“式”中思法，“變”中求道
——一道首創(chuàng)“代數(shù)新定義”壓軸題的命制過程與拓展

☉江蘇省海門市中小學(xué)教師研修中心 徐 強

今年筆者有幸參加了2019年南通市中考數(shù)學(xué)試卷的命題工作，試卷繼續(xù)保持了以課標為指南，以教材為題源的命題風(fēng)格，充分體現(xiàn)了“畢業(yè)和選拔相匹配、傳承與創(chuàng)新相融合、減負與增效相呼應(yīng)”的命題特點，對初中數(shù)學(xué)教學(xué)起到了很好的導(dǎo)向作用.現(xiàn)將試卷中一道首創(chuàng)“代數(shù)新定義”題的命制過程與拓展整理成文，與同行分享.

一、構(gòu)思，有的放矢

1.確定命題方向

力求通過構(gòu)建一點的橫、縱坐標之間的關(guān)系的“代數(shù)新定義”，形成一道集方程、函數(shù)（一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題）與內(nèi)隱圖形于一體的綜合題，難度系數(shù)為0.3～0.4.著重考查方程與函數(shù)思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、幾何直觀、極限思想，突出考查代數(shù)推理能力、數(shù)學(xué)建模能力及利用幾何圖形來研究代數(shù)問題的能力.

2.形成命題思路

核心載體：點M（x，y）——定義x、y之間的數(shù)量關(guān)系——定直線，動曲線.

核心知識：以乘法公式、方程、一次函數(shù)、反比例函數(shù)與等腰三角形為核心知識.

核心素養(yǎng)：注重代數(shù)推理素養(yǎng)——先思后變，運算推理，把握規(guī)律，關(guān)注數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，考查函數(shù)眼光；注重幾何直觀素養(yǎng)——先畫后算，數(shù)形結(jié)合，生成方法，關(guān)注學(xué)生思維的層次與遷移，考查建模能力.

二、破解，逆水行舟

1.找準起點，挖掘特征

如何構(gòu)造x、y之間的關(guān)系，形成點M（x，y）的新定義？

命題組基于命題的指向性，逆向探求命題思路，以直線、雙曲線的解析式為思考的起點，挖掘“y=kx+b，xy=k”的特征，來定義x、y之間的數(shù)量關(guān)系.

（1）不同變統(tǒng)一.

從“式”具有的特點出發(fā)思考：y=kx+b不具有輪換對稱的特點，xy=k具有輪換對稱的特點.

將“式”統(tǒng)一成都具有輪換對稱的特點：x+y=b，xy=k.

（2）顯性變隱性.

如何將x、y之間的顯性函數(shù)關(guān)系變成隱性的關(guān)系？

由x+y=b，xy=k，容易聯(lián)想到x2+y2.

變形：x2+y2=（x+y）2-2xy=b（x+y）-2k=bx+by-2k.

拆分：x2=by-k，y2=bx-k.

簡化：當(dāng)b=2，k=-t時，x2=2y+t，y2=2x+t.

（3）驗算可行性.

x、y滿足“x2=2y+t，y2=2x+t”是否可行？

驗算：由x2=2y+t，y2=2x+t，得x2-y2=2（y-x），x2+y2=2（y+x）+2t.

需增加x≠y，可得x+y=-2.

由x2+y2=（x+y）2-2xy=2（y+x）+2t，得4-2xy=-4+2t.則xy=-t+4.

由x≠y，得（x-y）2＞0，即（x+y）2-4xy＞0.則（-2）2-4（-t+4）＞0.解得t＞3.

于是得到：若x、y滿足“x2=2y+t，y2=2x+t，x≠y”，則隱含的是定直線x+y=-2，動曲線xy=-t+4.

從而形成新定義：點M（x，y），若x、y滿足x2=2y+t，y2=2x+t，且x≠y，t為常數(shù)，則稱點M為“線點”.例如，點（0，-2）和（-2，0）是“線點”.

2.把握視角，構(gòu)建問題

如何依據(jù)新定義，構(gòu)建考查的問題？

命題組立足考查的目的性，抓住定義具有判定與性質(zhì)的雙重性的視角進行命制，構(gòu)建了“有梯度”的三個問題：（1）直接用定義判定已知點是否為“線點”；（2）從定義出發(fā)，利用代數(shù)的變形推理，發(fā)現(xiàn)定義中隱含的一些性質(zhì)，如確定的一次函數(shù)y=-x-2和一個與t的取值有關(guān)的變化的反比例函數(shù)等；（3）綜合運用定義的判定與隱含的性質(zhì)，解決幾何問題.

已知：在直角坐標系xOy中，點P（m，n）.

（1）P1（3，1）和P2（-3，1）兩點中，點______是“線點”；

（2）若點P是“線點”，用含t的代數(shù)式表示mn，并求t的取值范圍；

（3）若點Q（n，m）是“線點”，直線PQ分別交x軸、y軸于點A、B，當(dāng)|∠POQ-∠AOB|=30°時，直接寫出t的值.

