對一道雙變元模擬試題的多解探究

☉湖南省永州市第四中學 劉申奧

在近幾年的高考題與模擬題中，經(jīng)常會碰到求解雙變元或多變元的代數(shù)式的最值或取值范圍問題.此類問題往往難度較大，思維方式多變，方法有時也多樣.而當我們解完一道題以后，要不斷領悟反思，從多角度切入進行深度挖掘，從而達到觸類旁通、一題多解的效果.下面結合一道雙變元代數(shù)式的取值范圍試題來加以實例剖析，結合多角度切入，達到殊途同歸的效果.

題目已知實數(shù)a，b滿足a2-ab+b2=2，則a2+ab+b2的取值范圍是________.

已知雙變元代數(shù)式的定值條件，如何通過這個已知條件巧妙轉化或應用來處理所要求解的雙變元代數(shù)式的取值范圍問題，可以利用不同的思維方法來處理，巧妙轉化，方便解決.

引入?yún)?shù)t=a2+ab+b2，結合條件a2-ab+b2=2得到ab=，利用根與系數(shù)的關系將實數(shù)a，b轉化為關于x的方程的兩個根，通過判別式的確定得到t≤6，進而得以確定6，從而得以求解.

解法1：設，結合可得

又由a2-ab+b2=（a+b）2-3ab=2，

則知實數(shù)a，b是關于x的方程的兩個根，

引入?yún)?shù)t=a2+ab+b2，結合條件a2-ab+b2=2得到t（a2-ab+b2）=2（a2+ab+b2），進而轉化為關于a的二次方程（t-2）a2-（t+2）ab+（t-2）b2=0，利用判別式來求解含t的二次不等式，得到，從而得以求解.

解法2：設t=a2+ab+b2，結合a2-ab+b2=2可得t（a2-ab+b2）=2（a2+ab+b2），

整理可得（t-2）a2-（t+2）ab+（t-2）b2=0，

由判別式△=（t+2）2b2-4（t-2）2b2≥0，

整理可得△=（t+2）2-4（t-2）2≥0，

結合條件a2-ab+b2=2，通過構造恒等式把a2+ab+b2轉化為a2-ab+b2與（a+b）2及（a-b）2的線性關系，并利用不等式的性質(zhì)來分別確定相應的最小值與最大值，進而得到a2+ab+b2的取值范圍.

解法3：由于a2-ab+b2=2，

又a2+ab+b2=3（a2-ab+b2）-2（a-b）2≤3（a2-ab+b2）=6，當且僅當a=b時等號成立.

結合條件a2-ab+b2=2，通過轉化，引入?yún)?shù)，結合分類討論思想，在t≠0時構造齊次式，把a2+ab+b2轉化為含t的齊次式，利用對勾函數(shù)的取值范圍，進而綜合得到a2+ab+b2的取值范圍.

解法4：由于a2-ab+b2=2，則

當t≠0時，則有

結合條件a2-ab+b2=2，通過轉化得到a2+b2=2+ab，利用基本不等式得到a2+b2≥2|ab|，轉化為不等式2+ab≥2|ab|，通過對不等式兩邊平方來求解含有ab的二次不等式，并利用已知條件的轉化得到a2+ab+b2=2+2ab，進而得以確定a2+ab+b2的取值范圍.

解法5：由a2-ab+b2=2可得a2+b2=2+ab.

因為a2+b2≥2|ab|，所以2+ab≥2|ab|，

兩邊平方整理可得3a2b2-4ab-4≤0，

由于a2-ab+b2=2，則

即a2+ab+b2的取值范圍是

通過對已知關系式a2-ab+b2=2進行配方處理得，進而結合三角換元法進行換元，得到代入關系式a2+ab+b2，利用三角恒等變換轉化為正弦型函數(shù)，并利用三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)來確定相應的最值，從而確定a2+ab+b2的取值范圍.

解法6：由于a2-ab+b2=2，配方可得

故a2+ab+b2的取值范圍是

根據(jù)線性關系b=ka進行轉化，結合條件a2-ab+b2=2，把對應的雙變元代數(shù)式t=a2+ab+b2轉化為含有參數(shù)k的分式問題，然后將其巧妙地轉化為相應的二次方程問題，利用方程有解所對應的判別式應滿足的不等式來確定參數(shù)t的取值范圍，進而確定a2+ab+b2的取值范圍.

解法7：設b=ka，代入a2-ab+b2=2，整理可得a2=

整理可得（t-2）k2-（t+2）k+（t-2）=0，

由判別式△=（t+2）2-4（t-2）2≥0，

通過以上多種方法求解雙變元代數(shù)式的取值范圍問題，使我們感受到，切入點不同，破解策略多種多樣.其實，妙解相應的雙變元代數(shù)式的最值或取值范圍問題，巧妙的思維方法值得學習，更值得掌握.在具體求解此類問題的過程中，要學會靈活變通，巧妙應用.W