重視初中數(shù)學(xué)概念的生成過程
——以“因式分解”的教學(xué)為例

☉浙江省東陽市外國(guó)語學(xué)校 王玲玲

數(shù)學(xué)概念是反映數(shù)學(xué)數(shù)量關(guān)系與空間形式本質(zhì)屬性的思維方式，是數(shù)學(xué)思維的細(xì)胞.因此，講清概念，使學(xué)生正確地理解概念，對(duì)于提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量具有重要的意義.

概念的教學(xué)應(yīng)該讓學(xué)生在現(xiàn)有知識(shí)的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷前人所經(jīng)歷過的發(fā)現(xiàn)、認(rèn)知、升華的過程，充分暴露知識(shí)的形成過程，讓全體學(xué)生都動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦，一起探索、發(fā)現(xiàn)、歸納，經(jīng)歷這樣的過程所獲得的知識(shí)，學(xué)生想忘記都難.而對(duì)于我們現(xiàn)在的很多概念課，我很想問一下：“過程都上哪兒去了？”

如果想讓學(xué)生對(duì)概念“過目不忘”，就必須讓學(xué)生有經(jīng)歷.“經(jīng)歷”，是課標(biāo)里用來描述過程的行為動(dòng)詞之一，是指在特定的教學(xué)活動(dòng)中獲得一些感性認(rèn)識(shí).它的同義詞還有“體驗(yàn)”“探究”等.課堂教學(xué)猶如一次旅游，教師為導(dǎo)游，對(duì)每個(gè)學(xué)生來說，不論過程怎樣，每一次“經(jīng)歷”都值得擁有，都具有不可替代的價(jià)值.

下面，以“因式分解”第一節(jié)課為例，來談?wù)剬?duì)概念教學(xué)的嘗試.因式分解與前面學(xué)習(xí)的整式乘法有著密切關(guān)系，又是后面學(xué)習(xí)分式的基礎(chǔ).因式分解作為一種恒等變形，是初中數(shù)學(xué)課程“數(shù)與代數(shù)”的重要內(nèi)容，在恒等變形、代數(shù)式的運(yùn)算、解方程、函數(shù)中有著廣泛的應(yīng)用.因式分解與整式乘法是互逆關(guān)系，因式分解的變形過程中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)運(yùn)算.因式分解是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，是我們解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具.因式分解概念的滲透就顯得很重要.

這節(jié)課主要是“因式分解的概念”及“因式分解與整式乘法的互逆關(guān)系”，重點(diǎn)就是對(duì)這兩者的理解.

一、自己閱讀，尋找關(guān)鍵詞

一般來說，新課導(dǎo)入總要?jiǎng)?chuàng)設(shè)一些問題情境，而我們常常為了創(chuàng)設(shè)情境而創(chuàng)設(shè)，并沒有多大的意義.我當(dāng)時(shí)想了很久，直接采用了下面的方式.

填一填：

m（a+b+c）=_______；（a+b）（a-b）=_______；（a+1）2=_______；（x-3）（2x-5）=________.

師：這組算式是我們學(xué)過的什么運(yùn)算？

生：整式的乘法.

師：我們知道整式的乘法是由整式的積的形式轉(zhuǎn)化成多項(xiàng)式的形式，（PPT播放整式乘法的特點(diǎn)）這組算式是等式.現(xiàn)在我把每個(gè)算式左、右互換后得到了以下等式：ma+mb+mc=m（a+b+c），a2-b2=（a+b）（a-b），a2+2a+1=（a+1）2，2x2-11x+15=（x-3）（2x-5）.

師：和前面一組組等式相比，你能發(fā)現(xiàn)這組等式有何特點(diǎn)嗎？

生：把多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為幾個(gè)整式的積的形式.

師：這樣的變形就是我們今天要學(xué)習(xí)的因式分解.請(qǐng)同學(xué)們翻開課本第98頁，讀一讀因式分解的概念，說一說其中哪幾個(gè)詞是重點(diǎn).

