一題多問教學(xué)模式的作用和操作案例分析

☉湖北省武漢市常青第一學(xué)校 殷國俊

設(shè)置問題、解決問題是初中數(shù)學(xué)課堂上教師與學(xué)生溝通的主要途徑，而訓(xùn)練學(xué)生一題多問，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度、不同方位進(jìn)行不同層次的思考，是提高學(xué)生理解和應(yīng)用能力的一種有效方法.但在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，碰到的多數(shù)習(xí)題一般只要求解決單方面的問題，對(duì)知識(shí)和能力的考查比較片面，學(xué)生的思維得不到充分的訓(xùn)練.近年來，武漢市的數(shù)學(xué)中考在這個(gè)方面很好地起到了指揮棒的作用，解答題多采用一題多問、問問遞進(jìn)的呈現(xiàn)方式，考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.如果廣大初中數(shù)學(xué)教師在平時(shí)的教學(xué)中努力挖掘素材，將題目做適當(dāng)?shù)臄U(kuò)充和變式，采用一題多問的方式，把多個(gè)知識(shí)點(diǎn)用同一道題的背景有機(jī)結(jié)合起來，溝通多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系，甚至在教學(xué)中鼓勵(lì)學(xué)生在同樣的條件下從多角度提問，創(chuàng)編習(xí)題，以開拓思路，培養(yǎng)學(xué)生的理解能力和解題能力，無疑對(duì)學(xué)生實(shí)際應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力的增強(qiáng)可以起到明顯的促進(jìn)作用.

一、一題多問的常規(guī)教學(xué)呈現(xiàn)形式

第一種呈現(xiàn)形式是把具有同一背景的問題進(jìn)行收集、改編、整合，再按難度層次依次呈現(xiàn).

引例：拋物線y=ax2-ax-8a+5經(jīng)過點(diǎn)P（-2，5），交x軸于點(diǎn)A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜0＜x2，與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，S△PAB=10，求拋物線的解析式.

這是九年級(jí)（上冊(cè)）數(shù)學(xué)課本上一道習(xí)題的改編題，再將近三年來各級(jí)各類中考訓(xùn)練中以此引例為背景的習(xí)題進(jìn)行收集、改編和整合，初步可以得到以下19個(gè)不同的小問：

（1）將拋物線沿對(duì)稱軸向上平移k個(gè)單位后，與線段BC交于D、E兩點(diǎn)，求k的取值范圍.

（2）直線y=kx-1與拋物線交于P、Q兩點(diǎn)，且y軸平分S△CPQ，求k的值.

（3）若M為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)N在x軸上，S△BCN=S△BCM，求點(diǎn)N的坐標(biāo).

（4）設(shè)點(diǎn)P在第二象限內(nèi)的拋物線上，S△POB=S△POC，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（5）G（2，y）是拋物線上一點(diǎn)，P是直線AG下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)S△APG最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（6）若點(diǎn)M在x軸下方的對(duì)稱軸上，連接BM，將BM繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到PM，點(diǎn)P恰好在拋物線上，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（7）若直線y=-x-1與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，且點(diǎn)P在y軸的正半軸上，PE平分∠APB，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

以上7問屬于基礎(chǔ)性問題.這類問題以基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固和基本技能的訓(xùn)練為主，其涉及的知識(shí)點(diǎn)適合于目標(biāo)為普高的學(xué)生，旨在培養(yǎng)學(xué)生最基本的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法.

（8）過點(diǎn)A的直線交BC于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N，若AM=2MN，求點(diǎn)N的坐標(biāo).

（9）平移直線y=-x交拋物線于M、N兩點(diǎn)，若MN=BC，求平移后直線MN的解析式.

（10）若P為拋物線上一點(diǎn)，將CP沿AC的垂直平分線翻折，點(diǎn)P恰好落在y軸上，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（11）設(shè)P為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PO、PC，將△POC沿OC翻折得到△OCP′，且四邊形POP′C為菱形，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（13）若點(diǎn)P在拋物線上，△APC為直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

以上6問屬于小綜合性問題.這類問題是以九年級(jí)知識(shí)框架為基礎(chǔ)，把七、八年級(jí)與其有聯(lián)系的相關(guān)知識(shí)納入其中，可以加深學(xué)生對(duì)某一知識(shí)框架的全面、深入了解，提高綜合處理能力.

