究學(xué)習(xí)能力，進(jìn)而幫助學(xué)生在實(shí)際的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中更加高效的應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”思想來(lái)學(xué)習(xí)相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)而幫助學(xué)生提升自身的自主探究學(xué)習(xí)能力，推進(jìn)綜合素質(zhì)發(fā)展。“數(shù)形結(jié)合”思想的基本應(yīng)用包括直觀觀察法，畫(huà)簡(jiǎn)略圖方法以及媒體教學(xué)法等。在此前提下，綜合小學(xué)數(shù)學(xué)中的幾道常見(jiàn)例題，探究數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)題目中的具體應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;初中數(shù)學(xué);建議

一、 數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中數(shù)的推導(dǎo)依托形的生成可以生成十分直觀的效果，形的直觀性依托數(shù)的邏輯性可以無(wú)微不至。在對(duì)空間幾何形式以及數(shù)量關(guān)系方面進(jìn)行研究的過(guò)程中借助數(shù)形結(jié)合思想，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展以及相關(guān)問(wèn)題的解決產(chǎn)生了重要影響，首先可將抽象的問(wèn)題具體化，在建筑數(shù)形結(jié)合思想解決相關(guān)問(wèn)題上，依托數(shù)的邏輯性，畫(huà)出同題意相符的圖形，借助圖形的直觀形象性來(lái)解決有關(guān)數(shù)的問(wèn)題，或在某些具備圖形的問(wèn)題之中，特別是在幾何問(wèn)題的證明中，部分學(xué)生往往只根據(jù)圖形所展現(xiàn)出的信息，直接按照主觀化的理解來(lái)讀取信息，缺少了對(duì)于圖形的推導(dǎo)過(guò)程，而數(shù)形結(jié)合思想可以將圖形中的信息轉(zhuǎn)化為數(shù)，實(shí)現(xiàn)抽象問(wèn)題具體化分析;其次可將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，幾何以及代數(shù)在解題方法上都具備各自優(yōu)勢(shì)，幾何圖形具備圖形的直觀性以及形象性，而代數(shù)方法具備數(shù)的邏輯性以及可操作性，兩者相結(jié)合后，可根據(jù)部分圖像進(jìn)行直觀的理解，在解決問(wèn)題的過(guò)程中可選取適當(dāng)?shù)姆椒▽?shù)與形的兩方面內(nèi)容實(shí)現(xiàn)有效結(jié)合，化繁雜為簡(jiǎn)潔;最后提升學(xué)生的邏輯推理以及思維擴(kuò)展能力，在解決問(wèn)題的過(guò)程中借助數(shù)形結(jié)合思想，通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確理解，將數(shù)據(jù)所表現(xiàn)出的抽象概念準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化為圖像的直觀概念，可有效提升學(xué)生的發(fā)散思維以及空間結(jié)合能力，有助于學(xué)生形成較強(qiáng)的空間幾何圖形概念。在借助圖形分析數(shù)據(jù)的過(guò)程中，要求學(xué)生秉承著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶忣}態(tài)度，又要求其具備較強(qiáng)的空間幾何圖形概念。通過(guò)對(duì)圖形的觀察準(zhǔn)后確讀出相關(guān)的數(shù)據(jù)信息，有助于學(xué)生提升在數(shù)據(jù)層面上的邏輯推理能力。

