數(shù)形結(jié)合 難題不難

摘 要：素質(zhì)教育注重學(xué)生全面發(fā)展，新課程改革強(qiáng)調(diào)能力培養(yǎng)，作為一門(mén)應(yīng)用性極強(qiáng)的學(xué)科，高中數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)已不僅是學(xué)會(huì)書(shū)中的死知識(shí)，解決問(wèn)題成為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的，解決問(wèn)題的根本在于思想方法的應(yīng)用。數(shù)形結(jié)合思想貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)，有效保障學(xué)生技能的訓(xùn)練和提升。本論文重點(diǎn)闡述數(shù)形結(jié)合在解決函數(shù)與方程有關(guān)問(wèn)題時(shí)的應(yīng)用啟發(fā)，進(jìn)而說(shuō)明數(shù)形結(jié)合在處理填空壓軸題時(shí)發(fā)揮重要作用，鼓勵(lì)學(xué)生嘗試突破所謂的“難題”，讓難題不難。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；函數(shù)與方程；難點(diǎn)突破

恩格斯在《自然辯證法》中定義：數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系和空間形式的科學(xué)。數(shù)學(xué)是研究數(shù)和形的科學(xué)，即“數(shù)形結(jié)合”是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征。數(shù)學(xué)中的兩大研究對(duì)象“數(shù)”和“形”的矛盾統(tǒng)一是數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)因，數(shù)形結(jié)合則是貫穿數(shù)學(xué)發(fā)展的一條主線，使數(shù)學(xué)在實(shí)踐中的應(yīng)用更加廣泛而深遠(yuǎn)。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，是數(shù)學(xué)知識(shí)的高度概括，是學(xué)生解決問(wèn)題的手段。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)思想的精髓之一。

顧名思義，數(shù)形結(jié)合就是在研究問(wèn)題時(shí)把“數(shù)”和“形”結(jié)合，以形助數(shù)，以數(shù)解形，復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，它是數(shù)學(xué)規(guī)律性和靈動(dòng)性的有機(jī)統(tǒng)一。正確使用數(shù)形結(jié)合有三大原則：1. 等價(jià)性原則；即代數(shù)性質(zhì)與幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換應(yīng)是等價(jià)的。有時(shí)由于圖形的局限性，不能完整地表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時(shí)的圖形性質(zhì)只是一種直觀而淺顯的說(shuō)明，但它同時(shí)也是抽象而嚴(yán)格證明的誘導(dǎo)。能否保持信息轉(zhuǎn)換等價(jià)，反映了數(shù)學(xué)素質(zhì)。2. 雙向性原則；既進(jìn)行幾何直觀的分析，又進(jìn)行代數(shù)抽象的探索，代數(shù)表達(dá)及其運(yùn)算能克服幾何直觀的諸多局限性。幾何問(wèn)題的代數(shù)化是數(shù)學(xué)的一大進(jìn)步。數(shù)形結(jié)合發(fā)現(xiàn)數(shù)與形的雙重優(yōu)越性，而不是一方取代一方。

3. 簡(jiǎn)單性原則；即找到解題思路后，用幾何法還是代數(shù)法，或兼用兩種方法，取決于何種方法更簡(jiǎn)單，更便于達(dá)到數(shù)學(xué)目的，而非生搬硬套一種流行模式。

近幾年高考及各類綜合卷填空靠后部分基本都會(huì)設(shè)置一道函數(shù)與方程相關(guān)問(wèn)題，學(xué)生求解起來(lái)甚為艱澀，可以說(shuō)填空12、13、14三題對(duì)相當(dāng)一部分學(xué)生而言就是“放棄”，事實(shí)上真的是難到極致嗎？歸根結(jié)底還是學(xué)生自身在作祟，編排越后題越難，加之畏難情緒，解題技能不純熟，最終導(dǎo)致得分率較低。如何在日常教學(xué)中滲透難點(diǎn)，試解難題是每位教師的職責(zé)。數(shù)形結(jié)合作為研究函數(shù)的重要手段，是找到解題突破口的一把利器，是一種實(shí)際而有效的方法。

上述例題讓我們有這樣的體會(huì)，圖形有助于認(rèn)識(shí)函數(shù)性質(zhì)，直觀發(fā)現(xiàn)函數(shù)的變化特征；圖形會(huì)凸顯問(wèn)題解決的思路，找到分類的標(biāo)準(zhǔn)與方法；圖形會(huì)顯現(xiàn)位置關(guān)系，使一些隱含條件清晰，從而縮短解題途徑。數(shù)形結(jié)合就是充分應(yīng)用數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)性和形的直觀性，將抽象思維與形象思維結(jié)合起來(lái)，通過(guò)對(duì)圖形的描述、代數(shù)的論證來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾用詩(shī)歌闡述“數(shù)形結(jié)合”：數(shù)形本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非。幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離。一方面，借助于圖形的性質(zhì)，將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)單形象化，給人以直觀感；另一方面，將圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，可獲得準(zhǔn)確的結(jié)論?！皵?shù)”和“形”的信息轉(zhuǎn)換，相互滲透，不僅使解題簡(jiǎn)潔明快，還開(kāi)拓解題思路，為研究和探索數(shù)學(xué)問(wèn)題開(kāi)辟了一條重要途徑。數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn)，輔助我們更快更好地解決問(wèn)題，所謂的“壓軸題”，實(shí)際上就是綜合程度較高，若能把一個(gè)個(gè)零散的知識(shí)點(diǎn)剝離，逐個(gè)擊破，那么壓軸題就解決了，要做到這一點(diǎn)，關(guān)鍵在于提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維，還要用對(duì)用好數(shù)學(xué)方法。利用數(shù)形結(jié)合，多點(diǎn)練習(xí)，多點(diǎn)反思，難題不難。

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作者簡(jiǎn)介：凌佳麗，江蘇省蘇州市，江蘇省蘇州市吳江區(qū)平望中學(xué)。