正視錯(cuò)誤 靜待花開(kāi)

☉江蘇省栟茶高級(jí)中學(xué) 叢昌平

教師最大的希望，莫過(guò)于讓學(xué)生一聽(tīng)就懂，一學(xué)就會(huì).但現(xiàn)實(shí)并非如此，教學(xué)中不難發(fā)現(xiàn)，基于學(xué)生的認(rèn)知水平參差不齊、學(xué)習(xí)態(tài)度與學(xué)習(xí)習(xí)慣也存在著很大差異，只有少部分學(xué)生能做到一聽(tīng)就懂，一學(xué)就會(huì)，而大部分學(xué)生則往往錯(cuò)誤不斷.“師者，所以傳道受業(yè)解惑也”，這些錯(cuò)誤其實(shí)正是教師教學(xué)“解惑”的重點(diǎn)與難點(diǎn).哲學(xué)家波普爾說(shuō)過(guò)：“錯(cuò)誤中往往孕育著比正確更豐富的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造因素.”那么，教師如何正視學(xué)生的認(rèn)知錯(cuò)誤，并將這些錯(cuò)誤變成寶貴的教學(xué)資源呢？筆者結(jié)合多年的高中數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)踐，談幾點(diǎn)做法與體會(huì)，供同仁們參考.

一、深究“錯(cuò)”因，以點(diǎn)帶面

數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，容不得一絲錯(cuò)誤.作為數(shù)學(xué)教師，不僅要教會(huì)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)，更要教會(huì)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的科學(xué)態(tài)度.在日常教學(xué)中，教師經(jīng)常會(huì)發(fā)現(xiàn)一些似是而非的數(shù)學(xué)問(wèn)題，這些問(wèn)題看似正確，實(shí)則錯(cuò)誤，例如，在立體幾何中，“已知平面α，β，γ，若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β”，由于受平面幾何思維定勢(shì)的影響，學(xué)生經(jīng)常會(huì)認(rèn)為這句話是正確的.對(duì)于諸如此類的問(wèn)題，教師應(yīng)抓住不放，積極引導(dǎo)學(xué)生探究錯(cuò)誤原因，讓學(xué)生“誤”中有悟，從而培養(yǎng)其數(shù)學(xué)思維的批判性和深刻性.

例如，在等比數(shù)列教學(xué)中，教師經(jīng)常會(huì)教學(xué)生設(shè)等比數(shù)列連續(xù)的三項(xiàng)為，a，aq，這樣可以讓后續(xù)的計(jì)算簡(jiǎn)便，然而學(xué)生往往只記結(jié)論，不會(huì)具體問(wèn)題具體分析.筆者曾經(jīng)給學(xué)生布置了這樣一道數(shù)列題：

例1已知一個(gè)等比數(shù)列{an}前四項(xiàng)之積為，第二、三項(xiàng)的和為，求這個(gè)等比數(shù)列的公比.

在課上，筆者講了等比數(shù)列連續(xù)三項(xiàng)的設(shè)法，而本題中出現(xiàn)了連續(xù)四項(xiàng).學(xué)生受到等比數(shù)列連續(xù)三項(xiàng)的設(shè)法的影響，不假思索地想到了等比數(shù)列連續(xù)四項(xiàng)的設(shè)法，于是出現(xiàn)了如下錯(cuò)解.

錯(cuò)解：因?yàn)樗膫€(gè)數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)其分別為，，解得或q=，故原數(shù)列的公比為或.

上述設(shè)法，看似合理，計(jì)算也簡(jiǎn)便，卻是錯(cuò)誤的，學(xué)生一臉蒙圈.于是筆者提醒學(xué)生：大家的計(jì)算結(jié)果中的公比都是正的，請(qǐng)問(wèn)本題中告訴你這個(gè)數(shù)列是正數(shù)數(shù)列嗎？一語(yǔ)點(diǎn)醒夢(mèng)中人，學(xué)生恍然大悟.原來(lái)他們只顧了解題簡(jiǎn)潔，卻忽視了題意，犯了“顧此失彼”的錯(cuò)誤.筆者要求學(xué)生哪里跌倒就從哪里爬起，請(qǐng)他們馬上糾錯(cuò).

正解：設(shè)四個(gè)數(shù)分別為a，aq，aq2，aq3，則，則（1+q）4=64q2.

當(dāng)q＞0 時(shí)，可得q2-6q+1=0，故；

當(dāng)q＜0 時(shí)，可得q2+10q+1=0，故.

