數(shù)學悖論發(fā)展概述

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(北京市第八中學)

一、引言

悖論也叫逆論和反論，指自相矛盾的荒謬結論。悖論是一個與數(shù)學物理等自然科學以及哲學、語言學息息相關的論題，對數(shù)學史的推進和發(fā)展起到了重要的作用。悖論主要有三種形式：第一種叫做佯謬，指的是某論斷貌似一定是錯誤的，其實是正確的；第二種叫似是而非的悖論，指的是某種論斷貌似一定是正確的，實際上是錯誤的；第三種叫做邏輯悖論，是指前提沒有明顯錯誤的情況下，經(jīng)過一系列看似正確的推理，得出了兩個完全相反的結論。本文將對數(shù)學悖論的歷史、經(jīng)典的數(shù)學悖論及數(shù)學悖論的影響進行簡要介紹。

二、數(shù)學悖論的歷史

第一次數(shù)學危機與畢達哥拉斯悖論有著密不可分的聯(lián)系。畢達哥拉斯悖論產(chǎn)生的時代，數(shù)系正在從自然數(shù)向有理數(shù)進行擴充。當時的人們認為，所有數(shù)都可以由有理數(shù)來表示，即表示為兩個整數(shù)的比值，但希帕索斯卻發(fā)現(xiàn)了“等腰直角三角形的直角邊和斜邊不可公度”的悖論。相傳希帕索斯在船上劃出了一個邊長為1的等腰直角三角形，而被畢達哥拉斯派的人扔進海里。正是這個發(fā)現(xiàn)引起了數(shù)學思想的巨大變革，數(shù)學史上將其稱為“第一次數(shù)學危機”。此后，越來越多的悖論相繼被提出，人類的數(shù)學思想因此也更進一步。

三、經(jīng)典的數(shù)學悖論

1.說謊者悖論

說謊者悖論最早被提出是在公元前六世紀。在一個叫做克里特島的地方，有一面墻上寫著一句話“寫在這面墻上的話是假的”，這是這面墻上的唯一一句話。我們不妨設這句話所敘述的命題為Q，當人們對這句話的真假進行判斷時就會陷入矛盾：如果Q為真，則墻上的這句話是真話，與話中“墻上的話是假的”矛盾；如果Q為假，則墻上的是假話，話中“墻上的話是假話”則是真話，也同樣存在矛盾。以上便是說謊者悖論的完整內容。說謊者悖論中，“在這面墻上的話”來指代“這面墻上寫的話是假的”是“以部分指代整體”，所以這種因部分的真實存在而違背了整體存在的辯證規(guī)律是由于主觀虛構與思維混亂造成的，因為上述的辯證規(guī)律必須以客觀存在為根據(jù)。說謊者悖論事實上是人類的認識發(fā)展到某一個層次后，對自己的語言進行的一種檢討思索，在世界各地古代的各種不同的書籍中也都有關于說謊者悖論的記載。中國的墨子曾說過一句話，大意是：若一句話為真話是成立的，那么這句話為真話也是假的。由此可見，說謊者悖論所涉及的語言問題是每一個民族在發(fā)展過程中都要經(jīng)歷的一個反思過程。

2.羅素悖論

在20世紀初，科學界都沉浸在一片寧靜祥和中，當時的數(shù)學家普遍認為科學大廈已經(jīng)基本建成，剩下的科學家只能對大廈進行一些點綴和修補。法國大數(shù)學家彭加萊更是曾公開宣稱：數(shù)學的嚴格性已經(jīng)實現(xiàn)了，然而時隔不到兩年，羅素悖論的發(fā)現(xiàn)就結束了大家的美夢。羅素悖論是世界上最著名的悖論之一，它是由羅素在1902年提出的，是由羅素發(fā)現(xiàn)的一個集合論悖論。

羅素在解決集合論問題時將集合分為兩種：第一種是自身元素的集合，第二種集合為不是自身元素的集合。接下來，假設S是由一切不屬于自身的集合所組成，即“S={x∣x ∈S}”。則S是否包含于S？如果假設S包含于S，則不符合題中x ∈S，所以S包含于S不成立；假設S不包含于S，于是就符合x ∈S，可推出S包含于S，但因為假設中S不包含于S，與S包含于S矛盾，所以假設也不成立。在悖論提出后，人們紛紛尋找著解決的辦法，有些人希望對康托爾的集合論進行改造，通過對集合添加限制而排除悖論，但這需要建立新的規(guī)則，并且規(guī)則必須足夠嚴格才能保證排除所有矛盾，但同時規(guī)則又必須盡可能廣闊，才能令康托爾集合論原來的內容盡可能的留下來。1908年，策梅洛提出了第一個公理化集合論體系，在很大程度上彌補了集合論所體現(xiàn)出的漏洞，從而較為成功的解決了人類數(shù)學史的第三次危機。同時，羅素悖論的提出也促使人們開始再次研究基礎數(shù)學。

