張 昆
(淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽 淮北 235000)
我們可以將數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗界定為,數(shù)學(xué)教師通過親身數(shù)學(xué)教學(xué)活動,經(jīng)歷或體驗關(guān)于某個知識點的教學(xué)預(yù)設(shè)、預(yù)設(shè)的實施,并依據(jù)學(xué)生發(fā)生關(guān)于這個知識點認(rèn)識時萌生的心理活動需要,在實施過程中進(jìn)行相關(guān)的調(diào)整,所留存于教師心智中的教學(xué)觀念、教學(xué)技能、教學(xué)能力等要素稱為數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗。簡單地說,數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗就是通過教學(xué)活動過程在大腦中留下的經(jīng)歷或體驗,因此,數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗就具有一種從無到有、從少到多的不斷積累的過程。
在數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中,經(jīng)常會出現(xiàn)這樣的問題,為什么那些知名的數(shù)學(xué)教育家會指導(dǎo)普通教師如何上好課,而自己卻不能將一個具體的數(shù)學(xué)知識點講得風(fēng)生水起、生機勃勃呢?為什么普通一線數(shù)學(xué)教師有時可以將一個具體數(shù)學(xué)知識點講得活潑有致、合適得體呢?這是因為,數(shù)學(xué)教育家沒有講授某個具體數(shù)學(xué)知識點的數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗;相反,普通一線數(shù)學(xué)教師卻具有處理好某些具體的數(shù)學(xué)知識點的教學(xué)經(jīng)驗。弗賴登塔爾說:“大多數(shù)教育家將他們的哲學(xué)系統(tǒng)地闡述為對于具體教師的各種要求。他們習(xí)慣于告訴其他人應(yīng)該如何教。其中的有些教育家可能也演示一下,應(yīng)該怎么做,但卻是淺嘗輒止。這就形成了數(shù)學(xué)教學(xué)活動中的教條主義?!盵1]這是對于數(shù)學(xué)教育家與普通數(shù)學(xué)教師之間的現(xiàn)實差別的準(zhǔn)確概括,也說明了數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗在數(shù)學(xué)教師教學(xué)專業(yè)成長中的重要作用。
筆者從長期的數(shù)學(xué)教學(xué)活動中認(rèn)識到,關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗可以具體體現(xiàn)于如下幾個關(guān)鍵性維度:其一,關(guān)于教材分析的經(jīng)驗,教材分析最為重要,因為教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)起點、教學(xué)流程等的設(shè)計,教學(xué)媒體的選擇,無不源于教學(xué)分析;其二,教學(xué)重難點的把握與在教學(xué)中的處理;其三,感覺到學(xué)生在某個具體知識環(huán)節(jié)認(rèn)識時會出現(xiàn)某些具體的疑難;其四,知道使用什么問題與什么樣的方式提問具有不同個性信息的學(xué)生;其五,選擇合適恰當(dāng)?shù)睦觼眢w現(xiàn)具體的教學(xué)內(nèi)容;其六,選擇哪些例題與習(xí)題鞏固具體的教學(xué)內(nèi)容;其七,選擇將某個知識點在教學(xué)中的某些關(guān)鍵性環(huán)節(jié)寫到黑板上;其八,針對某種數(shù)學(xué)命題的特點評價學(xué)生時能夠估計到某個學(xué)生可以考出多少分,整個班級集體考試的平均分;等等。
數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗是教師對于數(shù)學(xué)教學(xué)的體驗與經(jīng)驗以后,留存于心智之中的某些要素,這些要素通過經(jīng)驗的自組織活動,構(gòu)成了數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗系統(tǒng)。[2]由于有的體驗可以進(jìn)行描述從而能夠傳達(dá)于他人;有的體驗屬于個體默會性的而不能傳達(dá)于他人。因此決定了數(shù)學(xué)教師積累數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗就需要從以下幾個方面入手:其一,關(guān)于可傳達(dá)性的經(jīng)驗,需要數(shù)學(xué)教師閱讀優(yōu)秀教師的作品,從字里行間直接地吸收數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗;其二,對于默會的知識,數(shù)學(xué)教師應(yīng)該對于任何一個所要施教的知識點,都要認(rèn)真地思考;其三,盡可能地去現(xiàn)場觀摩相關(guān)優(yōu)秀教師的數(shù)學(xué)課,參加數(shù)學(xué)教研活動;其四,應(yīng)該對自己與他人的教學(xué)行為進(jìn)行反思,從中逐漸地領(lǐng)悟與體驗,形成自己個性化的數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗。
