利用數(shù)學(xué)史開展生成性教學(xué)
——以復(fù)數(shù)概念的教學(xué)為例

☉江蘇省常熟市梅李高級中學(xué) 顧曉莉

數(shù)學(xué)是一門非常注重理論的學(xué)科，數(shù)學(xué)的知識體系中有許多概念，這些概念性知識的教學(xué)對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著極其重要的作用.有些概念容易理解，有些概念遠離生活或者較為抽象而相對晦澀難懂，對于后者，教師應(yīng)采用“生成”性的教學(xué)方法，為抽象的數(shù)學(xué)概念提供生長的土壤，使學(xué)生能更為自然地理解并掌握它們.然而對于這些概念，教師往往很難找到生活實例來幫助學(xué)生理解，這時候，我們可以把眼光轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)本身，許多數(shù)學(xué)概念的提出都伴隨著數(shù)學(xué)歷史的重大發(fā)展，數(shù)學(xué)歷史可以說是概念生長的天然土壤，教師可以在教學(xué)中對數(shù)學(xué)史多加利用，從而發(fā)揮數(shù)學(xué)史的教育價值.下文筆者將以復(fù)數(shù)概念的教學(xué)為例，分享自己在教學(xué)實踐中的經(jīng)驗.

一、復(fù)數(shù)概念的提出背景

在公元3世紀(jì)左右，一位名叫丟番圖的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，在解二次方程時，有時不能以當(dāng)初的數(shù)系來表示解，并將這一情況記錄在了《算術(shù)》一書中.在那之后的很長一段時間里，數(shù)學(xué)家們都把根的判別式是否大于等于零作為判斷二次方程是否有解的依據(jù)，這個時候的人們還未對復(fù)數(shù)這一概念產(chǎn)生思考，這一狀態(tài)持續(xù)到了公元16世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家卡丹的發(fā)現(xiàn)開始激發(fā)了人們對于數(shù)的思考，他在解決著名問題“如何將10分成兩部分，使得這兩部分的乘積等于40”時，得出了和兩個答案，但是他很快否定了，因為當(dāng)時對于開方運算的理解不允許諸如的形式出現(xiàn)，而后來他在解x3=9x+10這一方程時，也遇到了類似的問題.又過了二十幾年，另一位數(shù)學(xué)家邦貝利在嘗試給出一個三次方程的解時，遇到了和卡丹類似的問題，但是邦貝利并沒有急于否認自己的答案，而是在研究之后提出了虛數(shù)的概念，并給出了對應(yīng)的運算法則，不過由于這一概念與傳統(tǒng)的認知有著較大的沖突，數(shù)學(xué)界還沒能認同它，認為它是幻想的、虛無的，也因此笛卡爾將其命名為“虛數(shù)”.

了解了這樣的歷史背景之后，我們更加清楚地認識到了虛數(shù)這一概念的產(chǎn)生過程，數(shù)學(xué)家們并不是一開始就接受這一概念并研究諸如x2=-1的解的問題的，他們是從研究一道著名的例題開始，并逐步發(fā)現(xiàn)問題，然后通過研究確認需要后，才提出虛數(shù)的概念及其對應(yīng)的運算法則的，在解決例題的過程中遇到的問題是數(shù)學(xué)家們展開研究的動機，這樣的動機為研究和學(xué)習(xí)提供了合理性.

二、教學(xué)過程——利用數(shù)學(xué)史進行復(fù)數(shù)概念教學(xué)

在傳統(tǒng)的教學(xué)模式中，教師往往是直接把復(fù)數(shù)的概念講述給學(xué)生聽的，這對于學(xué)生來說多少會有些難以接受，因為這樣的概念和以往的數(shù)學(xué)經(jīng)驗（例如，在以往的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)建立起了根號里面必須是非負數(shù)的認知）相沖突，學(xué)生難以深刻地理解其本質(zhì)和存在的必要性.因此，教師應(yīng)轉(zhuǎn)變教學(xué)策略，將數(shù)學(xué)歷史知識與概念教學(xué)有機地結(jié)合起來，從本源開始，引導(dǎo)學(xué)生在自己的認知中生成相關(guān)的概念，為了達到這一目標(biāo)，筆者設(shè)計了以下幾個問題：

問題一：如何將10分成兩部分，使得這兩部分的乘積等于40？請給出這樣的兩個數(shù).

問題二：如果x2+y2=2，xy=2，求下列表達式的值：（1）x+y；（2）x；（3）y.

結(jié)合歷史不等于重現(xiàn)歷史，出于以下三點原因，筆者沒有直接將卡丹、萊布尼茨等人的研究資料呈現(xiàn)在學(xué)生面前：首先，雖然最后呈現(xiàn)的結(jié)果形式簡單，但是卡丹等人的研究過程卻是十分復(fù)雜的，其中涉及了許多帶多重根號的算術(shù)式，這對于學(xué)生來說是難以理解的；其次，這個時候的學(xué)生還沒有建立起虛數(shù)的概念，如果教師將形如之類的式子展現(xiàn)給學(xué)生，則會使他們產(chǎn)生思維上的混亂；最后，引用數(shù)學(xué)歷史知識的最終目的是要為學(xué)生自身的感悟與思考做鋪墊，要注意適當(dāng)且適量，過多的歷史故事渲染反而會帶來喧賓奪主的負面效果，進而分散學(xué)生的精力.因此，筆者在具體教學(xué)時選擇將卡丹等人的研究過程進行簡化，只呈現(xiàn)卡丹的研究課題，并將萊布尼茨原始的研究資料中復(fù)雜的方程組改成了常數(shù)，降低了計算及理解的難度，有利于幫助學(xué)生將注意力聚焦在概念上，從而能引導(dǎo)他們進行更為集中和深入的思考.