（14）以B為直角頂點(diǎn)，BC為直角邊作直角△BCD，CD交拋物線于點(diǎn)P，若PC=PD，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（15）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（16）直線y=-x-1與拋物線交于另一點(diǎn)E，點(diǎn)G在拋物線上，點(diǎn)F在x軸上，若以A、E、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)F的坐標(biāo).

（17）P為拋物線上一點(diǎn)，PM∥AC交x軸于點(diǎn)M，若四邊形PMAC為等腰梯形，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（18）過點(diǎn)C作CB′∥x軸交拋物線于點(diǎn)B′，點(diǎn)P從點(diǎn)B′出發(fā)，以0.1個(gè)單位/秒的速度沿線段B′C向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，以相同的速度沿線段OB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則t為何值時(shí)，四邊形BB′PQ為等腰梯形？

（19）將函數(shù)圖像沿y軸翻折后，與原圖像合起來，構(gòu)成一個(gè)新函數(shù)的圖像.若直線y=x+m與新圖像有四個(gè)公共點(diǎn)，求m的取值范圍.

這6問屬于發(fā)展性問題.這類問題是為了培養(yǎng)學(xué)生的開放性研究能力而設(shè)置的，主要是一些對(duì)創(chuàng)造性方面有較高要求的題目.

二、一題多問的分層教學(xué)呈現(xiàn)形式

第二種呈現(xiàn)形式是對(duì)同一背景下同一個(gè)問題進(jìn)行思路拆分，拆分成遞進(jìn)關(guān)系的若干小問.

還是以這個(gè)引例為例.

拋物線y=ax2-ax-8a+5經(jīng)過點(diǎn)P（-2，5），交x軸于點(diǎn)A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜0＜x2，與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，S△PAB=10，求拋物線的解析式.

在錨地式教學(xué)的前提下，將這個(gè)問題涉及的知識(shí)點(diǎn)和技巧、方法逐一設(shè)置成更小的問題，其目的有三，一是引導(dǎo)學(xué)生將解決問題的邏輯順序理清楚，二是教師可以清晰地剖析此題涉及的知識(shí)點(diǎn)、技巧和方法，三是方便學(xué)生課后自學(xué)或歸納總結(jié).

（1）是否選擇將點(diǎn)P的坐標(biāo)（-2，5）代入解析式y(tǒng)=ax2-ax-8a+5中？

（2）拋物線對(duì)稱軸的解析式是什么？

（3）△PAB的底和高分別怎么表示？

（4）條件x1＜0＜x2有什么作用？

（5）如何確定A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)？

（6）要求出拋物線的解析式，需要代入幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)？

（7）用待定系數(shù)法求解析式時(shí)，是代入點(diǎn)A的坐標(biāo)還是點(diǎn)B的坐標(biāo)？

這19問可以做如下分解：

（1）將拋物線沿對(duì)稱軸向上平移k個(gè)單位后，與線段BC交于D、E兩點(diǎn)，求k的取值范圍.

①拋物線向上平移k個(gè)單位后，解析式如何表示？

②平移后的拋物線與線段BC有兩個(gè)交點(diǎn)的臨界情況是怎樣的？

③如何求出臨界情況時(shí)k的值？

④如何用語言表述從初始狀態(tài)到臨界狀態(tài)的過程？

⑤怎樣確定k的取值范圍？

（2）直線y=kx-1與拋物線交于P、Q兩點(diǎn)，且y軸平分S△CPQ，求k的值.

①直線y=kx-1經(jīng)過哪個(gè)定點(diǎn)？

②怎樣用排除法的觀點(diǎn)確定P、Q兩點(diǎn)的大致位置？

③幾何條件y軸平分S△CPQ怎樣轉(zhuǎn)化成代數(shù)條件（坐標(biāo)關(guān)系）？

④如何在聯(lián)立求解的過程中植入韋達(dá)定理？

⑤求出的k值與題意和圖形是否符合？

（3）若M為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)N在x軸上，S△BCN=S△BCM，求點(diǎn)N的坐標(biāo).