一般地說,通過上述分析,得到了主要的八個維度的數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗,又可以將八個維度的數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗概括為三個重要方面,即程序性數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗、策略性數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗與遷移性數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗,這三種不同類型的數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗在數(shù)學(xué)教師的專業(yè)成長中起著非常重要的作用。
數(shù)學(xué)教師在教學(xué)準(zhǔn)備或課堂教學(xué)活動中,常常需要按照某種程序組織材料,這些程序性的知識往往主要是從數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗中獲致的。例如在進(jìn)行一個數(shù)學(xué)知識點的預(yù)設(shè)時,一般程序是:其一,教材分析,找出這個具體知識點在整個這類知識結(jié)構(gòu)鏈條中所處的環(huán)節(jié)節(jié)點,這個知識點自身所蘊含的特點等;其二,學(xué)情分析,針對教材分析所得到的結(jié)論,揣摩學(xué)生發(fā)生具有這種知識特點認(rèn)識時的心理活動環(huán)節(jié);其三,基于教材分析與學(xué)情分析的結(jié)論,預(yù)設(shè)關(guān)于這個知識點的教學(xué)目標(biāo);其四,基于前三項分析,選擇教學(xué)手段,設(shè)計教學(xué)流程。這是關(guān)于每一個數(shù)學(xué)知識點教學(xué)都需要且不可逾越的程序性工作。
又如,在教學(xué)預(yù)設(shè)進(jìn)入課堂教學(xué)流程時,又可以依據(jù)一種一般性程序:其一,復(fù)習(xí)舊知,主要依據(jù)最近發(fā)展區(qū)策略,這種策略的使用重在講究舊知與新知之間的關(guān)系,舊知構(gòu)成了學(xué)生在這節(jié)課中學(xué)習(xí)新知的這個“最近發(fā)展區(qū)”的“根據(jù)地”(詳見下文課例的說明);其二,引入新知,最好的手段是提出一個“初始問題”,由這個“初始問題”與舊知的“根據(jù)地”相結(jié)合,從而產(chǎn)生新知;其三,鞏固新知,使用例題與習(xí)題指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用新知,促使新知在學(xué)生的認(rèn)識結(jié)構(gòu)中得以鞏固;其四,課堂小結(jié),幫助學(xué)生梳理新知與舊知的關(guān)系,從而將新知納入學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu);其五,布置課外作業(yè)。這個過程的要素是次第發(fā)生的,構(gòu)成一個完整的教學(xué)活動流程。
再如,如果我們將數(shù)學(xué)知識分為三類:其一,概念性知識;其二,原理性知識;其三,數(shù)學(xué)問題解決性知識。那么,關(guān)于原理性知識的教學(xué)活動又可以分為三個關(guān)鍵性的環(huán)節(jié):其一,原理性知識的命題的發(fā)現(xiàn)環(huán)節(jié),在這個環(huán)節(jié)中又可以分為幾個要素,首先是提出一個合適的“初始問題”,其次是引入新的數(shù)學(xué)觀念探究“初始問題”,形成一個猜想性的命題;其二,關(guān)于這個猜想性命題的證明環(huán)節(jié),從而得到這個原理性知識;其三,應(yīng)用這個原理性知識解決問題的環(huán)節(jié)。必須經(jīng)由這三個環(huán)節(jié)過程,才能最大限度地發(fā)揮數(shù)學(xué)原理性知識的教學(xué)價值。
