一道“新定義”考題的命題商榷與教學(xué)思考

☉江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)東延路實驗學(xué)校 王小林

2019年各地中考試卷陸續(xù)出來之后，我們發(fā)現(xiàn)不少地區(qū)設(shè)計出形式各異的“新定義考題”，這些新定義考題往往從一個“定義”出發(fā)，引領(lǐng)學(xué)生閱讀理解，想清辨明定義的本質(zhì)特點，對于重視定義教學(xué)起到一定的導(dǎo)向作用.然而，正如李邦河院士所指出的“數(shù)學(xué)，根本上是玩概念的”，可見，數(shù)學(xué)概念的生成與歸納是非常有挑戰(zhàn)性的，數(shù)學(xué)教學(xué)中最難的也是玩概念.本文將由最近某地一道中考新定義壓軸題的設(shè)問商榷說起，談?wù)劤踔写鷶?shù)領(lǐng)域關(guān)于定義教學(xué)（或概念教學(xué)）的一些思考與體會.

一、由一道中考新定義考題說起

說明：這是2019年N市中考數(shù)學(xué)試卷最后一題的“部分”呈現(xiàn).

定義：點M（x，y），若x、y滿足x2=2y+t，y2=2x+t，且x≠y，t為常數(shù)，則稱點M為“線點”.例如，點（0，-2）和（-2，0）是“線點”.

已知：在直角坐標(biāo)系xOy中，點P（m，n）是“線點”，用含t的代數(shù)式表示mn，并求t的取值范圍.

命題商榷與教學(xué)思考：這里我們不想探討這道新定義考題的解法或答案，只是從命題的角度提出商榷.如“定義”中出現(xiàn)的常數(shù)t并沒有給出取值范圍，但是后續(xù)設(shè)問時卻要讓考生求定義中某個常數(shù)的取值范圍，也就是說上述定義是不完整的、不嚴(yán)密的.還有，數(shù)學(xué)上的定義應(yīng)該簡潔、好懂，通過更初等的概念定義新的概念（即“低維”定義“高維”），而不是人為制造麻煩，把定義搞成猜謎一樣的條件呈現(xiàn).當(dāng)然，似乎沒有影響其他設(shè)問的求解，只能算是一個結(jié)構(gòu)不良的新定義考題.這事實上引發(fā)我們思考一個很好的教研話題：我們該如何開展概念教學(xué)？具體來說，章建躍博士曾提出“在核心概念教學(xué)上，要不惜時不惜力”，那么我們應(yīng)該在何處慢下來？慢下來或停下來干什么？本文將圍繞上述話題結(jié)合具體的案例展開討論，這也是從研究解題走向研究教學(xué)的一次嘗試.

二、“初中代數(shù)”定義教學(xué)的思考

初中階段代數(shù)領(lǐng)域主要研究數(shù)與式、方程、不等式與函數(shù).出現(xiàn)一類新的研究對象，都會對它們進行定義，其中不少定義是描述性質(zhì)的，多是以舉例的方式，然后以“形如……”這樣的形式給出定義.那么，我們該如何開展這類研究對象的定義教學(xué)呢？

1.精選恰當(dāng)問題情境，讓學(xué)生充分感知研究對象

研究教材就會發(fā)現(xiàn)，當(dāng)引出一個新的數(shù)學(xué)概念或研究對象時，往往都會在具體的情境中從學(xué)生已有經(jīng)驗出發(fā)，通過分析問題、抽象問題，得到新的研究對象，然后為了進一步系統(tǒng)研究這些新的數(shù)學(xué)對象，會引出如何歸納它們的定義.這就提醒我們：開展定義教學(xué)，需要精心選擇問題情境，這些問題情境既可以是生活現(xiàn)實，也可以是數(shù)學(xué)現(xiàn)實或者其他學(xué)科現(xiàn)實，選取標(biāo)準(zhǔn)是是否有利于新概念的引入，是否有利于幫助學(xué)生理解即將要學(xué)習(xí)的新的定義.

