解題教學(xué)：關(guān)注多樣性，強(qiáng)調(diào)嚴(yán)謹(jǐn)性
——由一道例題的教學(xué)引發(fā)的思考

☉江蘇省如皋市石莊鎮(zhèn)初級中學(xué) 姚建梅

解題方法和解題策略是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容.在日常教學(xué)中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)正確便捷的解題方法，而且要努力將《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（下稱《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》）提出的“鼓勵和提倡解決問題策略的多樣化”落到實(shí)處.當(dāng)然，追求解法多樣化的同時，我們還應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解法的優(yōu)劣，并明晰解法的適用題型及范圍.只有關(guān)注了解法多樣性與嚴(yán)謹(jǐn)性，才能借助解題教學(xué)提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力.本文擬結(jié)合七年級上學(xué)期一道例題的解法及其教學(xué)分析談?wù)劰P者的思考，供大家參考.

一、例題及解法分析

1.例題及其教學(xué)背景分析

例題：若m-n=-1，則（m-n）2-2m+2n的值為______.

教學(xué)背景：筆者將其選作人教版“2.2整式的加減”的教學(xué)例題，究其原因，有二：一是本題涉及的是整式的加減、有理數(shù)的運(yùn)算、代數(shù)式的化簡求值等知識，與本課時所學(xué)知識吻合；二是解本題有可能用到整體思想、轉(zhuǎn)化思想，對七年級學(xué)生體會這些數(shù)學(xué)思想的價值有著較好的作用.為了充分發(fā)揮本題的教學(xué)價值，筆者在學(xué)生自主解答時，進(jìn)行全班巡視，找出了多種不同解法，然后通過小組交流與全班交流共享了解題方法，辨析了解法的優(yōu)劣，明確了解題注意點(diǎn)，幫助學(xué)生形成個性化的解題路徑.

2.解法分析

通過對例題的分析，筆者發(fā)現(xiàn)了三種學(xué)生能夠接受且容易想到的解法.

（1）整體代入法：我們可以將（m-n）當(dāng)作一個整體，代入到整式中求值.這種解法的難點(diǎn)在于確定-2m+2n的值.從本節(jié)課的教學(xué)看，可以逆用乘法分配律進(jìn)行操作：從-2m與+2n兩項中同時提取-2，-2m+2n=-2（m-n）=2，再整體代入求得結(jié)果.當(dāng)然，如果學(xué)生對等式的性質(zhì)有較深的理解，我們也可進(jìn)行等式變形，兩邊同時乘-2得-2m+2n=2，同樣將其整體代入求值即可.

簡析：整體代入法無需考慮單個字母m或n的取值，只需將代數(shù)式變形為含（m-n）的式子的形式，整個求解過程需要用到乘法分配律或等式的性質(zhì)等，如果對這些數(shù)學(xué)核心知識掌握得比較好，化解問題是不難的.這種解法具有較強(qiáng)的普適性.然而，由于“提取-2”和等式“兩邊同時乘-2”所用到的都是后續(xù)知識，雖然小學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)，但對含字母的式子在小學(xué)并沒深入探索，想要所有學(xué)生用好這種解法，難度不小.

（2）特殊值法：取m=1，n=2，代入到整式計算即可.

簡析：對于填空題或選擇題而言，特殊值法的優(yōu)勢是明顯的.當(dāng)然，這里m、n的取值未必一定是m=1，n=2，只要能使m-n=-1成立就行，無論哪一組取值對于以選擇或填空形式呈現(xiàn)的客觀題都是適用的.而對于解答題，這種方法是不行的.解答需要呈現(xiàn)完整的計算與推理過程，用特殊取值代替一般情形來進(jìn)行計算是不允許出現(xiàn)的.

（3）變形代入法：由m-n=-1可得m=n-1，將其代入代數(shù)式得（m-n）2-2m+2n=（n-1-n）2-2（n-1）+2n=（-1）2+2=3.

簡析：這種方法，通過變形將題中的字母m轉(zhuǎn)變成含字母n的代數(shù)式，再將含有n的式子代入，經(jīng)運(yùn)算消去字母n，求得結(jié)果.其最大的優(yōu)勢在于，無需考慮m、n的取值，通過恒等變形、代入運(yùn)算就可以直接消去字母，達(dá)成求值的目的.然而，第一步所進(jìn)行的恒等變形，必須建立在學(xué)生對等式性質(zhì)有較充分認(rèn)識的基礎(chǔ)之上，如果不是很熟練，學(xué)生難免會在符號上出差錯，導(dǎo)致無法準(zhǔn)確求出結(jié)果.

二、教學(xué)簡錄及感悟

1.教學(xué)簡錄

教師安排學(xué)生自主解答，并在全班找尋不同解法.3分鐘后，安排學(xué)生小組交流，要求他們在組內(nèi)核對結(jié)果，分享思路.

在組內(nèi)交流結(jié)束后，教師組織了全班交流，讓學(xué)生說說自己的思路.有學(xué)生根據(jù)解答選擇、填空題的經(jīng)驗(yàn)用特殊值法求解，教師及時肯定了其方法，并追問：如果是解答題，這么做行嗎？特殊值法適用于哪些類型的題目？進(jìn)而明確特殊值法的適用題型.

在讓學(xué)生另選m、n的值求值后，教師引導(dǎo)學(xué)生交流解法1和解法3并就這兩種解法的共性優(yōu)勢進(jìn)行了分析，明確：無論是整體代入，還是變形代入，兩種方法都與m、n的值無關(guān)，只需代入消去代數(shù)式中的字母，就可求得結(jié)果，因而，這兩種方法具有普適性，對于各種題型都適用.