這道代數(shù)新定義題從命題的角度來說是一種創(chuàng)新，“從新定義的提出，到問題的設(shè)置”的命制過程凝聚了命題組全體成員的集體智慧，清晰呈現(xiàn)了閱讀—理解—轉(zhuǎn)化的模式，充分體現(xiàn)了“式”中思法、“圖”中求道的味道，強化了代數(shù)推理變形的水平、幾何聯(lián)想推理的能力，是一道很好地考查“綜合與實踐”領(lǐng)域的創(chuàng)新試題.

從學(xué)生答題的角度來說也是一種創(chuàng)新.首先，有效考查了學(xué)生對新定義的現(xiàn)場閱讀、運算與推理的學(xué)習(xí)能力，這是本題發(fā)現(xiàn)“定直線和變化的雙曲線”的前提；其次，考查了學(xué)生對知識的聯(lián)想、遷移與轉(zhuǎn)化的處理能力，能否將已有認知體系中的直線和雙曲線及時調(diào)用是分析的核心；再次，考查了學(xué)生對基本模型的構(gòu)造、求異的創(chuàng)新能力，發(fā)現(xiàn)題目中隱藏的基本圖形是求解的關(guān)鍵.

從引領(lǐng)課堂教學(xué)的角度來說更是一種創(chuàng)新.能較好地引領(lǐng)數(shù)學(xué)教師在日常教學(xué)與復(fù)習(xí)中，一要關(guān)注核心概念的限時閱讀與理解，強化概念“雙重性”內(nèi)涵的形成過程；二要關(guān)注主干知識之間的關(guān)聯(lián)與轉(zhuǎn)化，強化遷移的意識與方法；三要關(guān)注建模的思想與變式，強化思維的深刻性與靈活性.

三、拓展，追本溯源

縱觀命制過程，可以發(fā)現(xiàn)此類定義的構(gòu)造“聯(lián)想有源，構(gòu)造有法”.可以無限構(gòu)造出“定曲線，動直線”“動曲線，定直線”“動曲線，動直線”.

1.從輪換對稱式構(gòu)造x、y之間的關(guān)系

從x+y=b，xy=k聯(lián)想構(gòu)造.

由x+y=b，xy=k，得x2+y2=（x+y）2-2xy=b（x+y）-2k.

拆分：x2=by-k，y2=bx-k.

驗算：由x2=by-k，y2=bx-k，得x2-y2=b（y-x），x2+y2=b（y+x）-2k.

需增加x≠y，可得x+y=-b.則x2+y2=-b2-2k.

由x2+y2=（x+y）2-2xy，得-b2-2k=b2-2xy.則xy=b2+k.

取值范圍：由x≠y，得（x-y）2＞0.即（x+y）2-4xy＞0.則3b2+4k＜0.

于是可定義：若實數(shù)x、y滿足x2=by-k，y2=bx-k，且x≠y，則稱點M（x，y）為“線點”.

顯然，特殊化可構(gòu)造出不同的情形，當(dāng)b確定，k變化時，則為“動曲線，定直線”.

2.從非輪換對稱式構(gòu)造x、y之間的關(guān)系

從ax+y=b，xy=k類比“1”的構(gòu)造.

由ax+y=b，xy=k，得a2x2+y2=（ax+y）2-2axy=b（ax+y）-2ak.

拆分：a2x2=by-ak，y2=abx-ak.

驗算：由a2x2=by-ak，y2=abx-ak，得a2x2-y2=b（y-ax），a2x2+y2=b（y+ax）-2ak.

需增加ax≠y，可得ax+y=-b.則a2x2+y2=-b2-2ak.

由a2x2+y2=（ax+y）2-2axy，得-b2-2ak=b2-2axy.則axy=b2+ak.

取值范圍：由ax≠y，得（ax-y）2＞0.即（ax+y）2-4axy＞0.則b2-4（b2+ak）＞0.即3b2+4ak＜0.

于是仍可定義：若實數(shù)x、y滿足a2x2=by-ak，y2=abxak，且ax≠y，則稱點M（x，y）為“線點”.

顯然，利用橫、縱坐標之間的關(guān)系構(gòu)建“新定義”是有規(guī)律可循的，教學(xué)中要從簡單的“模仿”走向本質(zhì)的“思考”，適度滲透“如何構(gòu)想的方法”，不斷強化多題歸一、舉一反三，培養(yǎng)思維的深刻性和靈活性，這樣才能使學(xué)生從“機械操作”走向“理性思維”，從而有效突破“一遇陌生問題就一籌莫展”的軟肋.

四、結(jié)束語

對于中考試題，一線教師的關(guān)注度很高，但很多教師對如何命題總感無所適從，其實命題并不神秘、并非難事.如本文中利用點的橫、縱坐標之間的關(guān)系構(gòu)建這類代數(shù)“新定義”題的命制規(guī)律往往是“式”中思法，“變”中求道.因此，在平時的教學(xué)中，一方面，要多積累，關(guān)注基本模型、通性通法、逆向推理與多解歸一的水平，不斷增進思維的深刻性；另一方面，要多思考，注重數(shù)學(xué)不同“學(xué)習(xí)領(lǐng)域”間關(guān)聯(lián)、轉(zhuǎn)化的能力，有效拓寬思維的空間.W