上述所分析、傳達(dá)的只是筆者經(jīng)由長期教學(xué)經(jīng)驗所積累的程序性知識的幾個例子,在教師默會性的教學(xué)經(jīng)驗中,還存在著許多關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)的程序性知識。那么,如何積累這些程序的數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗?zāi)??關(guān)于積累這些數(shù)學(xué)教學(xué)的程序性知識,當(dāng)然它需要經(jīng)由數(shù)學(xué)教師的學(xué)習(xí)加以掌握,但更重要的是依靠數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗的積累而得到。因此,這是一線數(shù)學(xué)教師為了發(fā)展自己的教學(xué)技藝,不斷地從實踐中摸索、設(shè)想與對猜想的檢驗并著重加以反思,從而形成并不斷地優(yōu)化這些程序性的教學(xué)經(jīng)驗,進(jìn)而通過教學(xué)準(zhǔn)備與教學(xué)活動的流程,最大限度地實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識所內(nèi)蘊的教學(xué)價值,實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的教學(xué)目標(biāo),如此,利用教師積累起來的程序性教學(xué)經(jīng)驗為數(shù)學(xué)課程資源促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展創(chuàng)造了條件。
我們可以將教學(xué)設(shè)計策略界定為在教學(xué)目標(biāo)確定以后,根據(jù)已定的教學(xué)任務(wù)和學(xué)生學(xué)習(xí)這個任務(wù)時的心理特征與心理傾向性等發(fā)生認(rèn)識作用的特點,有針對性地選擇與組合相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)組織形式、教學(xué)方法和技術(shù),形成具有效率意義的特定教學(xué)方案與執(zhí)行此方案的行動方針與行為方式。數(shù)學(xué)教學(xué)策略的選擇行為不是教師主觀隨意的,而是指向一定目標(biāo)的。業(yè)已作出的選擇行為在具體的情境中會遇到意外的偶然事件,為了達(dá)到特定的目標(biāo),教師個體需要對選擇行為進(jìn)行反省,繼而作出再選擇,直到達(dá)到設(shè)定好的教學(xué)目標(biāo)為止。
數(shù)學(xué)教學(xué)策略的具體形式很多,它也可以分為使用語言文字傳達(dá)的教學(xué)策略與不能使用語言文字表達(dá)的默會性教學(xué)策略。關(guān)于可以使用文字語言傳達(dá)的主要具體策略有:創(chuàng)設(shè)問題情境策略、先行組織者策略、最近發(fā)展區(qū)策略與懸置問題結(jié)論策略,等等。不論對于可以表達(dá)的數(shù)學(xué)教學(xué)策略,還是默會的數(shù)學(xué)教學(xué)策略,數(shù)學(xué)教師形成這兩種(特別是默會的)教學(xué)策略的心理過程,主要是通過數(shù)學(xué)教學(xué)策略性經(jīng)驗積累實現(xiàn)的。需要教師認(rèn)真地進(jìn)行教材分析,發(fā)現(xiàn)具體數(shù)學(xué)知識點所蘊含的具體特點,從而確定學(xué)生發(fā)生具有如此特點的數(shù)學(xué)知識點認(rèn)識的心理活動過程,選擇具體教學(xué)策略來駕馭具有這種特點的知識點與學(xué)生發(fā)生認(rèn)識的心理活動特點,從而形成有效的課堂教學(xué)活動。
對于可以傳達(dá)的教學(xué)策略,積累策略性教學(xué)經(jīng)驗的過程大致要經(jīng)歷:其一,策略的萌生,針對具體知識點的特點與學(xué)生發(fā)生這種具體特點的數(shù)學(xué)知識點的心理活動特點,在教學(xué)預(yù)設(shè)中極具針對性地萌生相關(guān)的教學(xué)策略;其二,策略的優(yōu)化,將這種萌生的具體教學(xué)策略在具體的課堂教學(xué)活動中加以檢驗、修正與優(yōu)化,并且盡可能地內(nèi)化到教師的意識結(jié)構(gòu)中去;其三,策略的定型,將優(yōu)化好了的教學(xué)策略加以語言表述,從而進(jìn)入教師的智囊,為這種教學(xué)策略的遷移奠定基礎(chǔ)。對于難以表達(dá)的教學(xué)策略,也需要一個這樣的積累過程,才能自覺遷移到教師自己將來的教學(xué)活動中去。
為了探討積累策略性數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗的實踐過程,這里筆者使用“兩角差的余弦公式”,即cos(αβ)=cosαcosβ+sinαsinβ這個知識點,在教學(xué)準(zhǔn)備工作中,運用“最近發(fā)展區(qū)”這種可以表述的數(shù)學(xué)教學(xué)策略為例,說明數(shù)學(xué)教師通過教學(xué)準(zhǔn)備活動及其體驗過程,積累策略性數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗的途徑。首先實錄筆者關(guān)于這個知識點的課堂教學(xué)活動關(guān)鍵環(huán)節(jié)(其中的省略號表示學(xué)生思維在這個地方產(chǎn)生中斷):
師(選擇“最近發(fā)展區(qū)”策略,進(jìn)行相關(guān)前在數(shù)學(xué)知識的復(fù)習(xí))cosβ②;cosβ④。大家從這四個誘導(dǎo)公式中,可以提出某些一般性問題嗎?
