淺談高中數(shù)學(xué)“題組教學(xué)”的運用

☉江蘇省江陰市青陽中學(xué) 吳國華

題組教學(xué)這一教學(xué)形式在題目設(shè)置與順序編排上都有一定的考究，從易到難、從單一到綜合的題目設(shè)計往往能使數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、技能、方法、思想重復(fù)出現(xiàn)并得到強化，教師因此可以及時掌握學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo)的達成情況并能因此進行針對性的后續(xù)教學(xué).

一、概念教學(xué)中的題組運用

概念教學(xué)這一重要內(nèi)容可以說是基礎(chǔ)知識與基本技能教學(xué)的核心，學(xué)好數(shù)學(xué)必然要以概念理解為基礎(chǔ)，這在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中是最為重要的.令學(xué)生學(xué)會概念的內(nèi)涵與外延，領(lǐng)悟概念中所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法與基本解題技能，促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)與素養(yǎng)的提升，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，這些是概念教學(xué)的基本任務(wù).

例1請對以下各小題中集合A到集合B的對應(yīng)法則進行觀察和理解：

（1）A={-1，-2，-3，1，2，3}，B={1，4，9}，對應(yīng)法則：求平方；

（2）A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5，6}，對應(yīng)法則：乘以2；

（3）A={x|x∈Z且x≠0}，B=Q，對應(yīng)法則f：x→；

（5）A={1，4，9}，B={-3，-2，-1，1，2，3}，對應(yīng)法則：開平方.

教師在引導(dǎo)學(xué)生對上述小題觀察與思考時，可以進行一定的層次劃分，引導(dǎo)學(xué)生首先思考（1）——（3）小題中兩集合之間對應(yīng)法則的共同點，然后再啟發(fā)學(xué)生進行自主歸納與總結(jié).學(xué)生在觀察與思考中很快可以得出：對應(yīng)法則下的集合B中都有唯一確定的元素b和集合A中的每個元素a對應(yīng).學(xué)生的認識達到更高層次的同時還能給出映射的定義，教師在學(xué)生明確映射的定義之后，還可以再舉出一些反例來幫助學(xué)生更深層次地理解映射的定義，使學(xué)生在判斷（4）—（5）是否為映射時更好地理解映射這一對應(yīng)法則的內(nèi)涵.

二、解題教學(xué)中的題組運用

激發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題進行解題規(guī)律的探求往往能取得更好的教學(xué)效果.題組教學(xué)在解題探究中的運用往往能夠幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)并掌握解題規(guī)律，使學(xué)生在運用規(guī)律解決問題的過程中獲得思維廣闊性的鍛煉與成長.

例2（1）求值：cos60°cos15°+sin60°sin15°；

（6）設(shè)函數(shù)f（x）=a·b，其中向量a=（2cosx，1），b=（cosx，sin2x），若f（x）=，且］，求x.

題組（1）—（4）的設(shè)計是兩角和與差的余弦公式的逆用向提煉輔助角公式的過渡，asinα+bcosα=這一輔助公式的提煉過程也因此更加自然順暢.

（5）—（6）兩題的設(shè)計讓學(xué)生在輔助角公式、二倍角公式、向量的結(jié)合應(yīng)用中獲得了更為充分的理解與掌握.學(xué)生在有意義的題組教學(xué)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律、掌握規(guī)律并應(yīng)用規(guī)律，在興致勃勃解決數(shù)學(xué)問題的過程中也更添解題的準(zhǔn)確性.

三、強化教學(xué)重點中的題組運用

求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值、最小值這一重要課題是函數(shù)單調(diào)性教學(xué)之后的重點問題，題組可以這樣設(shè)計：

例3（1）設(shè)f（x）=x2-2x-2，x∈［-2，2］，則f（x）的最大值、最小值分別為多少？

（2）設(shè)f（x）=x2-2x-2，若將f（x）在區(qū)間［-2，t］上的最大值記作g（t），則g（t）的表達式如何？

（3）設(shè)f（x）=x2-2x-2，若將f（x）在區(qū)間［t，t+1］上的最小值記作g（t），則g（t）的表達式如何？

（4）設(shè)f（x）=x2-2ax-2，若將f（x）在區(qū)間［-2，1］上的最小值記作g（x），則g（x）的表達式如何？

求解二次函數(shù)最值問題的關(guān)鍵在于學(xué)生是否能結(jié)合圖像弄清函數(shù)圖像的對稱軸和區(qū)間之間的相對位置關(guān)系.解決第（2）小題這一“定對稱軸、動區(qū)間”的最值問題時（兩個端點“一定一動”），需要討論二次函數(shù)的圖像在頂點處的橫坐標(biāo)x=1和區(qū)間［-2，t］的關(guān)系，應(yīng)分以下情況進行討論：①t≤1；②1＜t≤4；③t＞4.求出g（t）的表達式也就不難了.解決第（3）小題這一“定對稱軸、動區(qū)間”的最值問題時（兩個變化的端點，但區(qū)間長度為定值），應(yīng)對二次函數(shù)圖像在頂點處的橫坐標(biāo)x=1和區(qū)間［t，t+1］的關(guān)系進行分析和討論：①t+1≤1；②t＜1＜t+1；③t≥1.在解決第（4）小題這一“定區(qū)間、動對稱軸”的最值問題時，應(yīng)對二次函數(shù)圖像在頂點處的橫坐標(biāo)x=a和區(qū)間［-2，1］的關(guān)系進行分析和討論：①a≤-2；②-2＜a＜1；③a≥1.學(xué)生在以上四個小題的學(xué)習(xí)與思考中往往能夠更為全面地掌握二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題的求解方法與思想.