生1：多項(xiàng)式.

生2：多項(xiàng)式、幾個(gè)整式的積.

師：大家說得都很有道理，通過你的閱讀，你對(duì)概念的理解已經(jīng)正確了嗎？下面就來考考你.

設(shè)計(jì)意圖：我在教學(xué)中并沒有直接給出因式分解的概念，也沒有對(duì)學(xué)生的總結(jié)做任何的評(píng)判，而是鼓勵(lì)學(xué)生自主探索，尋找關(guān)鍵詞.并不僅僅語文需要閱讀，數(shù)學(xué)同樣需要閱讀，所以我只是給學(xué)生搭建了一個(gè)平臺(tái)，學(xué)生仍然是課堂的主體，這樣能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，使之主動(dòng)探索、研究，讓學(xué)生都參與到課堂活動(dòng)中，通過學(xué)生自我感受，培養(yǎng)學(xué)生閱讀、分析、歸納的能力，逐步提高自學(xué)能力、獨(dú)立思考的能力、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力，逐漸養(yǎng)成良好的個(gè)性品質(zhì).

二、暴露解疑，歸納關(guān)鍵詞

考一考：下列代數(shù)式從左到右的變形是因式分解嗎？為什么？

（1）a2+a=a（a+1）；（2）（a+3）（a-3）=a2-9；（3）4x2-4x+1=（2x-1）2；（4）x2-3x+1=x（x-3）+1；（5）x2+1=x（ x+）；（6）24a3b2c=（2a）3（3b）2（4c）；（7）x-4=（-2）（+2）.

學(xué)生獨(dú)立思考一段時(shí)間.

師：請(qǐng)同學(xué)們來說一說你覺得判斷過程中存在不確定、有疑問的小題.

生1：第（7）題.

生2：第（5）題和第（6）題.

師：我們一起來看這幾道題.

講解過程中重點(diǎn)講評(píng)了學(xué)生有問題的幾道題，說明原因.

通過以上環(huán)節(jié)，再一次總結(jié)因式分解的幾個(gè)關(guān)鍵詞，加深了對(duì)因式分解概念的理解.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在獲取新知識(shí)的同時(shí)，思維是發(fā)散的、多種多樣的，也許某個(gè)錯(cuò)誤的想法，可以更好地拓展學(xué)生的思維，鞏固學(xué)生的新知識(shí).在學(xué)生練習(xí)后再給出因式分解的定義，指出關(guān)鍵詞，說明在判斷過程中的幾點(diǎn)溫馨提示，會(huì)讓學(xué)生對(duì)概念的理解更加深刻.

三、再次鞏固，加深理解

師：我們不妨再來幾道題鞏固一下：

判斷下列各式從左到右是否是因式分解.

（1）x2+2x-3=x（x+2）-3；（2）x2-2=（x-）（x+）；（3）（a+b）x=ax+bx；（4）x-1=x（ 1-）.

設(shè)計(jì)意圖：前面雖然已經(jīng)進(jìn)行了練習(xí)，但是那是在沒有明確說明概念之前的，學(xué)生還存在一定的疑惑和模棱兩可.這次的練習(xí)是在明確因式分解概念之后，可以考查學(xué)生對(duì)之前有疑惑的地方是否已經(jīng)完全弄懂，對(duì)因式分解概念的理解是否已經(jīng)到位.

四、理解互逆關(guān)系，檢驗(yàn)因式分解

師：我們學(xué)習(xí)了因式分解的概念，接下來看看能否將下列多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.

（1）∵3a（a+4）=3a2+12a，

∴3a2+12a=（ ）（ ）.

（2）∵（a+3）2=a2+6a+9，

∴a2+6a+9=（ ）（ ）.

（3）∵（2-a）（2+a）=4-a2，

∴4-a2=（ ）（ ）.

學(xué)生回答.