下面筆者將展現(xiàn)課堂教學(xué)過程的引入環(huán)節(jié)中的具體互動情境.

師：解方程大家都應(yīng)該已經(jīng)十分熟練了，現(xiàn)在在黑板上有一道例題（上問題二），請兩位同學(xué)上來為我們當(dāng)場求解一下.

（學(xué)生解題，第一問可以順利求出，但是第二問和第三問無法給出實數(shù)解x和y）

師：好，感謝兩位同學(xué)的解題，的確，按照之前我們解方程組的方法，后兩問是沒辦法給出實數(shù)解的（暗示有可能不是實數(shù)解），但是不知道你們有沒有發(fā)現(xiàn)奇怪之處？為什么x+y這個和式可以求出結(jié)果，然而它的兩個加數(shù)卻不存在呢？

生：是哦！怎么會這么奇怪呢？

師（進一步暗示）：和的存在暗示著加數(shù)的存在，這一點是無可指摘，但我們確實也沒辦法用實數(shù)來表示x和y……

生：有可能x和y不是實數(shù)，而是另外一種數(shù).

師：另外一種數(shù)的話，它該是什么形式呢？

筆者認為，引入環(huán)節(jié)是一個過渡階段，應(yīng)該從學(xué)生先前的經(jīng)驗切入，引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)問題或者發(fā)覺新需求，筆者沒有用很復(fù)雜的形式，而是直接讓學(xué)生通過解方程組的方式自主感受，是為了讓學(xué)生能夠最大程度地去關(guān)注思維的沖突點，讓他們能夠聚焦新問題，能夠轉(zhuǎn)變身份進行深入思考，同時，題目難度也不是很大，數(shù)學(xué)能力較弱的學(xué)生看到后也不會產(chǎn)生畏懼和退縮的心理，也會積極主動地進行嘗試，虛數(shù)的概念對于學(xué)生來講確實晦澀難懂，但是這樣以學(xué)生為主體的教學(xué)方法，能讓學(xué)生感受到虛數(shù)的意義和由來，主觀上能夠消除抽象概念的心理距離，客觀上提高了教學(xué)效率.

在正式引入虛數(shù)單位之前，筆者簡單地帶學(xué)生回顧了一下數(shù)系的發(fā)展，讓學(xué)生回憶了各類符號的含義，下面筆者想再分享一段關(guān)于引入虛數(shù)單位i的教學(xué)互動過程：

師：我們可以看到，數(shù)系之所以是今天我們看到的這樣，也是經(jīng)歷了一系列擴充和修改的，那么回到最初，你們覺得如何解決剛才出現(xiàn)的問題呢？

生：我們可以再定義一個新的數(shù).

師：好，這個想法很棒，那么這個新數(shù)該如何表示，又該具有怎樣的運算法則呢？

生（略帶遲疑）：這個新的數(shù)應(yīng)該滿足平方等于-1的運算法則，至于如何表示我還沒想好.

師：我們可以觀察一下，數(shù)學(xué)家們遇到新量或者新數(shù)的時候一般會怎么做呢？

生：他們會用一個符號或者一個字母來表示.

師：非常好，你們很有數(shù)學(xué)家的天賦，因為這也正是歐拉的做法.

（PPT切換到歐拉提出用i表示虛數(shù)單位的史實）

生：應(yīng)該是i.

師：i確實是-1的平方根，但除此之外還有沒有其他的根了呢？嘗試把-1拆解成1×（-1）來看看？

生：那應(yīng)該一共有兩個根，分別是i和-i.

師：很棒！那你們能告訴我-64的平方根是多少嗎？那么-60的平方根呢？

生：-64可以拆解為64×（-1），所以答案應(yīng)該是±8i，至于-60，用同樣的思路，它的平方根應(yīng)該是

師：太棒了！通過觀察，我們不難發(fā)現(xiàn)，任意負實數(shù)都可以拆解成-1和一個正實數(shù)的積，接下來的求解就和之前的做法一致了.

在這一部分，筆者將數(shù)學(xué)史知識作為一種激勵，先逐步引導(dǎo)學(xué)生的思路往正確的方向發(fā)展，再用數(shù)學(xué)家的做法來肯定學(xué)生，這樣做既能豐富課堂內(nèi)容，又能讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)符號的生成過程，從而激發(fā)學(xué)生探索與思考的積極性.

三、經(jīng)驗總結(jié)

數(shù)學(xué)史能為學(xué)生學(xué)習(xí)抽象概念提供便利，并能簡化理解過程，深化理解程度，但是如何在課堂教學(xué)中利用好數(shù)學(xué)史呢？筆者認為，教師應(yīng)該注意在課堂中引入數(shù)學(xué)史的目的是為了幫助學(xué)生消除心理距離，能更好地理解抽象概念，但引入并不是重現(xiàn)，教師應(yīng)對數(shù)學(xué)史的內(nèi)容進行篩選或者設(shè)計，否則將有可能分散學(xué)生的注意力.