四、突破教學(xué)難點中的題組運用

很多學(xué)生在一些看似復(fù)雜的問題上往往不能做到準(zhǔn)確分析，很凸顯問題的本質(zhì)，若生搬硬套來解決這些問題，則更易產(chǎn)生解題錯誤了.

例4（1）已知函數(shù)y=log2x，試求其單調(diào)增區(qū)間；

（2）已知函數(shù)y=x2-6x+8，試求其單調(diào)增區(qū)間；

（3）已知函數(shù)y=log2（x2-6x+8），試求其單調(diào)增區(qū)間；

（4）若函數(shù)y=loga（2-ax）在區(qū)間［0，1］上單調(diào)遞減，則a的取值范圍如何？

學(xué)生面對題（1）、（2）這兩道初等函數(shù)單調(diào)區(qū)間的簡單問題時，往往能夠結(jié)合函數(shù)的圖像輕松解決，但面對題（3）、（4）這兩個復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的問題時往往會感到困擾.這對于教師來說也是一個值得研究的教學(xué)問題.

略解：（3）設(shè)y=log2t，t（x）=x2-6x+8，其中t（x）=x2-6x+8＞0.

外函數(shù)y=log2t在（0，+∞）上單調(diào)遞增，因此，求函數(shù)y=log2（x2-6x+8）的單調(diào)遞增區(qū)間即轉(zhuǎn)化成了求內(nèi)函數(shù)t（x）=x2-6x+8的單調(diào)遞增區(qū)間，結(jié)合二次函數(shù)t（x）=x2-6x+8的圖像即可解決這一問題.不過，定義域t（x）＞0這一問題在畫圖過程中是需要考慮的，這就意味著應(yīng)在x軸上方的圖像中找單調(diào)區(qū)間.

（4）設(shè)y=logat，t（x）=2-ax，其中t（x）=2-ax＞0.

因為a＞0，因此內(nèi)函數(shù)t=2-ax在區(qū)間［0，1］上單調(diào)遞減.因為函數(shù)y=loga（2-ax）在區(qū)間［0，1］上單調(diào)遞減，因此外函數(shù)y=logat在區(qū)間［0，1］上單調(diào)遞減，因此a＞1.因為t（x）=2-ax＞0在區(qū)間［0，1］上恒成立，因此tmin（x）=t（1）=2-a＞0，所以1＜a＜2.

若將題中區(qū)間［0，1］改為（0，1），結(jié)果又會怎樣？顯然前面是一樣的，但tmin（x）＞t（1）=2-a≥0，所以1＜a≤2.

研究復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時應(yīng)考慮分解、定義域、內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)圖像寫單調(diào)區(qū)間這四個方面，例4中的題組教學(xué)在糾正學(xué)生錯誤的同時，也令學(xué)生更好地理解了函數(shù)概念的內(nèi)涵以及本質(zhì).

五、發(fā)展思維教學(xué)中的題組運用

學(xué)生思維的發(fā)散性與嚴密性往往能影響其對數(shù)學(xué)問題的大膽設(shè)想與質(zhì)疑，有意義的題組教學(xué)能夠更好地發(fā)展學(xué)生思維的發(fā)散性與嚴密性.

例5（1）三角形的三邊長能組成等比數(shù)列嗎？如果不能，理由何在？如果可以，公比q的取值范圍如何？

（2）直角三角形的三邊長能組成等差數(shù)列嗎？如果不能，理由何在？如果可以，該數(shù)列是怎樣的？

（3）若三角形的三個內(nèi)角能組成等差數(shù)列且其對應(yīng)三邊也成等差數(shù)列，該三角形形狀如何？

略解：（1）設(shè)三邊為a，aq，aq2（a＞0，q＞0），則當(dāng)q≥1時，最大邊為aq2，因此a+aq≥aq2；當(dāng)0＜q＜1時，最大邊為a，因此aq+aq2≥a.解上述兩個不等式，分別可得1≤q＜

（2）若某直角三角形的三條邊長可以組成等差數(shù)列，分別設(shè)其三邊為a-d，a，a+d，公差為d（d＞0），則有（ad）2+a2=（a+d）2，解得，因此三條邊長分別是的直角三角形的三邊是可以組成等差數(shù)列的.

（3）若某三角形的三個內(nèi)角可以組成等差數(shù)列，將其三個內(nèi)角分別設(shè)為α-β，α，α+β，則（α-β）+α+（α+β）=π，解得α=

因為該三角形的三邊成等差數(shù)列，因此設(shè)其三邊為a-d，a，a+d.

故該三角形為等邊三角形.

除此以外，我們還可以在三角形的邊、角上進行其他情形的設(shè)想、學(xué)習(xí)和探索，并因此促成學(xué)生思維水平的不斷提升.

總之，與現(xiàn)代主體教育思想吻合的題組教學(xué)能更好地幫助學(xué)生自主參與和探索，進而使學(xué)生獲得知識、能力與思維的同步發(fā)展.因此，教師應(yīng)善于運用題組教學(xué)并充分發(fā)揮其在教學(xué)中的作用，使學(xué)生能夠在靈活多變的題組教學(xué)中獲得數(shù)學(xué)能力與素養(yǎng)的共同提升.