高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)的策略研究

☉江蘇省張家港市塘橋高級(jí)中學(xué) 湯 鴻

☉江蘇省張家港市塘橋高級(jí)中學(xué) 錢士明

在教育部公布的相關(guān)政策中指出，教育改革及推進(jìn)的關(guān)鍵任務(wù)在于加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)及對(duì)教學(xué)質(zhì)量的保障.高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組依據(jù)普通高中課程修訂工作的要求，提出教書育人的關(guān)鍵在于對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng).直觀指的是對(duì)于事物的感性認(rèn)識(shí)，是經(jīng)過對(duì)實(shí)際實(shí)物的直接接觸而獲得的；想象指的是經(jīng)過加工改造在人的腦海中塑造出新形象的過程.所以，“直觀想象”的定義就是利用空間想象及幾何直觀來對(duì)事物的變化進(jìn)行感知，借助圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)題目的解答.那么怎樣在教學(xué)過程中對(duì)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)進(jìn)行有效的培養(yǎng)呢？這是我們需要重視的一個(gè)問題.

一、加強(qiáng)概念教學(xué)

熟悉數(shù)學(xué)概念是進(jìn)行數(shù)學(xué)思想學(xué)習(xí)的載體，并且“直觀想象”思想在很大程度上都來自于數(shù)學(xué)中的概念教學(xué)過程.在這個(gè)過程中，要有意識(shí)地賦予抽象的概念一個(gè)具體的“形”，讓學(xué)生能夠很好地理解概念，這樣學(xué)生才能夠在題目的解答過程中對(duì)概念運(yùn)用自如.比如，在進(jìn)行“函數(shù)”這一章知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生對(duì)于函數(shù)的概念及其性質(zhì)難以把握，因此教師可以引導(dǎo)學(xué)生從“形”的角度進(jìn)行理解，從而讓學(xué)生能夠更加容易地掌握其定義.

例1已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且f（1）=0，則不等式f（x）＞0的解集為______.

圖1

根據(jù)題意作出函數(shù)的圖像，如圖1所示，易得解集為（-1，0）∪（1，+∞）.

教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，要注重對(duì)于概念的講解，將一些性質(zhì)的不同表達(dá)形式講授給學(xué)生，讓學(xué)生能夠全面地掌握數(shù)學(xué)性質(zhì).在今后的解題過程中，不管概念的表達(dá)形式如何變化，學(xué)生也能夠靈活的運(yùn)用.

二、教學(xué)充分展現(xiàn)直觀想象的魅力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

在學(xué)習(xí)一元二次不等式的過程中，運(yùn)用直觀想象的教學(xué)方法，能夠體現(xiàn)直觀教學(xué)法在解答數(shù)學(xué)問題時(shí)的便利性，讓學(xué)生能夠從變化、運(yùn)動(dòng)及聯(lián)系的角度對(duì)問題進(jìn)行思考.

例2設(shè)m∈R，解關(guān)于x的不等式mx2-（m+1）x+1＞0.

不等式化簡為（mx-1）（x-1）＞0，若轉(zhuǎn)化成

（1）若m=0，易得解集為（-∞，1）.

（2）若m≠0，則（fx）與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為和1.

①當(dāng)m＞0時(shí)，根據(jù)和1的大小關(guān)系可知（fx）的圖像有以下三種情形：

圖2

圖3

圖4

圖5

可知當(dāng)0＜m＜1時(shí)，如圖2所示，其解集為（-∞，1）∪

當(dāng)m=1時(shí)，如圖3所示，其解集為（-∞，1）∪（1，+∞）；

當(dāng)m＞1時(shí)，如圖4所示，其解集為

②當(dāng)m＜0時(shí)，f（x）的圖像只有一種情形，如圖5所示，其解集為

通過對(duì)一元二次函數(shù)圖像的觀察，了解不等式的具體性質(zhì)，再通過不等式和圖像之間的關(guān)系，進(jìn)行相關(guān)問題的解決.讓學(xué)生能夠根據(jù)“形”的運(yùn)用，體會(huì)其對(duì)數(shù)學(xué)難題解答的便利性.這個(gè)時(shí)候再向?qū)W生講解“最高次系數(shù)化正后，大于零取兩邊，小于零取中間”，這樣學(xué)生就能夠更加容易理解這句話的具體含義了.

三、培養(yǎng)觀察、聯(lián)想、猜想能力

聯(lián)想是根據(jù)當(dāng)前的具體事物，聯(lián)想到與這件事物相關(guān)的其他事物，在這一過程中對(duì)學(xué)生聯(lián)想能力的培養(yǎng)具有很大的幫助.在很多數(shù)學(xué)問題中，可以采取想象的方式，將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成“形”.通過對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)聯(lián)想能力的培養(yǎng)，使其發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的“數(shù)”與“形”之間的關(guān)聯(lián)，并進(jìn)行數(shù)形之間的相互轉(zhuǎn)化.

