拋物線的阿基米德焦點(diǎn)三角形問(wèn)題及其應(yīng)用*

☉福建省石獅市石光中學(xué) 林建森

拋物線的弦與過(guò)弦的兩端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形.特別地，拋物線過(guò)焦點(diǎn)的弦與過(guò)弦的兩端點(diǎn)的兩條切線所圍成的特殊三角形稱為阿基米德焦點(diǎn)三角形.有關(guān)拋物線的阿基米德焦點(diǎn)三角形問(wèn)題在近幾年高考等試卷中時(shí)有出現(xiàn).了解涉及拋物線的阿基米德焦點(diǎn)三角形的一些基本性質(zhì)，對(duì)于解決相應(yīng)問(wèn)題很有幫助，其可以更加快捷地處理相應(yīng)問(wèn)題，也能有效地拓展知識(shí)面.

一、結(jié)論展示

拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，弦AB過(guò)焦點(diǎn)F，拋物線C在A，B兩點(diǎn)處的切線分別是l1，l2，且l1，l2相交于點(diǎn)P，則△PAB就是阿基米德焦點(diǎn)三角形.該阿基米德焦點(diǎn)三角形有以下幾個(gè)基本性質(zhì)：

（1）點(diǎn)P必在拋物線C的準(zhǔn)線上；

（2）△PAB是以P為直角的直角三角形（即PA⊥PB）；

（3）PF⊥AB.

根據(jù)拋物線的阿基米德焦點(diǎn)三角形的基本性質(zhì)，可以用其破解很多與之相關(guān)的拋物線問(wèn)題，從而使問(wèn)題的求解變得簡(jiǎn)單快捷，易于操作.

二、應(yīng)用問(wèn)題

1.三角形形狀的判定

例1已知拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，弦AB過(guò)焦點(diǎn)F，拋物線C在A，B兩點(diǎn)處的切線分別是l1，l2，且l1，l2相交于點(diǎn)P，則△PAB的形狀為（ ）.

A.銳角三角形

B.直角三角形

C.鈍角三角形

D.隨點(diǎn)P位置變化前三種情況都有可能

分析：常規(guī)方法是設(shè)出直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立確定兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定兩切線l1，l2的方程，進(jìn)而求解交點(diǎn)P的坐標(biāo)關(guān)系式，結(jié)合直線的斜率公式及兩直線垂直的關(guān)系加以分析.此過(guò)程比較煩瑣，解答起來(lái)比較費(fèi)時(shí)，而結(jié)合阿基米德焦點(diǎn)三角形的基本性質(zhì)，基本可以達(dá)到“秒殺”的效果.

解：結(jié)合拋物線的阿基米德焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)，可知△PAB是以P為直角的直角三角形.

故答案為B.

點(diǎn)評(píng)：利用拋物線的阿基米德焦點(diǎn)三角形的基本性質(zhì)來(lái)判定對(duì)應(yīng)的三角形的形狀，不但處理起來(lái)比較簡(jiǎn)單，而且效果良好.

2.直線位置關(guān)系的判定

例2已知拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，弦AB過(guò)焦點(diǎn)F，拋物線C在A，B兩點(diǎn)處的切線分別是l1，l2，且l1，l2相交于點(diǎn)P，則直線PF與弦AB所在的直線的位置關(guān)系為（ ）.

A.相交但不垂直

B.相交且垂直

C.平行

D.相交但是否垂直隨點(diǎn)P位置變化而改變

分析：常規(guī)方法也是設(shè)出直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立確定兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定兩切線l1，l2的方程，進(jìn)而求解交點(diǎn)P的坐標(biāo)關(guān)系式，結(jié)合直線的斜率公式及兩直線垂直的關(guān)系加以分析.若直接利用阿基米德焦點(diǎn)三角形的基本性質(zhì)，則更為簡(jiǎn)單快捷.

解：結(jié)合拋物線的阿基米德焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)，可知PF⊥AB.

故答案為B.

點(diǎn)評(píng)：利用拋物線的阿基米德焦點(diǎn)三角形的基本性質(zhì)來(lái)判定兩直線的位置關(guān)系，可以很好地確定其相應(yīng)的垂直關(guān)系，避免了繁雜的運(yùn)算過(guò)程，節(jié)約時(shí)間，提高效益.