二、 數(shù)形結(jié)合思想的含義

將代數(shù)方法和幾何圖形相結(jié)合，借助兩者的優(yōu)越性共同解決數(shù)學(xué)問(wèn)題是數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)思想方法方面的實(shí)際應(yīng)用，在其應(yīng)用過(guò)程中可分為以下兩種情形：第一，借助數(shù)的手段，在應(yīng)用過(guò)程中借助數(shù)的嚴(yán)密性來(lái)準(zhǔn)確闡述圖形所具備的某些性質(zhì)，僅僅通過(guò)圖像來(lái)觀察數(shù)，其結(jié)果并不具備嚴(yán)密性，例如在二元一次方程的根的求解過(guò)程中，只有通過(guò)數(shù)的相關(guān)計(jì)算才能使結(jié)果更加嚴(yán)謹(jǐn);第二，以形作為手段，借助圖形所具備的直觀形象性，來(lái)分析圖形之間所存在的數(shù)據(jù)聯(lián)系，例如可通過(guò)一次函數(shù)圖像直觀的說(shuō)明一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）在k，b不同取值情況下從左向右呈上升還是下降趨勢(shì)。

（一） 數(shù)形結(jié)合的概念

同其他的數(shù)學(xué)概念相比，其詞義并非十分的清晰明了，單單從字面意思上分析，“數(shù)”字可以理解為數(shù)字、代數(shù)以及數(shù)學(xué)等意思，也可泛指數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)以及數(shù)學(xué)性質(zhì)等概念命題;“形”字可以理解為圖形圖表、幾何空間圖形以及空間形式等，也可泛指圖形表征，即圖形、圖像等。“結(jié)合”意為兩者之間相互緊密聯(lián)系，綜合以上理解，數(shù)形結(jié)合的基本概念已經(jīng)初步呈現(xiàn)，即將數(shù)學(xué)中的兩大基本研究對(duì)一一象數(shù)量關(guān)系以及幾何空間形式相互緊密聯(lián)系。

（二） 數(shù)形結(jié)合內(nèi)涵

在中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，研究的對(duì)象分別為數(shù)量關(guān)系（數(shù)）以及空間關(guān)系（形），數(shù)是數(shù)量關(guān)系的具體表現(xiàn)，而形是空間形式的具體表現(xiàn)，其主要表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：第一，“數(shù)”和“形”依托一定的條件相互緊密聯(lián)系，抽象的數(shù)量關(guān)系通常具備形象以及直觀的幾何意義，而直觀的圖形性質(zhì)也經(jīng)常使用數(shù)量關(guān)系加以準(zhǔn)確描述;第二，“數(shù)”和“形”也依托一定的條件進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，相互聯(lián)系。

在研究數(shù)量關(guān)系的過(guò)程中，有時(shí)要借助圖形進(jìn)行直觀的研究，而在進(jìn)行幾何圖形的研究過(guò)程中，常借助數(shù)量關(guān)系進(jìn)行求解。在進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的過(guò)程中，“數(shù)”和“形”是其研究的重點(diǎn)所在，借助數(shù)形結(jié)合思想可使兩者相統(tǒng)一，使需解決的問(wèn)題由繁化簡(jiǎn)，提升思維廣度?！按鷶?shù)”由“幾何”所啟發(fā)，而代數(shù)又大大地豐富了幾何內(nèi)容。因此需根據(jù)解決問(wèn)題的實(shí)際需求，考慮是否將數(shù)量關(guān)系問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)問(wèn)題進(jìn)行研究，還是將圖形的性質(zhì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題進(jìn)行研究。

三、 數(shù)形結(jié)合思想方法的教學(xué)建議

（一） 鉆研教材，領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想方法

概念在數(shù)學(xué)教材中的呈現(xiàn)形式較為抽象，并非以現(xiàn)成的結(jié)論所展示的，而是將對(duì)概念的界定浸透到學(xué)生對(duì)知識(shí)的探索過(guò)程中。教師在進(jìn)行相關(guān)概念教學(xué)過(guò)程中，要以學(xué)生的感知思維為主體，借助文字或者數(shù)據(jù)的傳輸方式，幫助學(xué)生在腦中建立起表象。在學(xué)生認(rèn)知空間觀念中，幾何圖形作為基本的知識(shí)載體，更是初中階段以形助數(shù)的基本方法。在概念教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)相關(guān)概念的學(xué)習(xí)，認(rèn)識(shí)到圖形在概念形成過(guò)程中的重要性。通過(guò)以形引數(shù)的方法，使學(xué)生進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)于概念的理解，同時(shí)可將概念的本質(zhì)通過(guò)圖形的方式進(jìn)行演示，提升學(xué)生的感悟能力。

