高考數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)競(jìng)賽相關(guān)問(wèn)題研究

☉江蘇省吳江中學(xué) 苗春蘭

高考試題的命題原則是按照考試大綱來(lái)完成的，注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)、思想、能力和方法的考查，很多時(shí)候?qū)W生可以通過(guò)“通性通法”來(lái)完成解題.隨著教育改革的發(fā)展，高考數(shù)學(xué)更加注重對(duì)學(xué)生能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查，近些年來(lái)高考數(shù)學(xué)試題中的部分問(wèn)題出現(xiàn)了“難題競(jìng)賽化”的趨勢(shì)，很多數(shù)學(xué)題都來(lái)源于數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題.作為一線高中數(shù)學(xué)教師，要正視數(shù)學(xué)競(jìng)賽，完全可將它作為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育的必要補(bǔ)充，在例題上加以延伸和拓展，從而提高學(xué)生的解題視野，以及數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)效果.

一、高考數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)競(jìng)賽相關(guān)問(wèn)題概述

隨著教育改革的實(shí)施，高考數(shù)學(xué)對(duì)于學(xué)生的考查不僅在知識(shí)與解題技巧上，更加注重學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)能力的考查.通過(guò)對(duì)近些年的高考數(shù)學(xué)試題的分析，我們不難發(fā)現(xiàn)，很多題型涉及了數(shù)學(xué)競(jìng)賽的相關(guān)知識(shí).并且，我國(guó)朱華偉研究院提出了“競(jìng)賽數(shù)學(xué)正在逐漸向中學(xué)數(shù)學(xué)滲透，促進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)課程改革”的意見(jiàn)，數(shù)學(xué)競(jìng)賽能夠給高中數(shù)學(xué)注入新鮮的血液.由此可見(jiàn)，高考數(shù)學(xué)與競(jìng)賽數(shù)學(xué)之間有著密切的聯(lián)系.我們將近些年的部分高考數(shù)學(xué)壓軸題與數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題加以對(duì)比，就會(huì)輕易發(fā)現(xiàn)這些題目在本質(zhì)上是一樣的，都是由數(shù)學(xué)競(jìng)賽中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想演化而來(lái).不同的是，高考數(shù)學(xué)將這一問(wèn)題劃分成了幾個(gè)“臺(tái)階”，學(xué)生能夠一步一步來(lái)完成.數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題以它獨(dú)特的視角和創(chuàng)新性的特征受到了很多出題者的青睞，他們更愿意選擇這類題型來(lái)考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)、技能和思維來(lái)解決非常規(guī)問(wèn)題的能力，把高考數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)競(jìng)賽相結(jié)合的命題方式將成為未來(lái)高考數(shù)學(xué)的命題新趨勢(shì).

二、高考數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)競(jìng)賽的聯(lián)系分析

1.以數(shù)學(xué)競(jìng)賽相關(guān)定理為背景的高考數(shù)學(xué)試題

競(jìng)賽數(shù)學(xué)中涵蓋了大部分的高考數(shù)學(xué)考試大綱中的內(nèi)容，它的形式更加靈活，內(nèi)容更加豐富，借助這一特點(diǎn)，能夠創(chuàng)造出更加新穎的高考數(shù)學(xué)試題.在高考數(shù)學(xué)中，很多試題就是借助數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的相關(guān)定理為背景來(lái)設(shè)計(jì)的.例如，特征方程就是高考數(shù)學(xué)試題中出現(xiàn)的以數(shù)學(xué)競(jìng)賽定理為背景的試題.像an+1=p·an+q·an-1的二階遞推式求通項(xiàng)公式的問(wèn)題，就可以借助特征方程x2=p·x+q來(lái)快速求解.其中，如果方程有兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)根x1，x2，那么就可以構(gòu)造出兩個(gè)等比數(shù)列{an+1-x1·an}和{an+1-x2·an}，進(jìn)而求出通項(xiàng){an+1-x1·an}和{an+1-x2·an}，再將an+1、an看成未知數(shù)求出an的表達(dá)式；如果方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，則先求出an+1-x1·an，然后再用待定系數(shù)法求出an的表達(dá)式.

例1已知數(shù)列{xn}，其中（n≥3），如果limn→∞xn=2，求x1的值是多少？

學(xué)生在解決這一問(wèn)題的時(shí)候，如果按照常規(guī)思路將原式進(jìn)行轉(zhuǎn)化得出難度較大，借助特征方程的相關(guān)知識(shí)，能夠順利的完成求解.