舉例來說，以一元二次方程為例，我們需要借助一些生活問題（即生活現(xiàn)實），通過設(shè)未知數(shù)、列出一元二次方程，讓學(xué)生觀察這些方程與之前所學(xué)過的方程有什么不同，類比之前學(xué)過的一些方程，該如何定義這類新的方程呢？在這些問題上多停下來追問，并讓不同學(xué)生進行多遍復(fù)述，可讓學(xué)生充分感知研究對象，有利于促進學(xué)生內(nèi)化對新學(xué)定義的理解.

2.即時抽象研究對象，讓學(xué)生參與梳理歸納定義

在觀察不少概念教學(xué)時，很多教師都熱衷于選擇一些生動、形象的生活現(xiàn)實，比如，一段制作精美的視頻短片或詩意的畫面來引出一些具體數(shù)學(xué)問題，然而有些教師在這些環(huán)節(jié)逗留的時間偏長，使得學(xué)生陶醉在數(shù)學(xué)之外的畫面、音樂、圖畫之中，卻對待學(xué)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)缺少必要的揭示.這種過分注重生活味的情境創(chuàng)設(shè)不利于數(shù)學(xué)化的過程，或者有些概念教學(xué)從根本上說就缺少數(shù)學(xué)化的過程.容易出現(xiàn)情境創(chuàng)設(shè)過分花哨，數(shù)學(xué)概念引出一代而過的現(xiàn)象，學(xué)生沒有得到很好的理解，對概念的本質(zhì)辨析、感悟不到位，后續(xù)再安排大量練習(xí)來鞏固新知，到頭來把概念教學(xué)上成“一個定義、三項注意、大量練習(xí)”的低品質(zhì)課堂.

以變量與函數(shù)的起始課教學(xué)為例，我們可以精選一些生活現(xiàn)實，如行程問題、定長繩子圍長方形問題、生活中的氣溫變化等，讓學(xué)生在這些熟悉的生活現(xiàn)實中辨析其中的變量與變量之間的關(guān)系，并逐步內(nèi)化、歸納出這些問題情境中，都存在一個變化過程，有兩個變量，其中一個變量變化時，另一個變量隨之唯一確定，這時就稱這兩個變量之間存在函數(shù)關(guān)系，引發(fā)變化的稱自變量，隨之唯一確定的變量稱為函數(shù)，并小結(jié)出函數(shù)定義的關(guān)鍵“一個變化，兩個變量，單值對應(yīng)”，在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生對之前例舉的一些問題情境，可以再從函數(shù)概念的角度進行理解、復(fù)述，增加對函數(shù)定義的理解，特別是對函數(shù)語言或相關(guān)函數(shù)概念的熟悉.

3.注重運用變式教學(xué)，讓學(xué)生辨析定義“非標(biāo)準(zhǔn)形式”

一般來說，通過具體問題情境引出新的數(shù)學(xué)定義之后，往往就會跟進一些練習(xí)進行訓(xùn)練鞏固，這時如果是大量無趣的習(xí)題，會使得新授課教學(xué)淪落為低品質(zhì)的習(xí)題教學(xué)課或習(xí)題講評課，學(xué)生學(xué)得無趣，對理解數(shù)學(xué)定義的本質(zhì)也沒有太大的幫助.但是我們還是要注意通過不同的教學(xué)組織來促進學(xué)生理解定義的“標(biāo)準(zhǔn)形式”與“非標(biāo)準(zhǔn)形式”.舉例來說，一次函數(shù)y=kx+b（k、b為常數(shù)，且k≠0）中，對常數(shù)b并沒有特殊限制，這時就可安排學(xué)生辨析形如y=3x或y=-的是否為一次函數(shù)，如果學(xué)生辨識出錯，就引導(dǎo)他們“回到定義”去理解，只要符合定義中的約定，就可認(rèn)定它是一次函數(shù)，順勢可以向?qū)W生介紹b=0的一次函數(shù)由于比較特殊，數(shù)學(xué)教材上又將它們稱為正比例函數(shù).類似的，還可以引導(dǎo)學(xué)生回憶平方根的相關(guān)概念，比如，一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)，通常正的平方根也稱算術(shù)平方根.還有關(guān)于無理數(shù)的定義也是學(xué)生比較難理解的，當(dāng)我們給出“無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)”后，學(xué)生對無理數(shù)的理解往往停留在一些具體的形式上，比如，學(xué)生能很快辨認(rèn)它們是無理數(shù)，但是對于像這樣的形式就容易誤認(rèn)為是分?jǐn)?shù)，這時就需要引導(dǎo)學(xué)生“回到定義”進行辨析，比如，有理數(shù)是“可比數(shù)”（形如且m、n為整數(shù)，注意整數(shù)也可看成分母為1的分?jǐn)?shù)），這樣就可辨析出都是無理數(shù).這也就讓學(xué)生對定義的標(biāo)準(zhǔn)形式與非標(biāo)準(zhǔn)形式進行了有效的對比.