例如，教師在為學(xué)生講述數(shù)軸這一概念時(shí)，教材對(duì)數(shù)軸的定義為：“有原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線被稱為數(shù)軸”。但如果單一地向?qū)W生傳達(dá)這一概念，學(xué)生可以理解，但在后期的學(xué)習(xí)過(guò)程中，實(shí)數(shù)要與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)時(shí)，學(xué)生就無(wú)法理解。為什么數(shù)與點(diǎn)兩者之間是可以相互轉(zhuǎn)化的，以及當(dāng)在數(shù)軸后面所要學(xué)習(xí)到的相反數(shù)以及絕對(duì)值等相關(guān)概念時(shí)，仍然是以數(shù)可以在數(shù)軸上通過(guò)點(diǎn)的形式所呈現(xiàn)出為基本前提。

（二） 把握課堂，滲透數(shù)形結(jié)合思想方法

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生要加強(qiáng)自主學(xué)習(xí)探究能力，主動(dòng)探索教材知識(shí)的形成過(guò)程，不僅要求學(xué)生停留在課堂上的被動(dòng)接受知識(shí)，而應(yīng)當(dāng)深入挖掘知識(shí)的形成過(guò)程。實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)，教材中的定理都是在不斷地總結(jié)歸納出來(lái)的，是歷代數(shù)學(xué)家們智慧的結(jié)晶。教師應(yīng)用數(shù)學(xué)結(jié)合的思想方法將定理的形成過(guò)程通過(guò)數(shù)和形兩種方式分別呈現(xiàn)，可使學(xué)生明白該定理同其他知識(shí)之間的本質(zhì)性聯(lián)系。

例如在定理的形成過(guò)程中運(yùn)用到數(shù)學(xué)思想，可產(chǎn)生深刻的感悟，有助于對(duì)教程知識(shí)的掌握。教材中對(duì)（a+b）（a-b）=a2-b2以及（a±b）2=a2±2ab+b2這兩個(gè)公式的推導(dǎo)，在對(duì)公式的運(yùn)用僅要求學(xué)生牢記公式的變化結(jié)果即可，但教材的設(shè)計(jì)是先以數(shù)的形式，按照多項(xiàng)式的乘法法則進(jìn)行推導(dǎo);再以形的形式，按照等積變化的方式進(jìn)行推導(dǎo)，這樣做的根本目的是為讓學(xué)生體會(huì)到探究公式的過(guò)程，牢牢把握數(shù)學(xué)思想。

（三） 強(qiáng)化練習(xí)，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法

俗話說(shuō)得好，“授人以魚(yú)，不如授人以漁”，深刻的說(shuō)明了，教師僅僅講解題目的答案，只是暫時(shí)地讓學(xué)生明白如何解決這個(gè)問(wèn)題，而想要再次正確求解同類型的題目，就需要明白數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)方法。因此在解答題目的過(guò)程中，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行學(xué)會(huì)思考，明白如何借助題目中的已知條件實(shí)現(xiàn)有形變數(shù)或者有形化數(shù)，而不僅僅是為了單純的解答問(wèn)題，以得出正確結(jié)果為最終目的。數(shù)形結(jié)合思想方法應(yīng)用于解題的主要目的是為了發(fā)揮數(shù)的邏輯性以及形的直觀性，兩者相輔相成，使學(xué)生在解題過(guò)程中可以選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ岣呓忸}速度，正確求解題目答案。