糾錯(cuò)后，筆者要求學(xué)生繼續(xù)思考如下問(wèn)題：

問(wèn)題1：等差數(shù)列的連續(xù)項(xiàng)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)列如何設(shè)？等比數(shù)列呢？

問(wèn)題2：等差數(shù)列的連續(xù)項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)列如何設(shè)？等比數(shù)列呢？

問(wèn)題3：對(duì)于等比數(shù)列的項(xiàng)的設(shè)法，我們應(yīng)注意哪些問(wèn)題？

從本例可以看出，學(xué)生認(rèn)知錯(cuò)誤往往有深層次的原因，如果教師在教學(xué)中忽視這些錯(cuò)誤，不引導(dǎo)學(xué)生深究這些錯(cuò)誤的原因，學(xué)生可能以后碰到類似問(wèn)題時(shí)會(huì)“重蹈覆轍”，所以對(duì)待這類錯(cuò)誤，教師不可掉以輕心，應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生反思錯(cuò)誤、認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤，并從錯(cuò)誤中獲得更深刻的認(rèn)識(shí).

二、借“錯(cuò)”發(fā)揮，拾階而上

失敗是成功之母，成功是無(wú)數(shù)次失敗的累加，失敗之后往往離成功越來(lái)越近.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以針對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的普遍錯(cuò)誤，探明錯(cuò)因后加以變式探究，在探究中不僅可以糾正學(xué)生的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，還可以進(jìn)一步提高學(xué)生對(duì)此類問(wèn)題的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)他們堅(jiān)韌不拔的學(xué)習(xí)品質(zhì).

例如，在基本不等式的教學(xué)中，筆者布置了這樣一道題.

例2若x＞0，y＞0，且x+2y=1，則的最小值為_(kāi)_____.

批閱作業(yè)的時(shí)候，筆者發(fā)現(xiàn)班級(jí)里幾乎占百分之八十的學(xué)生是這樣解的：

三、全民糾“錯(cuò)”，正本清源

在語(yǔ)文和英語(yǔ)的考試中，經(jīng)常有改病句的考試題型.而數(shù)學(xué)中偶爾也會(huì)出現(xiàn)改錯(cuò)練習(xí).筆者以為，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了增強(qiáng)學(xué)生的防范意識(shí)，非常有必要讓學(xué)生自行建立錯(cuò)題本，以達(dá)到防患于未然的目的.當(dāng)完成了某個(gè)單元的教學(xué)任務(wù)后，教師可以讓學(xué)生自己搜集錯(cuò)題，整理錯(cuò)解，并探究錯(cuò)誤原因，以此來(lái)進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維能力.

例如，在學(xué)習(xí)了三角函數(shù)后，筆者給學(xué)生布置了一道別樣的數(shù)學(xué)練習(xí)：請(qǐng)你搜集4～5 道三角函數(shù)錯(cuò)題，并指出錯(cuò)誤原因和正確解法.經(jīng)過(guò)學(xué)生的精心搜集和整理，三角函數(shù)“錯(cuò)解大觀園”令人目不暇接，本文限于篇幅，摘錄一二如下：

1.忽視三角函數(shù)的定義域

題1求的最小正周期.

錯(cuò)解：因?yàn)?，所以函?shù)的最小正周期T=π.

剖析：由f（x+π）=f（x），當(dāng)x=0 時(shí)，f（0）=0，但f（π）無(wú)意義.

所以π 不是f（x）的周期，產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因是沒(méi)有考慮函數(shù)的定義域.

正解：函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠2kπ+π 且，k∈Z}.

由f（x+2π）=tan（x+2π）=tanx=f（x），所以T=2π.

2.忽視對(duì)參數(shù)的討論

題2已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，值域?yàn)椋?5，1］，求函數(shù)f（x）的解析式.

錯(cuò)解：因?yàn)?，所?所以

剖析：錯(cuò)解因默認(rèn)參數(shù)a 為正數(shù)而導(dǎo)致“漏解”.

正解：因?yàn)椋?所以

三角函數(shù)的教學(xué)內(nèi)容雖然不難，但學(xué)生大錯(cuò)沒(méi)有，小錯(cuò)不斷.讓學(xué)生自行找錯(cuò)糾錯(cuò)，可以有效地避免這些錯(cuò)誤，這種無(wú)中生“誤”的“糾錯(cuò)行動(dòng)”具有開(kāi)放性與趣味性，深受學(xué)生喜愛(ài)，同時(shí)也培養(yǎng)了他們數(shù)學(xué)反思的好習(xí)慣，對(duì)培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)大有好處.

曾有一位老教師說(shuō)過(guò)這樣一句話：就怕學(xué)生不出錯(cuò)，這樣你就很難了解學(xué)生真正的想法.是啊，學(xué)生的錯(cuò)誤，對(duì)于教師來(lái)說(shuō)，就是一筆寶貴的財(cái)富，只要教師善待這些錯(cuò)誤，正視這些錯(cuò)誤，那么同樣可以靜待花開(kāi)！F