①根據(jù)圖形能否直接確定△BCM的形狀？

②如何求S△BCM最簡便？

③怎樣通過圖形確定點(diǎn)N的大致位置？

④幾何條件S△BCN=S△BCM可以轉(zhuǎn)化成什么樣的代數(shù)條件？

⑤如何用排除法確定符合題意和圖形的點(diǎn)N的坐標(biāo)？

（4）設(shè)點(diǎn)P在第二象限內(nèi)的拋物線上，S△POB=S△POC，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

①如何依據(jù)草圖確定點(diǎn)P的大致位置？

②△POB和△POC有什么樣的特殊位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系？

③幾何條件S△POB=S△POC可以轉(zhuǎn)化成什么樣的代數(shù)條件？

④點(diǎn)P位于哪條直線上？

⑤如何求出點(diǎn)P的坐標(biāo)？

⑥求出的點(diǎn)P的坐標(biāo)是否需要取舍？

（5）G（2，y）是拋物線上一點(diǎn)，P是直線AG下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)S△APG最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

①如何依據(jù)草圖確定點(diǎn)P的大致位置？

②S△POB由哪些因素決定？

③如何構(gòu)造同底等高的兩個(gè)三角形？

④構(gòu)造后的平行線與拋物線具有怎樣的位置關(guān)系？

⑤這個(gè)位置關(guān)系如何用代數(shù)方式呈現(xiàn)？

⑥如何求出點(diǎn)P的坐標(biāo)？

（6）若點(diǎn)M在x軸下方的對(duì)稱軸上，連接BM，將BM繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到PM，點(diǎn)P恰好在拋物線上，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

①如何依據(jù)草圖確定點(diǎn)M、點(diǎn)P的大致位置？

②BM與PM具有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？

③可以聯(lián)想到全等常用的哪個(gè)基本圖形？

④如何構(gòu)造全等？

⑤怎么用幾何條件中的線段相等設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)？

⑥如何求出點(diǎn)P的坐標(biāo)？

（7）若直線y=-x-1與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，且點(diǎn)P在y軸的正半軸上，PE平分∠APB，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

①怎樣通過直線的解析式找到點(diǎn)E的位置？

②如何依據(jù)草圖確定點(diǎn)P的大致位置？

③幾何條件PE平分∠APB可以讓你聯(lián)想到哪些定理？

④由此還可以聯(lián)想到全等時(shí)常用的哪個(gè)基本圖形？

⑤如何構(gòu)造全等？

⑥△ABE的形狀是什么？

⑦四邊形AEBP有怎樣的特殊性質(zhì)？

⑧這些特殊的性質(zhì)中哪些與點(diǎn)P的位置有關(guān)？

⑨這些特殊的性質(zhì)中哪一條可以用來求點(diǎn)P的坐標(biāo)？

⑩如何求點(diǎn)P的坐標(biāo)？

（8）過點(diǎn)A的直線交BC于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N，若AM=2MN，求點(diǎn)N的坐標(biāo).

①如何依據(jù)草圖確定M、N兩點(diǎn)的大致位置？

②幾何條件AM=2MN可以轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)軸上哪些線段的數(shù)量關(guān)系？

③這個(gè)幾何的數(shù)量關(guān)系怎樣變成代數(shù)關(guān)系？

④這個(gè)代數(shù)關(guān)系怎樣簡化為點(diǎn)N的坐標(biāo)？

⑤怎樣求出點(diǎn)N的坐標(biāo)？

（9）平移直線y=-x交拋物線于M、N兩點(diǎn)，若MN=BC，求平移后直線MN的解析式.

