數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計的新視角
——以“國培計劃”安徽省初中數(shù)學(xué)骨干教師培訓(xùn)為例

張 昆

（淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000）

音樂人常常會發(fā)出這樣的疑問：有同樣的樂譜，也有非常相似的（或者就是用一個）樂器，為什么不同的演奏者會演奏出不同的音樂呢？與此相類比的問題是，對于數(shù)學(xué)教師來說，進(jìn)入課程的數(shù)學(xué)知識一樣，數(shù)學(xué)教師在入行之前所進(jìn)行的示范受訓(xùn)也沒有多大差別，為什么不同的數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計及其課堂實施時卻出現(xiàn)不同的途徑與方法，從而相應(yīng)地產(chǎn)生了不同的教學(xué)效果呢？為此，我們從教師培訓(xùn)中的一個具體課例說起。

一、同課異構(gòu)的一個課例

借助安徽省農(nóng)村初中數(shù)學(xué)骨干教師“國培計劃”集中培訓(xùn)的機(jī)會，作為培訓(xùn)教師，研究者有意識、有計劃、有目的、有組織地仿照教科書與教師指導(dǎo)用書編制的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，向受訓(xùn)教師出示解決問題的答案，要求他們選擇教學(xué)策略與方法，先進(jìn)行教學(xué)設(shè)計（需要分析教材、分析學(xué)情、分析教學(xué)目標(biāo)、分析教學(xué)起點、分析后繼環(huán)節(jié)與選擇教學(xué)法的相關(guān)理論與理念等，這些要素的整合構(gòu)成了數(shù)學(xué)教師的教學(xué)水平），然后依據(jù)這種教學(xué)設(shè)計模擬在課堂上無生授課。

基于這段教學(xué)內(nèi)容及其規(guī)定的教學(xué)目標(biāo)，研究者對受訓(xùn)教師提出了兩項要求：其一，就這個問題進(jìn)行教學(xué)設(shè)計；其二，就你的教學(xué)設(shè)計在課堂上進(jìn)行模擬無生授課。

下面選擇三位受訓(xùn)教師的三種典型的課堂教學(xué)模擬授課活動。（下文師生對話中的省略號表示受訓(xùn)教師估計學(xué)生思維暫時中斷處。）

第一位教師（甲）的模擬授課采用的教學(xué)關(guān)鍵環(huán)節(jié)：

師：如何解決這個問題？

生：……

師：在比較兩個數(shù)的大小時，我們可以使用哪些基本方法？

生1：由于這兩個數(shù)都是正數(shù)，我們可以使用“數(shù)軸法”“作差法”與“作商法”。

師：很好！同學(xué)們使用這些方法試一試，看看可否解決問題？

（學(xué)生經(jīng)由一輪運算，沒有獲得解決問題的具體途徑。）

師：我們稱這種比較大小的方法為“倒數(shù)變換法”。今天通過這個具體的例子，我們又發(fā)現(xiàn)了比較兩個數(shù)大小的另一種方法——倒數(shù)變換法。

第二位教師（乙）的模擬授課采用的教學(xué)關(guān)鍵環(huán)節(jié)：

師：如何解決這個問題？

生：……

師：生3同學(xué)具有很好的數(shù)學(xué)問題探究能力，但是，這種推理不十分可靠，同學(xué)們還能夠提出更具說服力的證據(jù)嗎？

師：生4同學(xué)的想法很好，試圖為序列①的結(jié)論再添新證據(jù)，不過要注意的是，其一，由②③的結(jié)論不一定能導(dǎo)出新結(jié)論；其二，大家知道，這種驗證途徑進(jìn)行再多也不能保證序列①的結(jié)論隨著被開方數(shù)的增大而逐漸減小的正確性。怎么辦？大家可以想到一種很好的辦法對基于序列①而得到的結(jié)論加以證實嗎？

生：……

生5：由于序列①包含了無限多個數(shù)，這樣的話，如此一個一個地驗證就不可能徹底地解決問題。序列①可以表示成一般形式其中a 為正整數(shù)，于是，這樣考慮④的變化情況就一網(wǎng)打盡了，由于（其中，a≥0），很顯然⑤式的右邊隨著a 的增大而減小，從而生3同學(xué)構(gòu)建的序列①及其結(jié)論是正確的。

師：大家經(jīng)過合作研究解決了問題。難能可貴的是，同學(xué)們通過對這個非常具體的問題經(jīng)過（生3與生5的）一步一步探究所得的材料，上升到抽象的層面上加以解決，這是一種非常了不起的創(chuàng)建，從中一定學(xué)到了許多東西，大家現(xiàn)在議一議（提示小結(jié)，略）。