師：你是根據(jù)什么填空的？

師：我們發(fā)現(xiàn)上面的式子是我們學(xué)過的整式乘法，而下面的是今天學(xué)的因式分解.想一想，因式分解和整式乘法有什么關(guān)系？

生：互逆關(guān)系.

師：我們知道了兩者之間的關(guān)系，要檢查一個(gè)因式分解是否正確，可以通過什么進(jìn)行檢驗(yàn)？

生：整式乘法.

例 題：（1）x2y-xy2=xy （x-y）；（2）2x2-1=（2x+1）（2x-1）；（3）x2+2x-8=（x+2）（x-4）；（4）a2+2a+2=（a+2）2.

例題詳解，略.

師：看因式分解是否正確，只要看什么就可以了？

生：只要看整式相乘的積與多項(xiàng)式是否相等就可以了.

設(shè)計(jì)意圖：適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生，進(jìn)一步清晰地得出整式乘法和因式分解之間的互逆關(guān)系.再引導(dǎo)學(xué)生思考能否利用因式分解與整式乘法是互逆的這一關(guān)系來解決檢驗(yàn)因式分解是否正確的問題，通過練習(xí)，讓學(xué)生自己總結(jié)出只要看右邊幾個(gè)整式的乘積與左邊的多項(xiàng)式是否相等就可以了.這樣的過程，讓學(xué)生在主動(dòng)學(xué)習(xí)的過程中掌握了因式分解與整式乘法的互逆關(guān)系，特別是在利用這種互逆關(guān)系解決問題的過程中加深了對(duì)互逆的理解.

至此為止，因式分解的概念和與整式乘法的關(guān)系基本講解清楚了.這個(gè)教學(xué)過程就是讓學(xué)生經(jīng)歷從發(fā)現(xiàn)到認(rèn)知，然后上升到理論并形成統(tǒng)一認(rèn)識(shí)的過程，在接下來的教學(xué)，只需要鞏固形成的知識(shí)，并且學(xué)以致用.這樣一節(jié)課下來，學(xué)生只要認(rèn)真參與，應(yīng)該就不會(huì)忘記了.

一位教育家說過“之所以會(huì)忘記，是因?yàn)闆]有經(jīng)歷過矛盾、沖突和重組”.事實(shí)表明，再也沒有比在問題發(fā)生的實(shí)際場(chǎng)境——課堂上所引起的矛盾、沖突、質(zhì)疑等對(duì)學(xué)生各方面的素養(yǎng)有更好的培養(yǎng)途徑了.當(dāng)堂辨析、質(zhì)疑，不但可以很好地培養(yǎng)學(xué)生的思辨能力、口頭表達(dá)能力、思考能力，同時(shí)教會(huì)學(xué)生實(shí)事求是地對(duì)待問題、不回避錯(cuò)誤、敢于暴露缺點(diǎn)的品質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的人文價(jià)值.

例如，在本節(jié)課中，對(duì)于本節(jié)課的兩個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容：因式分解概念，因式分解和整式乘法的互逆關(guān)系，通過兩次暴露質(zhì)疑，讓學(xué)生首先暴露了錯(cuò)誤，然后用學(xué)生比較容易接受的方式解決掉，相比教師一言堂的教法學(xué)生印象會(huì)更深刻些吧.

而且在本節(jié)課的教學(xué)中，教者把“以生為本”貫徹到底，把課堂“還”給了學(xué)生，讓學(xué)生來做課堂的主人.由學(xué)生關(guān)注學(xué)生和審視學(xué)生的錯(cuò)誤，由學(xué)生矯正學(xué)生的問題，教師只是在關(guān)鍵時(shí)候點(diǎn)撥一下，也可以更加激發(fā)學(xué)生上課的積極性.

教學(xué)有法，教無定法，在數(shù)學(xué)概念課堂上如何讓學(xué)生有所獲，學(xué)有所得，并且“過目不忘”，這應(yīng)該是我們努力的方向.