三、對“新定義考題”的命題建議

由于我們在上文提出了對新定義考題的一些商榷意見，“知易行難”，以下本著命題、磨題的興趣，對“新定義考題”提出一些命題建議.

1.定義要簡潔、好懂，不要故弄玄虛

研究初中階段的一些“定義表述”可以發(fā)現(xiàn)，這些定義都簡潔、好懂，比如，像2與-2，5.5與-5.5這樣，只有符號不同的兩個數(shù)稱為相反數(shù).這種描述性定義簡潔、好懂，通過舉例的方式讓學(xué)生有較為直觀的理解，而隨著對相反數(shù)定義的深入解讀，特別是借助數(shù)軸上兩點之間距離來深入思考，不但會得出形如a、-a的兩數(shù)是相反數(shù)，還能揭示相反數(shù)的本質(zhì)：若a+b=0，則a、b互為相反數(shù).而有些新定義考題，定義所列舉出來的條件晦澀難懂，初讀幾遍，往往不知所云，且舉例也不夠典型和有代表性，以此來實現(xiàn)所謂區(qū)分選拔功能，新定義考題在教學(xué)導(dǎo)向方面的功能沒有能很好地發(fā)揮，是一種命題遺憾.

2.定義要邏輯嚴(yán)密，不能出現(xiàn)漏洞

我們知道，數(shù)學(xué)是一門邏輯嚴(yán)密、前后一致的科學(xué).數(shù)學(xué)分支往往從定義、公設(shè)出發(fā)，在公理、規(guī)則的支持下演繹發(fā)展成“參天大樹”，這個“生長”“擴張”的過程中，定義往往是本原性的、最初的，定義也是始終必須認(rèn)可并遵守的.從這個角度看，數(shù)學(xué)家認(rèn)為“數(shù)學(xué)，根本上是玩概念的”是非常有道理的.以我們熟悉的一些初中代數(shù)定義來看，二次函數(shù)的一般形式y(tǒng)=ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）中，對二次函數(shù)的形式有了“直觀”好懂的描述，且對常數(shù)a、b、c做了嚴(yán)格的界定，而不是在后續(xù)運用定義解決問題時，再出現(xiàn)常數(shù)a、b、c還會有其他的限制.

基于以上理解和認(rèn)識，作為本文的最后，我們可以對本文開始引用的新定義考題提供兩種打磨方式：

打磨試題1：

閱讀定義：點M（x，y），若x、y滿足x2=2y+t，y2=2x+t，且x≠y，t≥3，則稱點M為“線點”.

理解定義：點（0，-2）和（-2，0）是“線點”嗎？若點P（m，n）是“線點”，則點Q（n，m）也是“線點”嗎？請說明理由.

靈活運用：在直角坐標(biāo)系xOy中，點P（m，n）是“線點”，用含t的代數(shù)式表示mn.

打磨試題2：

定義：平面直角坐標(biāo)系xOy中，若m≠n，則稱點M（m，n）與點N（n，m）互為“變換點”.

運用定義解答下列問題：

平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A（a，b）與點B互為“變換點”.

（1）當(dāng)a+b+2=0，且∠AOB=120°時，求線段AB的長.

（2）若a、b滿足a2=2b+t，b2=2a+t，t為常數(shù)，

①若a=28，求b的值.

②小慧通過演算發(fā)現(xiàn)t不可能小于3.請判斷小慧的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說明理由.