最后，教師請學(xué)生選擇一種與已用解法不同的方法重新解答.在得出答案后，教師引導(dǎo)學(xué)生對比三種解法，明確其適用題型，交流解題注意點(diǎn)，要求能根據(jù)具體題型合理選擇解法，注意符號的變化、數(shù)值的替代等細(xì)節(jié)，盡可能不犯一些低級錯誤，確保得出正確的結(jié)果.

2.簡析

教師讓學(xué)生先自主解答例題，用自己的知識與經(jīng)驗(yàn)求得結(jié)果.在接下來的小組交流中，教師不僅讓學(xué)生在組內(nèi)核對解題的結(jié)果，還要求他們分享解題的思路.全班交流時，學(xué)生首先給出的是他們比較熟悉的特殊值法，在解法分享的基礎(chǔ)上教師與學(xué)生通過辨析，進(jìn)一步明確了特殊值法的適用題型.在學(xué)生再次體驗(yàn)取值求值后，教師引導(dǎo)學(xué)生交流了代入求值的方法及其共性之處.最后，教師還安排學(xué)生用與自己解法不同的方法重新進(jìn)行求解，并對解法適用性、解題注意點(diǎn)等進(jìn)行再度明確.

三、幾點(diǎn)感悟

1.解題教學(xué)應(yīng)注重思路分析

解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容.任何一名數(shù)學(xué)老師都會重視對例題的分析及其解法的交流.筆者認(rèn)為，解題教學(xué)是提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，分析和解決問題的能力最有效的路徑.因而，我們應(yīng)重視解題教學(xué)的設(shè)計與實(shí)施，尤其應(yīng)重視解題思路的分析和解題過程的分享.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，無視學(xué)生思維過程展示的教學(xué)一定是無效的教學(xué).因此，解題教學(xué)應(yīng)注重對求解思路的分析.要在幫助學(xué)生梳理既得思路的同時，找尋出他們思維的閃光點(diǎn)和障礙點(diǎn)，推動他們形成較好的分析問題和解決問題的思維模式.這或許就是解題教學(xué)的價值所在吧！對本文中的例題，筆者就遵循這樣的理念進(jìn)行教學(xué)設(shè)計.無論是組內(nèi)交流，還是全班交流，教師始終將解題思路的交流放在首位，這樣的長期堅持也必將會引發(fā)學(xué)生重視解題思路分析的規(guī)范化和模式化，從而早日形成個性化的思路分析模式，為更多數(shù)學(xué)問題的解決提供思維路徑范式.

2.解法對比應(yīng)強(qiáng)化求同存異

解題教學(xué)中，解法對比是繞不開的話題.對于一些可以從不同角度解決的數(shù)學(xué)問題，我們在探索不同解法的同時，更應(yīng)將這些不同解法在教學(xué)過程中強(qiáng)化對比，找尋共同點(diǎn)，分析差異處.解法對比時，我們可以從解題的過程、用到的知識、適用的范圍等角度分析解法的相同之處，這是將不同解法歸類并找尋一般解法的基本路徑，而這同樣是找尋解法差異點(diǎn)的切入口.在上面的教學(xué)簡錄中，教師在引導(dǎo)學(xué)生交流解法1和解法3時，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩種方法都是代入法，只不過一個是將m-n當(dāng)作一個整體代入，一個是將給定的等式變形為m=n-1后再代入而已.兩者的本質(zhì)均是等量代換、轉(zhuǎn)化，所以，教學(xué)過程中教師始終圍繞兩種解法均“與m、n的取值無關(guān)，只需代入即可消去代數(shù)式中的字母，進(jìn)而求得結(jié)果”的共性之處展開交流.這對學(xué)生很好地體會“這兩種方法具有較強(qiáng)的普適性，對于填空題、選擇題和解答題都是適用的”是非常有利的.至于不同解法之間的差異之處是客觀存在的，對于這些差異我們應(yīng)尊重并進(jìn)行客觀分析，確保學(xué)生今后在解題時不至于選錯解法.

3.解法選擇應(yīng)關(guān)注題型異同

解法選擇在解題教學(xué)中同樣重要.解題教學(xué)，教的是一道題的解法，服務(wù)的卻是一組題或一類題.為了彰顯解題教學(xué)的核心價值，我們應(yīng)在“解一題，會一類，通一片”上多下功夫.試想，面對茫茫題海，如果沒有解法的歸納與優(yōu)選，每一道題目都有一種解法，那該學(xué)習(xí)多少種解法?。W(xué)生的思維又該有多累?。∷?，解題教學(xué)，應(yīng)重視解法的甄別與選擇的教學(xué).對于這一點(diǎn)，所有數(shù)學(xué)老師是有共識的.只不過要注意的是，選擇解法要特別關(guān)注其適用性.尤其是一些較為獨(dú)特的方法，比如本文中的特殊值法，只能適用于填空題和選擇題，而解答題不可以“用特殊情形去代替一般情形”，文中給出的整體代入法或變形代入法，均不涉及字母的取值，是一種代數(shù)式的恒等變形與替代，所以解決與本文中例題類似的數(shù)學(xué)問題時，我們一定要讓學(xué)生明白三種解法的適用題型，確保不出現(xiàn)解題誤用.這一切，在解題教學(xué)時務(wù)必加以明晰，并讓學(xué)生形成較深刻的記憶.W