在該類型的考題中，還有些問(wèn)題涉及“伯努利——?dú)W拉裝錯(cuò)信箋”問(wèn)題，該類題型的意思如下：著名的瑞士數(shù)學(xué)家提出了一個(gè)有趣的問(wèn)題：某一人寫(xiě)了n（n∈N+）封信，并且都寫(xiě)上了對(duì)應(yīng)的地址，那么此人裝錯(cuò)所有信封的幾率是多少呢？之后，瑞士的一位數(shù)學(xué)家歐拉提出了運(yùn)用數(shù)列的方法解決這一問(wèn)題］，歐拉提出的這一方法，關(guān)鍵在于尋找目標(biāo)數(shù)列的遞推公式xn+2=（n-1）（xn+1+xn），難點(diǎn)就在于如何求解這一通項(xiàng)公式.當(dāng)n≥2時(shí)，上式就可以化簡(jiǎn)為伯努利——?dú)W拉裝錯(cuò)信箋的問(wèn)題常常游走在高考數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)競(jìng)賽題型之間，如果學(xué)生在高考前期接觸了這類競(jìng)賽型，那么他們就能夠運(yùn)用這一知識(shí)點(diǎn)快速地完成解題.

例2有個(gè)人給他的6不同的朋友寫(xiě)了6封不同的信，然后又寫(xiě)了6個(gè)信封，那么此人在投放信件的時(shí)候，有幾種方法使得信箋和收件人都不相同？

問(wèn)題分析：如果早期接觸過(guò)“伯努利——?dú)W拉裝錯(cuò)信箋”問(wèn)題，就可以直接應(yīng)用這一結(jié)論得出所以，此人有265種方法使得信箋和收件人都不相同.

2.以數(shù)學(xué)競(jìng)賽解題技巧為背景的高考數(shù)學(xué)試題

以數(shù)學(xué)競(jìng)賽解題技巧為背景的高考數(shù)學(xué)試題的解題技巧有很多，下面主要介紹構(gòu)造法的應(yīng)用.在高考數(shù)學(xué)試題的解題中，我們需要通過(guò)構(gòu)造條件與結(jié)論之間的“橋梁”來(lái)實(shí)現(xiàn)解題，期中構(gòu)造橋梁的方法就是“構(gòu)造法”.構(gòu)造法是在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中較為常用的一種解題技巧，主要包括構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造方程、構(gòu)造坐標(biāo)和構(gòu)造向量等，需要學(xué)生借助自身敏銳的觀察能力和扎實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)來(lái)完成.

構(gòu)造函數(shù)法就是通過(guò)對(duì)題目的透徹分析，然后構(gòu)造出對(duì)應(yīng)的函數(shù)，并借助函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來(lái)完成求解.

例3如果不等式的解集區(qū)間為［a，b］，并且b-a=1，那么k的值是多少？

問(wèn)題分析：通過(guò)觀察我們不難發(fā)現(xiàn)，題目中給出的不等式為無(wú)理不等式，利用不等式的相關(guān)知識(shí)解決起來(lái)難度較大，因此我們可以通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方式進(jìn)行求解.令，通過(guò)數(shù)形結(jié)合可以看出，半圓在直線y=k（x+1）下方時(shí)，x∈（1，2），此時(shí)直線y=k（x+1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)

構(gòu)造方程就是根據(jù)已知條件中的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)造出新的方程和方程組，并借助方程的相關(guān)知識(shí)完成解題，在構(gòu)造方程進(jìn)行解題的過(guò)程中，關(guān)鍵在于挖掘題目中能夠構(gòu)造方程的隱含條件.

例4已知x，y均為實(shí)數(shù)，如果4x2+y2+xy=1，那么2x+y的最大值是多少？

問(wèn)題分析：面對(duì)這一題目，常規(guī)的解題思路是借助不等式a2+b2≥2ab的變形去求解，這樣的解題過(guò)程較為復(fù)雜.題目中隱含著2x+y和2xy之間的數(shù)量關(guān)系，如果我們通過(guò)構(gòu)造方程的形式來(lái)進(jìn)行求解，那么整個(gè)解題過(guò)程就會(huì)變得更加簡(jiǎn)單.將4x2+y2+xy=1變形可得（2x+y）2-3xy=1，令t=2x+y，則，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可以得知2x，y分別是方程的兩個(gè)根.又因?yàn)閤，y均為實(shí)數(shù)，那么2x，y也為實(shí)數(shù)0，則所以2x+y的最大值是

構(gòu)造坐標(biāo)法就是通過(guò)建立直角坐標(biāo)系的方式，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題去求解，同樣，我們也可以根據(jù)解題需要，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題去求解.

例5已知在△ABC中，AB=2，那么該三角形的最大面積是多少？

問(wèn)題分析：常規(guī)的解題思路是利用三角形的面積公式去求解，這樣的求解步驟較多，容易出錯(cuò).這就要求學(xué)生打破思維，創(chuàng)造性地運(yùn)用坐標(biāo)法去求解.以直線AB為x軸，AB的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，那么A（-1，0），B（1，0），設(shè)C（x，y），因?yàn)?，所以，整理可得（x-3）2+y2=8（y≠0）.所以當(dāng)時(shí)，三角形的面積最大是

小結(jié)

高考數(shù)學(xué)試題與數(shù)學(xué)競(jìng)賽有著密切的聯(lián)系，很多數(shù)學(xué)競(jìng)賽部分的知識(shí)被靈活地運(yùn)用到了高考數(shù)學(xué)中，以此來(lái)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和思維能力，研究高考數(shù)學(xué)試題與數(shù)學(xué)競(jìng)賽的聯(lián)系對(duì)于提高數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要的意義.