①如何依據(jù)草圖確定M、N兩點(diǎn)的大致位置？

②題設(shè)給出直線MN的斜率為-1的目的是什么？

③線段MN與BC有著怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？

④如何利用這種關(guān)系設(shè)出M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)？

⑤如何求出M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)？

⑥如何求出直線MN的解析式？

（10）若P為拋物線上一點(diǎn)，將CP沿AC的垂直平分線翻折，點(diǎn)P恰好落在y軸上，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

①如何利用草圖確定點(diǎn)P翻折前后的大致位置？

②怎樣判斷四邊形ACPP′的形狀？

③四邊形ACPP′的邊、角、對(duì)角線分別有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

④這些關(guān)系中哪些與坐標(biāo)軸相關(guān)？

⑤能不能用其中的幾何關(guān)系構(gòu)造方程？

⑥對(duì)角線的交點(diǎn)坐標(biāo)怎樣確定？

⑦怎樣利用對(duì)角線的交點(diǎn)坐標(biāo)求點(diǎn)P的坐標(biāo)？

（11）設(shè)P為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PO、PC，將△POC沿OC翻折得到△OCP′，且四邊形POP′C為菱形，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

①如何利用草圖確定點(diǎn)P、P′的大致位置？

②菱形POP′C的邊、角、對(duì)角線分別有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

③哪些關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)條件？

④如何利用這個(gè)代數(shù)條件設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)？

⑤怎樣利用規(guī)律設(shè)點(diǎn)法求點(diǎn)P的坐標(biāo)？

①怎樣找到點(diǎn)E的位置？

②如何求出點(diǎn)E的坐標(biāo)？

③CE與SE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系如何？

④對(duì)稱軸在圖中可以起到什么作用？

⑤由此可以聯(lián)想到相似中的哪個(gè)基本圖形？

⑥如何構(gòu)造相似？

⑦怎樣簡化點(diǎn)S的坐標(biāo)的表示方式？

⑧怎樣利用規(guī)律設(shè)點(diǎn)法求點(diǎn)S的坐標(biāo)？

（13）若點(diǎn)P在拋物線上，△APC為直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

①如果∠A是直角，如何利用草圖確定點(diǎn)P的大致位置？

②AP與y軸的交點(diǎn)起什么作用？

③可以聯(lián)想到相似中的哪個(gè)基本圖形？

④利用這個(gè)基本圖形怎么求點(diǎn)P的坐標(biāo)？

⑤如果∠C是直角，如何利用草圖確定點(diǎn)P的大致位置？

⑥CP與x軸的交點(diǎn)起什么作用？

⑦可以聯(lián)想到相似中的哪個(gè)基本圖形？

⑧利用這個(gè)基本圖形怎么求點(diǎn)P的坐標(biāo)？

⑨如果AC是斜邊，圖形應(yīng)該怎么畫？

⑩怎樣利用排除法的觀點(diǎn)得到最后的答案？

（14）以B為直角頂點(diǎn)，BC為直角邊作直角△BCD，CD交拋物線于點(diǎn)P，若PC=PD，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

①過點(diǎn)B且和BC垂直的直線在第一、四象限均可以形成直角三角形BCD.

②如何利用草圖確定點(diǎn)D的大致位置？

③幾何條件PC=PD會(huì)使你聯(lián)想到直角三角形的哪條性質(zhì)？

④這個(gè)性質(zhì)會(huì)讓你聯(lián)想到怎樣的輔助線？

⑤四邊形ACPB的邊和對(duì)角線有什么樣的特殊關(guān)系？

⑥直線OP有什么特殊性質(zhì)？

⑦如何利用OP的解析式求點(diǎn)P的坐標(biāo)？

（15）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

①怎么求△BCD三邊的長度？

②如何確定△BCD的形狀？

③△BCD中有沒有特殊角？

④△BCD中三邊的比值是多少？

⑤依據(jù)草圖，點(diǎn)P的大致位置有幾個(gè)？

⑥可以聯(lián)想到相似中的哪個(gè)基本圖形？

⑦用什么定理求解比較簡便？

⑧求出的點(diǎn)P的坐標(biāo)有多少個(gè)？

⑨這些點(diǎn)P是否需要取舍？

（16）直線y=-x-1與拋物線交于另一點(diǎn)E，點(diǎn)G在拋物線上，點(diǎn)F在x軸上，若以A、E、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)F的坐標(biāo).