第三位教師（丙）的模擬授課采用的教學(xué)關(guān)鍵環(huán)節(jié)：

師：如何解決這個問題？

生：……

生6：我們將它轉(zhuǎn)化為有理數(shù)，通過有理化的手段來試試看，由于又 因 為于是，由⑥⑦⑧可以得到

生7：說明使用求倒數(shù)的方法比較兩個數(shù)的大小。

師：好。我們姑且給這種方法起一個名字：倒數(shù)變換法。

這里我們比較詳盡地展示了這三位數(shù)學(xué)教師的教學(xué)設(shè)計及其課堂實施全過程，從中我們可以找到這三種教學(xué)途徑具有怎樣的關(guān)系嗎？

二、不同教學(xué)設(shè)計及其課堂實施所實現(xiàn)的目標(biāo)分析

整個探究解決這個問題所獲得的基礎(chǔ)解題環(huán)節(jié)，就是教師乙的教學(xué)設(shè)計及其課堂實施啟發(fā)了生3所表達(dá)出來的，它是根據(jù)比較大小，從關(guān)于這兩個無理數(shù)所具有的特征（被開方數(shù)的差都是3）出發(fā)的。具體思維活動過程是，學(xué)生首先使用了類比與特例法（取比較的大小比較），發(fā)現(xiàn)由此而使用合情推理，得出序列它們的數(shù)值是隨著被開方數(shù)的增大而逐漸減小的。由此可以認(rèn)識到，生3的想法是啟動思維的最初源頭，后來，生4的驗證只是這個序列①的一個特例而已，因此，沒有提供創(chuàng)新的想法，似乎意義不大，但為生5萌生抽象的方法解決問題提供了心理上的跳板，因此，教師乙向其他同學(xué)推介這種想法還是具有價值的。

從序列①與生4想要更多驗證想法的綜合過渡到生5，從中也看到了教師乙的教學(xué)設(shè)計及其課堂實施的功夫與高超水平，對于序列①所提出的個別驗證永無止境，生5 的想法恰恰就是想將這個序列①中每相鄰的兩項之間都驗證完，導(dǎo)致了必然要從抽象的層面進(jìn)行研究，從而一網(wǎng)打盡。這一想法特別重要，于是，生5 由序列①與生4 想法的啟導(dǎo)，將這個序列中的具體數(shù)字通過抽象性的表達(dá)，構(gòu)造出了表達(dá)式進(jìn)而在將無理數(shù)大小比較轉(zhuǎn)化為有理數(shù)大小比較的策略下，通過“分子有理化”得到了等式⑤，它將序列①所猜想的結(jié)論轉(zhuǎn)化為可靠的結(jié)論，使問題得以徹底解決。因此，教師乙的這種教學(xué)途徑，展示了解決這道題完整的心理活動過程，符合當(dāng)代數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)勢理念。

如此教學(xué)設(shè)計及其課堂實施，教師乙利用生3在課堂上生成的想法，通過精心鋪墊，成功地營造了促使學(xué)生將自己的心智能量聚焦于萌生“畢其功于一役”，從而徹底解決問題的數(shù)學(xué)觀念，這構(gòu)成了學(xué)生欲罷不能的心理探究活動，想方設(shè)法地在智囊中搜尋如何從具體的現(xiàn)象上解決問題過渡到從抽象的本質(zhì)上解決問題的途徑。教師乙的這種教學(xué)設(shè)計及其課堂實施的高明之處，就是通過自己的課堂行為，在這個地方找到了方法，將學(xué)生的思維活動聚焦于這么一個問題點上，由于此處學(xué)生所要思考的材料與環(huán)節(jié)目標(biāo)清晰、方向明確，致使學(xué)生形成了強(qiáng)烈的心理內(nèi)驅(qū)力，此處，可以使用課堂布白的教學(xué)技術(shù)，給學(xué)生時間，相信學(xué)生一定可以實現(xiàn)從具體到抽象、從現(xiàn)象到本質(zhì)的過程，萌生出相應(yīng)的方法，解決這個問題。從課堂上師生活動過程來看，教師乙很好地實現(xiàn)了這樣的目的。具體體現(xiàn)在以下兩個方面：

其一，促使學(xué)生認(rèn)識到“具體”與“抽象”、“現(xiàn)象”與“本質(zhì)”這兩對辯證范疇在一定的條件（對于教師教學(xué)設(shè)計及其課堂實施來說，通過鋪墊、渲染或烘托，營造出學(xué)生可以理解的條件非常重要）下是可以轉(zhuǎn)化的，在探究數(shù)學(xué)問題時，這種轉(zhuǎn)化是特別有價值的。通過教師乙的課堂實施活動，學(xué)生能夠自覺地形成這樣的數(shù)學(xué)觀念：對于特別具體的數(shù)學(xué)化信息，可能需要轉(zhuǎn)化為抽象的結(jié)果來幫助解決問題；反之，對于比較抽象的數(shù)學(xué)化信息，往往需要選擇一個具體的特例來投石問路，仔細(xì)地把這種具體的特例研究清楚了，就有可能為這種形式上抽象的數(shù)學(xué)化信息問題提供可資借鑒的思路。