羅素悖論是如何被解決的呢？在研究的初級階段，人們將羅素悖論認為是整體與部分的關系，部分學者認為羅素悖論混淆了整體與部分之間的關系，但在不斷的研究中發(fā)現(xiàn)這種解釋無法接近羅素悖論的實質，原因有以下幾點：其一，如果羅素悖論可以認為是整體和部分之間關系的混淆，則可以用不矛盾律來進行排除，但事實上人們無法用不矛盾律排除這種可能性；其二，如果在康托爾集合論中出現(xiàn)邏輯矛盾，康托爾集合論體系應該可以自己解決，這種現(xiàn)象也同樣適用于各種體系，但悖論卻有不同，在集合論體系內出現(xiàn)的悖論在該集合論體系中是無法理解的，體系本身更無法合理的進行解釋；其三，悖論在形式上與邏輯矛盾也有不同。悖論的含義是在某個知識體系出現(xiàn)一個命題Q時，由Q可以推導出非實際情況，而出現(xiàn)非Q命題時，Q可以由非Q推導出。而邏輯矛盾的形式意義是某一個知識系統(tǒng)里獨立的出現(xiàn)Q和非Q兩個命題，所謂獨立是指Q和非Q兩個命題是根據(jù)這個知識系統(tǒng)的不同的部分推出的互斥命題，Q不是從非Q推出的，非Q也不是從Q推出的。因此從形式上來看，悖論與邏輯矛盾也不能畫上等號。

羅素悖論的實質在于，它把康托爾集合論的知識發(fā)展到了集合論的有效領域外，在有效領域外羅素提出了他的悖論?？低袪柤险摰闹饕碚摶A是概括公理與外延公理。因此，康托爾公理具有了以下基本特征：其一是選集的任意性，即在一定的條件下一定會存在一個集合；其二是對于任意的條件，集合都是相互不同的，這說明集合論只對世界上界限分明的物體有效，而對那些似是非是的物體無效。羅素悖論的提出，促使人們對集合論進行了進一步的研究，引起了人們對數(shù)學基礎理論的重視，所以被人們傳頌，成為了世界上最有名的悖論之一。

四、悖論的影響

每一個悖論的提出都會引起人們對于已有觀念的反思甚至重建，使人們重視起原來被忽視的一些問題，這就是悖論的意義。例如，畢達哥拉斯悖論的出現(xiàn)使人們意識到：當時的數(shù)系并不足以表示他們所能接觸到的所有數(shù)字，所以出現(xiàn)了第一次數(shù)學危機，也借此對已有數(shù)系進行了擴充；說謊者悖論的提出，讓人們意識到了語言系統(tǒng)還存在一些小的瑕疵，產(chǎn)生了邏輯矛盾的情況，促進了人們對于語言的完善豐富；羅素悖論的提出則使人發(fā)現(xiàn)集合論的有效范圍是有限的，才讓后人改進形成了可拓集合論，而其他諸如量子悖論等著名的悖論也都在不同的領域發(fā)揮了作用。人們在發(fā)現(xiàn)矛盾之后，從問題的本質出發(fā)，思考悖論在邏輯的本質上存在的矛盾，建立新的體系或者是在原有的體系上進行完善來避免這些矛盾的產(chǎn)生，從而使得體系變得更加完善，這就是悖論對于自然科學和哲學的影響。

五、總結

任何一個學科的發(fā)展歷程都不是一帆風順的，悖論就是一種促進學科發(fā)展的方式，雖然這種發(fā)展方式不太平穩(wěn)，但是總能引起人們對于當時一些根深蒂固思想的革新。由于悖論可能導致人們對一些重要或是十分基礎的理論做出懷疑，所以可能會引發(fā)人們的慌亂，但是在解決悖論的過程中，知識體系的擴充會給學術界帶來新的知識與新的力量，在給人們帶來慌亂之后，也給人們帶來新的曙光。