①如何通過草圖確定平行四邊形的大致位置？

②AE除了可以成為平行四邊形的邊，有沒有可能成為對(duì)角線？

③以x軸為對(duì)角線的平行四邊形有幾個(gè)？

④以y軸為對(duì)角線的平行四邊形有幾個(gè)？

⑤點(diǎn)F、G的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別有什么關(guān)系？

⑥求出的點(diǎn)F、G的坐標(biāo)是否需要取舍？

（17）P為拋物線上一點(diǎn)，PM∥AC交x軸于點(diǎn)M，若四邊形PMAC為等腰梯形，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

①如何通過草圖確定M、P兩點(diǎn)的大致位置？

②如何將等腰梯形的特殊性質(zhì)表示成線段關(guān)系？

③依此可以聯(lián)想到怎樣的輔助線？

④如何將線段關(guān)系轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)軸上的數(shù)量關(guān)系？

⑤如何將這個(gè)數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系？

⑥如何將坐標(biāo)關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程？

⑦求解方程后，怎樣確定點(diǎn)P的坐標(biāo)？

（18）過點(diǎn)C作CB′∥x軸交拋物線于點(diǎn)B′，點(diǎn)P從點(diǎn)B′出發(fā)，以0.1個(gè)單位/秒的速度沿線段B′C向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，以相同的速度沿線段OB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則t為何值時(shí)，四邊形BB′PQ為等腰梯形？

①怎么求點(diǎn)B′的坐標(biāo)？

②如何利用草圖確定P、Q兩點(diǎn)的大致位置？

③怎樣用含t的代數(shù)式表示相關(guān)線段的長度？

④等腰梯形的哪些性質(zhì)可以轉(zhuǎn)化成與上述線段相關(guān)的幾何條件？

⑤這個(gè)幾何條件怎么用含t的等式表示？

⑥求出的t是否需要取舍？

（19）將函數(shù)圖像沿y軸翻折后，與原圖像合起來，構(gòu)成一個(gè)新函數(shù)的圖象.若直線y=x+m與新圖像有四個(gè)公共點(diǎn)，求m的取值范圍.

①原拋物線沿y軸翻折后的草圖經(jīng)過哪些特殊點(diǎn)？

②與直線y=x平行的直線何時(shí)與新圖像有且只有一個(gè)公共點(diǎn)？

③這個(gè)臨界狀態(tài)如何用代數(shù)方式呈現(xiàn)？

④與直線y=x平行的直線何時(shí)與新圖像有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)？

⑤這個(gè)臨界狀態(tài)如何用代數(shù)方式呈現(xiàn)？

⑥與直線y=x平行的直線何時(shí)與新圖像有且只有一個(gè)公共點(diǎn)？

⑦這個(gè)臨界狀態(tài)如何用代數(shù)方式呈現(xiàn)？

⑧這三個(gè)臨界狀態(tài)聯(lián)立方程組得到的m的值能否確定最終m的取值范圍？

三、結(jié)語

一題多問除了對(duì)學(xué)生有鞏固基礎(chǔ)知識(shí)、訓(xùn)練基本技能、滲透知識(shí)框架、提升解題能力的作用，對(duì)教師也可以起到清晰剖析知識(shí)點(diǎn)、技巧、方法，提高課堂效率的作用.

經(jīng)常做一題多問訓(xùn)練，有利于培養(yǎng)基礎(chǔ)學(xué)生思路的邏輯性和嚴(yán)密性，有利于培養(yǎng)中檔學(xué)生思維的發(fā)散性、創(chuàng)新性和對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的遷移能力；輔助教師剖析知識(shí)點(diǎn)和技巧、方法，提高課堂效率；分析學(xué)生能力瓶頸，找準(zhǔn)患處，強(qiáng)化提高學(xué)生解決實(shí)際問題和應(yīng)變的能力等，是適用于初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的好方法.

當(dāng)然，這樣的素材需要數(shù)學(xué)教師不斷挖掘整理，形成對(duì)日常教學(xué)和中考復(fù)習(xí)的訓(xùn)練體系，再加之實(shí)施過程中的持之以恒，必將讓數(shù)學(xué)教學(xué)真正實(shí)現(xiàn)“人人都能獲得需要的數(shù)學(xué)，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”.