要實現(xiàn)這種辯證法（范疇的互相轉(zhuǎn)化）層面上的教學(xué)目標(biāo)，其實是對我們數(shù)學(xué)教師提出了非常高的教學(xué)要求，數(shù)學(xué)教師只有深入分析數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的特點與學(xué)生發(fā)生具有如此特點的數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的心理活動過程，才能體會與理解數(shù)學(xué)知識內(nèi)容中所蘊含的這些辯證法的要素，比對著學(xué)生心理，從學(xué)生產(chǎn)生具體的思維環(huán)節(jié)路徑中，搜尋這個知識結(jié)構(gòu)中所蘊含的辯證法要素如何投射到學(xué)生的心理上去，伴隨著這一投射過程，促使學(xué)生辯證意識或辯證思維的萌生、逐步成長與發(fā)展起來。因此，數(shù)學(xué)教師自己必須要有辯證意識與辯證思維能力，這樣才能獨具慧眼，體味數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中所蘊含的辯證思維材料，才能通過自己精湛的教學(xué)設(shè)計及其課堂實施活動，培養(yǎng)學(xué)生的辯證意識與辯證思維。

其二，養(yǎng)成數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》在“學(xué)科核心素養(yǎng)與課程目標(biāo)”這個一級標(biāo)題下，將“數(shù)學(xué)抽象”列入“學(xué)科核心素養(yǎng)”中六大核心素養(yǎng)的課程目標(biāo)之首，這是有道理的，因為數(shù)學(xué)所研究的就是“任意”或“一切”情況，那就必然是抽象地進(jìn)行研究，所以數(shù)學(xué)的抽象性與結(jié)構(gòu)性是最為突出的兩個特點。課程標(biāo)準(zhǔn)指出，“（數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)）主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語言予以表達(dá)”[1]。雖然這是對于高中學(xué)生而言的，但是，在初中階段如果基于合適的數(shù)學(xué)教學(xué)材料進(jìn)行滲透也可能很好地達(dá)到目的。教師乙關(guān)于這道題的教學(xué)設(shè)計及其課堂實施就是很好的例子。

需要注意的是，這種養(yǎng)成數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)教師就必須要對數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行細(xì)心的過濾，辨別出合適的教學(xué)材料，找到合適的教學(xué)途徑，在初中階段就應(yīng)該一點一滴地向?qū)W生進(jìn)行滲透，在學(xué)生的心智結(jié)構(gòu)中播種，促使學(xué)生獲得這樣的體驗，從而生根、發(fā)芽、開花與結(jié)果，進(jìn)而可以最大限度地發(fā)揮數(shù)學(xué)知識中所蘊含的教學(xué)價值。因此，教師乙的這種教學(xué)設(shè)計及其課堂實施過程，就非常好地體現(xiàn)了這一點。這給我們數(shù)學(xué)教師以有價值的啟發(fā)。

教師丙的教學(xué)設(shè)計及其課堂實施是教師乙的特殊化，由于等式⑤是將符合這種數(shù)字特征的所有式子（即序列①）一網(wǎng)打盡，而與只不過是等式⑤的兩個具體的二次根式而已，因此，只要將這兩個二次根式分別“分子有理化”，就可以實現(xiàn)與等式⑤同樣的目的。只不過，教師丙的教學(xué)設(shè)計及其課堂實施看上去好像是萌生了新的數(shù)學(xué)觀念（有理化），似乎在此處閃現(xiàn)了靈感與創(chuàng)造性，但是它的本質(zhì)便是等式⑤，或者可以這樣說，等式⑤并不需要靈感的閃現(xiàn)，而是可以使用生4 分析法的結(jié)果。這就告誡我們數(shù)學(xué)教師，在教學(xué)設(shè)計及其課堂實施時，在某些時候，確實可能是靈感所閃現(xiàn)的數(shù)學(xué)觀念在指引我們行動，但教師要對這種靈感的閃現(xiàn)展開分析，極有可能尋獲靈感產(chǎn)生邏輯源頭。