設(shè)計意圖:這個公式⑤就是前述的四個誘導(dǎo)公式的“最近發(fā)展區(qū)”,而前述四個誘導(dǎo)公式就是公式⑤的“根據(jù)地”?!白罱l(fā)展區(qū)”策略的實現(xiàn),重在使用數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)性。這是筆者通過啟發(fā)學(xué)生自己的審視信息,從中提出“結(jié)構(gòu)性初始問題”的手段,這比筆者自己直接地向?qū)W生提出“初始問題”的教學(xué)途徑要好得多,因為,學(xué)生特別關(guān)注自己所提出的問題在課堂學(xué)習(xí)過程中的實現(xiàn)過程,將會全神貫注地跟蹤解決這個問題的過程。
師:那么,關(guān)于cos(α-β)⑤,可能存在一個怎樣的表達(dá)式呢?
生:……
師:大家仔細(xì)考察前述的誘導(dǎo)公式①②③④與所要求的表達(dá)式⑤具有怎樣的關(guān)系?
生2:可以說明表達(dá)式⑤的結(jié)構(gòu)中一定含有s inβ與cos β這樣的兩個元素。
師:我也是這樣想的。那么,除了含有s inβ與cos β外,表達(dá)式⑤的結(jié)構(gòu)中還可能含有其他元素嗎?
生3:應(yīng)該還含有s inα與cos α這樣的兩個元素。
師:為什么?
生 4:因為,在⑤式中,由于 cos(α -β)=cos [ -(β-α)=cos(β-α)]從而,知α與β具有對等性,于是,只要取,就一定可以得到生3所獲得的相似結(jié)果,只不過將這些結(jié)果中的α換成了β。
師:好!由此分析發(fā)現(xiàn),在表達(dá)式⑤的結(jié)構(gòu)中,一定包含有s inα,cos α,s inβ與cos β這些形式的元素。我們現(xiàn)在考察,它們可能構(gòu)成怎樣的一種運算結(jié)構(gòu)形式呢?
生5:我經(jīng)過賦值法發(fā)現(xiàn),這四者完全相加或相乘都不行,同時,它們之間不可能形成相除的結(jié)果,因此,它的運算結(jié)構(gòu)應(yīng)該是其中的部分元素相乘,然后,將相乘的結(jié)果再相加。
師:你說的我還不大明白,哪個同學(xué)可否更加具體地解釋一下?
生6:我首先注意研究①式,如果上面討論的結(jié)果正確的話,那么,就知道的表達(dá)式中也應(yīng)該含有,s in β,cos這樣的四個元素的一種組合,而s inβ①就意味著……
師:生6果然驗證了生7的發(fā)現(xiàn)是正確的,完全相加或相乘,在其結(jié)論的組成結(jié)構(gòu)要素中,要么結(jié)論是0,要么必然出現(xiàn)1作為它的一項,都不是s inβ這樣的結(jié)果。現(xiàn)在的問題是,由①式知,需要探討的是s inβ,cos β,1與0這四個元素經(jīng)過怎樣的組合形成了s inβ這樣的結(jié)論?
生8:我對①式進(jìn)行探查,發(fā)現(xiàn)cos(π-β)=cos π cos β +s in π s in β⑦也是應(yīng)該成立的。
師:這些都說明了什么?
生9:將⑥⑦兩個式子一般化,就可以得到cos(α -β )=cos α cos β +s in α s in β⑧。
師:式子⑧是正確的嗎?(轉(zhuǎn)入證明過程略)
這種采用“最近發(fā)展區(qū)”策略的實現(xiàn),筆者從中體驗到了這種策略性數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗,它的要點就是充分利用數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)性(這種結(jié)構(gòu)性從現(xiàn)象上往往是難以發(fā)現(xiàn)的,它要求教師對于知識結(jié)構(gòu)所存有的環(huán)節(jié)進(jìn)行細(xì)心的研磨與考察,才有可能認(rèn)識到),尋獲體現(xiàn)這種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)具體環(huán)節(jié)的教學(xué)素材,啟發(fā)(至少是教學(xué)自己向)學(xué)生提出“結(jié)構(gòu)性初始問題”。[3]這個“初始問題”就大致地規(guī)劃好了這節(jié)課的基調(diào)及其思維運動的軌跡。筆者經(jīng)歷了萌生運用這種“最近發(fā)展區(qū)”策略的體驗,這整個的策略過程就作為經(jīng)驗持存于自己的意識結(jié)構(gòu),在將來處理相關(guān)的數(shù)學(xué)知識點的教學(xué)時,就會自覺或不自覺地考慮使用這一策略,這就是策略性數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗的積累。