3.線段長(zhǎng)度的求解

例3已知F為拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，拋物線C在A，B兩點(diǎn)處的切線分別是l1，l2，且l1，l2相交于點(diǎn)P，設(shè)|AB|=q，則|PF|的值為______.（結(jié)果用含q的代數(shù)式表示）

分析：設(shè)出|AF|=m，|BF|=n，結(jié)合阿基米德焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)并通過(guò)直角三角形的射影定理來(lái)建立相應(yīng)的關(guān)系式，得到|PF|2=|AF|·|BF|=mn，進(jìn)而由拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)的變形與轉(zhuǎn)化來(lái)確定|PF|的值.

解：設(shè)|AF|=m，|BF|=n，則有|AB|=m+n=q，由阿基米德焦點(diǎn)三角形的基本性質(zhì)可得PA⊥PB，PF⊥AB，結(jié)合直角三角形的射影定理有|PF|2=|AF|·|BF|=mn，由拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)，可得，則有，則有

點(diǎn)評(píng)：利用拋物線的阿基米德焦點(diǎn)三角形的基本性質(zhì)，以確定相應(yīng)的三角形的形狀，結(jié)合直角三角形的射影定理加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，從而提升效率，拓展思維.

4.三角形面積的破解

例4已知拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，弦AB過(guò)焦點(diǎn)F，拋物線C在A，B兩點(diǎn)處的切線分別是l1，l2，且l1，l2相交于點(diǎn)P，則△PAB的面積的最小值是______.

分析：設(shè)出弦AB所在直線的傾斜角θ，結(jié)合拋物線的極徑公式得到|AF|與|BF|的三角表達(dá)式，再利用阿基米德焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)來(lái)確定|PF|的三角表達(dá)式，通過(guò)三角形的面積公式來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)來(lái)確定最值即可.

解：設(shè)直線AB的傾斜角為θ，不失一般性，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)由拋物線的極徑公式可得，可得|AB|=.由阿基米德焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)可得PA⊥PB，PF⊥AB，結(jié)合直角三角形的射影定理有即當(dāng)且僅當(dāng)cosθ=1，即θ=0時(shí)，△PAB的面積取得最小值為p2.

故填答案為p2.

點(diǎn)評(píng)：利用拋物線的阿基米德焦點(diǎn)三角形的基本性質(zhì)，結(jié)合拋物線的極徑公式及直角三角形的射影定理，有效轉(zhuǎn)化三角形的面積關(guān)系式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為有關(guān)的三角函數(shù)問(wèn)題，結(jié)合三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可有效破解.

5.最值問(wèn)題的應(yīng)用

例5（2019屆四川省成都市高三模擬·16）已知F為拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，拋物線C在A，B兩點(diǎn)處的切線分別是l1，l2，且l1，l2相交于點(diǎn)P，則的最小值為______.

分析：設(shè)出|AF|=m，|BF|=n，結(jié)合阿基米德焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)并通過(guò)直角三角形的射影定理來(lái)建立相應(yīng)的關(guān)系式，得以|PF|2=|AF|·|BF|=mn，由拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)的變形與轉(zhuǎn)化得到m+n=mn，結(jié)合條件通過(guò)均值不等式的應(yīng)用，利用配湊法來(lái)確定的最小值.

解：設(shè)|AF|=m，|BF|=n，則有|AB|=m+n，由阿基米德焦點(diǎn)三角形的基本性質(zhì)可得PA⊥PB，PF⊥AB，結(jié)合直角三角形的射影定理有|PF|2=|AF|·|BF|=mn，由拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)，可得，變形可得m+n=mn，即|AB|=|PF|2=mn，結(jié)合均值不等式，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即mn=16時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為6.

故填答案為6.

點(diǎn)評(píng)：利用拋物線的阿基米德焦點(diǎn)三角形的基本性質(zhì)，結(jié)合拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)及均值不等式，能很好地達(dá)到轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，進(jìn)而為求解復(fù)雜關(guān)系式的最值問(wèn)題奠定基礎(chǔ)，有效拓展思維，提高素養(yǎng).

在破解一些相關(guān)問(wèn)題時(shí)，如果能夠巧妙地借助拋物線的阿基米德焦點(diǎn)三角形的基本性質(zhì)來(lái)處理，特別在解答一些選擇題或填空題時(shí)，不失為一種很好的方法.靈活借助拋物線的阿基米德焦點(diǎn)三角形相關(guān)的基本性質(zhì)，可以很好地處理問(wèn)題，從而有效提升學(xué)習(xí)的寬度與深度，提高數(shù)學(xué)效益，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素質(zhì)，提升思維品質(zhì).