例3當(dāng)n∈N*時(shí)，比較2n與n2+2n的大小.

圖6

思路很清晰，從1開始代入比較大小，然后進(jìn)行歸納猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.可以發(fā)現(xiàn)，從1到5都是2n＜n2+2n，但如果由此猜想2n＜n2+2n就錯(cuò)了，實(shí)際上從6開始都是2n＞n2+2n.如果作出x＞0時(shí)f（x）=2x與g（x）=x2+2x的圖像，在圖像的走勢(shì)上，我們可以先預(yù)判，最后一定是2x要比x2+2x大，這樣就不難發(fā)

現(xiàn)在交點(diǎn)B的右側(cè)f（x）=2x的圖像處于g（x）=x2+2x的圖像的上方.

因此結(jié)論應(yīng)該是：當(dāng)n≤5時(shí)，2n＜n2+2n；當(dāng)n≥6時(shí)，2n＞n2+2n.

猜想是根據(jù)一些事實(shí)進(jìn)行合理推斷的過程，是一種綜合性較強(qiáng)、復(fù)雜程度較大的認(rèn)知過程，猜想的前提是對(duì)事物進(jìn)行合理的推斷.在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法及數(shù)列的基本知識(shí)的過程中，采用猜想論證的形式，不僅能夠簡化知識(shí)點(diǎn)的難度，還能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，從而加強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)科對(duì)學(xué)生的吸引力.

四、利用多媒體教學(xué)，展示直觀想象

在對(duì)“數(shù)”與“形”之間的關(guān)系進(jìn)行講解時(shí)，可以采用多媒體教學(xué)的方式，讓學(xué)生更加直觀的了解.例如，可以采用《幾何畫板》，讓“死圖”變“活圖”.在學(xué)習(xí)圓錐曲線的過程中，利用多媒體教學(xué)，向?qū)W生展示數(shù)的變動(dòng)帶來形的變化，這樣能夠更好地加強(qiáng)學(xué)生對(duì)于知識(shí)的理解，使學(xué)生對(duì)知識(shí)的記憶變得更加的牢固.

例4（2014年江蘇卷的應(yīng)用題）如圖7所示，為保護(hù)河上古橋OA，現(xiàn)規(guī)劃建一座新橋BC，同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū).規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓，且古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80m.經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60m處，點(diǎn)C位于點(diǎn)O正東方向170m處（OC為河岸）

（1）求新橋BC的長；

（2）當(dāng)OM多長時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大？

圖7

圖9

在解決第（2）問時(shí)，利用幾何畫板可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)M從A向O移動(dòng)時(shí)，半徑和OF是越來越大，AE越來越小.而AE和OF需都滿足不小于80m，故AE為80m即可，此時(shí)利用ME等于M到BC的距離即可求得OM=10m.

五、逐步培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力

在對(duì)直觀想象能力培養(yǎng)的過程中，要根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)的具體情況進(jìn)行，不能急功近利.在高一時(shí)，學(xué)生所碰到的題目類型較少，因此在這個(gè)時(shí)候?qū)W生處在嘗試探索的階段.如果這時(shí)候?qū)⒅庇^想象思想灌輸給他們，會(huì)讓學(xué)生失去學(xué)習(xí)的興趣.而當(dāng)學(xué)生已經(jīng)積累了一些主要的知識(shí)，逐漸感受到這種思想方法的優(yōu)點(diǎn)時(shí)，教師再進(jìn)行具體的介紹，通過專題講座的形式將該方法傳授給學(xué)生，這時(shí)候?qū)W生會(huì)更加容易理解并掌握.

例5已知函數(shù)若函數(shù)g（x）=f［f（x）］-m有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.

圖10

設(shè)f（x）=t，則由g（x）=0得f（t）=m.作出函數(shù)f（x）的圖像，如圖10所示，則當(dāng)-1≤t≤1時(shí)，滿足f（x）=t的x有一個(gè)解；當(dāng)t＞1時(shí)，滿足f（x）=t的x有兩個(gè)解.

因此要使g（x）有三個(gè)零點(diǎn)，則滿足f（t）=m的t應(yīng)有兩個(gè)解，即t1∈［-1，1］，t2∈（1，+∞），則m∈（1，2］.

綜上所述，對(duì)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，既需要在理論層面上進(jìn)行學(xué)習(xí)改進(jìn)，還需要在實(shí)際教學(xué)過程中進(jìn)行完善.在進(jìn)行數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)過程中，應(yīng)當(dāng)探索其有效的培養(yǎng)途徑，加強(qiáng)對(duì)直觀想象能力的合理教學(xué)，最終使學(xué)生深入地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理論知識(shí).