學(xué)習(xí)中的遷移是一個心理學(xué)的概念,它指的是一種材料的學(xué)習(xí)活動對另一種材料的學(xué)習(xí)活動的影響,或從一種學(xué)科內(nèi)容習(xí)得時所獲致的經(jīng)驗對完成其他學(xué)科內(nèi)容活動經(jīng)驗的影響。筆者于1983年中師畢業(yè)后主要從事小學(xué)語文教學(xué)對于教學(xué)經(jīng)驗的遷移及其作用具有切身體驗。在學(xué)習(xí)語文教學(xué)活動中,第一要務(wù)就是學(xué)習(xí)透過小學(xué)生的語文現(xiàn)實理解語文的教學(xué)素材,在教學(xué)時,要求換成兒童的語言才能很好地實現(xiàn)語文教學(xué)的有效性,這練就了筆者與十歲左右的兒童進(jìn)行“心理換位”的能力,形成了教學(xué)經(jīng)驗。[4]在進(jìn)入初中數(shù)學(xué)教學(xué)時,這種能力與經(jīng)驗很好地遷移了過來,為理解初中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理活動奠定了非常好的基礎(chǔ)。
進(jìn)入初中進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)活動時,筆者花了大量的時間進(jìn)行相關(guān)的閱讀。首先,窺破了“發(fā)現(xiàn)法”教學(xué)的環(huán)節(jié)及其形成的途徑;其次,掌握了“結(jié)構(gòu)教學(xué)法”的結(jié)構(gòu);再次,習(xí)得了一系列的教學(xué)(如本文所提到的這些比較重要的)策略。這些都作為經(jīng)驗進(jìn)入了筆者的智囊。進(jìn)入高中數(shù)學(xué)教學(xué)時,雖然筆者在做學(xué)生的時候?qū)@些高中數(shù)學(xué)知識點還幾乎沒有學(xué)習(xí)過,但是卻信心滿滿地相信自己一定能夠勝任高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作。這就是因為自己所積累起來的那些教學(xué)經(jīng)驗是可以遷移的,從而認(rèn)識到,只要研究好高中數(shù)學(xué)知識點,教學(xué)活動是不存在問題的,使從初中數(shù)學(xué)教師向高中數(shù)學(xué)教師的過渡水到渠成。
兩年小學(xué)語文教學(xué)活動經(jīng)驗起到了特別重要的作用,使筆者認(rèn)識到將教師的語言兒童化,從而適應(yīng)年幼學(xué)生的認(rèn)知方式與話語水平組織教學(xué)活動非常重要。這種歷練,生成了有價值的教學(xué)觀念,為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)積累了有益的經(jīng)驗,并打下了扎實的教學(xué)基本功。教學(xué)有效性的首要標(biāo)志,是教師將要傳授的知識轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于理解的語言在課堂上與學(xué)生進(jìn)行討論,只有如此,才能有效地刺激學(xué)生的思維活動,才能將思維動機聚焦于那個知識所形成的問題,才能激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣、產(chǎn)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動機,基于此,實現(xiàn)一系列的數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)。[5]
遷移性教學(xué)經(jīng)驗更多地是默會的、難于傳達(dá)的,因此,這種遷移性教學(xué)經(jīng)驗,更需要我們(不只是數(shù)學(xué))教師自己在進(jìn)行教學(xué)準(zhǔn)備或?qū)?zhǔn)備的內(nèi)容在課堂教學(xué)中實施時,去揣摩、去體會,從現(xiàn)場中去吸收,融入自己的教學(xué)經(jīng)驗系統(tǒng),通過數(shù)學(xué)教師自己的反思活動,這種經(jīng)驗系統(tǒng)地為遷移到新的教學(xué)環(huán)境中去創(chuàng)造好了條件。
數(shù)學(xué)教師教學(xué)專業(yè)成長需要汲取各個方面的營養(yǎng),這些營養(yǎng)的來源不外乎兩個重要途徑:其一,理論學(xué)習(xí),從而接受時代優(yōu)勢的教學(xué)理念;其二,創(chuàng)新實踐,將理論學(xué)習(xí)所獲致的教學(xué)理念運用于自己的教學(xué)實踐,從中形成教學(xué)經(jīng)驗。數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗包括數(shù)學(xué)教育教學(xué)活動的方方面面,可以說是一切經(jīng)歷與體驗的總和,其中有些是可以表述的,有些是默會的,可表達(dá)的能夠通過閱讀或聽講加以吸收,默會的一定要通過身教,即多聽具有豐富數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗的老師的課加以體會吸收。這是提高數(shù)學(xué)教師教學(xué)水平繞不過去的途徑,是數(shù)學(xué)教師專業(yè)成長中非常重要的一個環(huán)節(jié)?!?/p>