教材中所設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)習(xí)題，每一章節(jié)所對(duì)應(yīng)習(xí)題的基本做法是類似的，但仍存在大部分學(xué)生在做相似的習(xí)題時(shí)反復(fù)出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一現(xiàn)象出現(xiàn)的根本原因在于學(xué)生尚未完全掌握解答各類型題目的思想方法，例如在一元一次不等式的應(yīng)用中y1=kx+a，y2=kx+b求解y1>y2時(shí)，都是通過(guò)確定圖像交點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行求解，只要明白函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)影響不等式的解集，再遇到同一類型的題目時(shí)，就可以游刃有余。

（四） 整理歸納，提煉數(shù)形結(jié)合思想方法

教師在進(jìn)行知識(shí)傳授的過(guò)程中滲透數(shù)形結(jié)合的思想，以及在解題過(guò)程中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想都是不完善的，難以表現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合思想在知識(shí)運(yùn)用過(guò)程中的整體性。因此在進(jìn)行章末尾復(fù)習(xí)的過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)對(duì)數(shù)形結(jié)合的思想方法進(jìn)行準(zhǔn)確提煉并概括總結(jié)，便可對(duì)本章節(jié)各知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系形成深入的理解，對(duì)相關(guān)題目進(jìn)行歸納，便于最后形成完整的章節(jié)知識(shí)，并在解題過(guò)程中運(yùn)用這一思想去解答。在相應(yīng)的教學(xué)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)之中，教師要對(duì)數(shù)形結(jié)合的思想方法進(jìn)行歸納總結(jié)，并在課堂上鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立對(duì)知識(shí)框架進(jìn)行知識(shí)總結(jié)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

進(jìn)行章末復(fù)習(xí)的過(guò)程中，不僅要對(duì)本章節(jié)的重點(diǎn)及時(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)，同時(shí)對(duì)重點(diǎn)難點(diǎn)題型也要加以講解。在知識(shí)的復(fù)習(xí)過(guò)程中，既要建立起完善的知識(shí)體系，也要將每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)所涉及的重點(diǎn)習(xí)題以及解決方法進(jìn)行清晰的講解，因此在復(fù)習(xí)課的教學(xué)過(guò)程中，同新授課以及習(xí)題課的教學(xué)方式是完全不同的，這要求教師要在有限的課堂時(shí)間內(nèi)提升復(fù)習(xí)效率，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想方法對(duì)知識(shí)點(diǎn)和通習(xí)題進(jìn)行提煉總結(jié)。

（五） 反思提升，總結(jié)數(shù)形結(jié)合思想方法

在整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)之中，反思具備著重要的地位，教師在每次上完課后要對(duì)本節(jié)課所講解的知識(shí)進(jìn)行反思總結(jié)，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際課堂掌握以及時(shí)間把控情況，修改教學(xué)計(jì)劃，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用情況，在以形析數(shù)和以數(shù)助形兩種轉(zhuǎn)化型中選擇正確的轉(zhuǎn)化方式。

例如，在對(duì)直線同圓的位置關(guān)系進(jìn)行講解時(shí)，在第一個(gè)班級(jí)我并未采取課件，使用圓規(guī)既浪費(fèi)了時(shí)間，又出現(xiàn)了圖形不準(zhǔn)確的問(wèn)題，以至于沒(méi)有在有限的課堂時(shí)間內(nèi)完成教學(xué)任務(wù);因此，在第二個(gè)班級(jí)進(jìn)行講解時(shí)，使用了多媒體課件，既節(jié)約了時(shí)間，又通過(guò)動(dòng)態(tài)的方法將三種位置關(guān)系進(jìn)行演示，使學(xué)生一目了然，只有進(jìn)行不斷的反思更正，才能取得進(jìn)步，數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的是為擴(kuò)展學(xué)生的思維能力，教導(dǎo)學(xué)生在實(shí)際中運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，而不是僅僅向?qū)W生灌輸知識(shí)，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)探索知識(shí)。

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作者簡(jiǎn)介：

孫香花，甘肅省慶陽(yáng)市，甘肅省合水縣何家畔九年制學(xué)校。