從實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的視角上看，這樣的教學(xué)無法像教師乙一樣，可以實現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生相關(guān)的辯證意識或萌生辯證思維，也不能為養(yǎng)成學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)作出相應(yīng)的貢獻(xiàn)，因此，教師丙的教學(xué)設(shè)計及其實施的效果應(yīng)次于教師乙。雖然如此，教師丙的教學(xué)設(shè)計依然具有很好的實用性，因為他所花費的時間很少，又給這個問題的解決找到了心理來源，體現(xiàn)了這種教學(xué)設(shè)計的創(chuàng)造性。然而，與教師乙的教學(xué)設(shè)計及其課堂實施比較，它沒有涉及利用教學(xué)資源幫助學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)。教師丙的努力方向在于，深入分析如何形成“分子有理化”這個觀念來源，有可能觸及產(chǎn)生這個數(shù)學(xué)觀念的邏輯起點。

教師甲的教學(xué)設(shè)計及其課堂實施幾乎就是將教師指導(dǎo)用書所提供的答案，原原本本地抄寫到了黑板上，學(xué)生只能通過機(jī)械記憶這道題具體解題的邏輯過程，而談不上心理上的變化過程，所以這種教學(xué)設(shè)計及其課堂實施價值是最低的。因為，學(xué)生經(jīng)過這樣的教學(xué)設(shè)計及其課堂實施途徑的學(xué)習(xí)解決這個順序問題，不能實現(xiàn)任何認(rèn)知的、情感的、意志的教學(xué)目標(biāo)，久之必使學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)、興趣等消磨殆盡，從而放棄數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。對此，我們數(shù)學(xué)教師一定要有深刻的認(rèn)識，以避免重蹈覆轍。

由于這是教學(xué)設(shè)計及其課堂實施的研究活動，是嚴(yán)肅認(rèn)真的，筆者只對事不對人，直言不諱地評論這三種數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)劣得失。雖然如此，當(dāng)分析這三位教師的教學(xué)設(shè)計得出如此結(jié)論的時候，有不少教師提出了為教師甲進(jìn)行辯護(hù)的想法，他們說，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)時，因為受到教學(xué)時間的限制，教師甲這種教學(xué)也是情有可原的。筆者以為，他們的這種辯護(hù)是蒼白無力的，因為一個有責(zé)任感與進(jìn)取心的數(shù)學(xué)教師一定能夠在課堂上找到相應(yīng)的時間來全方位地展示學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)認(rèn)識的思維活動過程，否則為什么還要進(jìn)行教學(xué)設(shè)計呢？

因此，在數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)設(shè)計時，教師應(yīng)該力爭做好這三項工作：其一，對于教科書或教師用書所體現(xiàn)的解答結(jié)果的表達(dá)形式，一定要認(rèn)真地思考（最后是不看答案而自己進(jìn)行解答）是如何產(chǎn)生這種結(jié)果的，力爭取得這個結(jié)果的心理來源[2]；其二，對于數(shù)學(xué)教師似乎是通過直覺的途徑萌生的某些數(shù)學(xué)觀念，應(yīng)該盡可能地深入分析，獲得產(chǎn)生這種觀念的心理過程或邏輯過程（例如，教師丙“分子有理化”的數(shù)學(xué)觀念，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為心理過程，這就是希望將比較無理數(shù)大小轉(zhuǎn)化為比較有理數(shù)大?。?；其三，退一步說，我們還可以閱讀相關(guān)文獻(xiàn)或請教其他教師，不至于就是這樣地將解決結(jié)果原封不動地抄給學(xué)生。從而保證數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計及其課堂實施的有效性[3]。

三、結(jié)語

把一道數(shù)學(xué)題的施教活動設(shè)計到讓學(xué)生在探究解法時欲罷不能的境界，這應(yīng)該就是一個非常好的教學(xué)設(shè)計及其課堂實施了。在解題教學(xué)活動展開時，如果每一重懸念，待要解開，又出現(xiàn)了新的謎題，讓學(xué)生對于探究活動猶如上癮一般，一直追隨著解決問題的環(huán)節(jié)走下去，直到取得答案為止，那么這種施教活動本身到底是什么類型的問題已經(jīng)不再重要了，因為這只是一個好問題，將學(xué)生的全部視線都聚焦于這個問題解決的關(guān)鍵性環(huán)節(jié)。這絕不是一件容易的事情，它的進(jìn)與退、顯與藏、順境與逆勢，一招一式、一言一行，都需要做得恰到好處。此時，數(shù)學(xué)教學(xué)看起來是非常復(fù)雜的活動行為，但是，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該把它做得非常“單純”，這樣的數(shù)學(xué)教師才是真正的好教師。教師乙關(guān)于這道題的教學(xué)活動達(dá)到了生機(jī)勃勃、風(fēng)生水起的境界?！?/p>