核心素養(yǎng)視角下數(shù)學(xué)程序性知識(shí)的教學(xué)改進(jìn)

馬曉丹

（北京教育學(xué)院，北京 100120）

程序性知識(shí)通常以需要遵循的一系列或序列步驟的形式出現(xiàn)，它包括技能、算法、技術(shù)和方法等。[1]數(shù)學(xué)定理、法則、運(yùn)算律等都屬于數(shù)學(xué)程序性知識(shí)。具體來說，數(shù)學(xué)程序性知識(shí)可以分為三類：第一類是數(shù)學(xué)技能與算法，如合并同類項(xiàng)，解一元一次方程等，這部分知識(shí)通常能夠得到一個(gè)較為確定的結(jié)果；第二類是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的技術(shù)和方法，如完全歸納法與不完全歸納法，待定系數(shù)法與換元法等，這部分知識(shí)雖然不能得到一個(gè)確定的結(jié)果，但卻能夠?yàn)榈玫揭粋€(gè)確定的結(jié)果提供相應(yīng)的技術(shù)支持；第三類是恰當(dāng)使用程序性知識(shí)的準(zhǔn)則，如求解二元一次方程組時(shí)，用于判斷“何時(shí)使用代入消元法，何時(shí)使用加減消元法”的知識(shí)。程序性知識(shí)不同于陳述性知識(shí)，它不是用來回答“是什么”的知識(shí)，而是用于回答“如何”做某事的知識(shí)；它也不同于策略性知識(shí)，策略性知識(shí)涉及的是更為一般的方法，包括普適于不同學(xué)科的方法，以及統(tǒng)領(lǐng)著學(xué)科內(nèi)不同領(lǐng)域的上位指導(dǎo)思想，而程序性知識(shí)涉及的方法更為具體，通常作用于一個(gè)具體的內(nèi)容領(lǐng)域或一類具體的問題。一些研究將策略性知識(shí)也納入程序性知識(shí)中，并稱之為廣義的程序性知識(shí)，本文所指程序性知識(shí)是不包括策略性知識(shí)的，即狹義的程序性知識(shí)。

一、程序性知識(shí)的教學(xué)誤區(qū)

由于程序性知識(shí)的規(guī)律性較強(qiáng)，程序性知識(shí)的學(xué)習(xí)更容易形成可操作的步驟。當(dāng)自動(dòng)化程度的高低被用于衡量程序性知識(shí)的教學(xué)時(shí)，隨之衍生出的問題不容忽視。這些問題主要集中在以下三個(gè)方面：一是，重視規(guī)則自動(dòng)化的階段，忽視事實(shí)性知識(shí)、概念性知識(shí)的記憶和理解。知識(shí)學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)循序知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的規(guī)律。陳述性知識(shí)源于知識(shí)的建構(gòu)，程序性知識(shí)源于知識(shí)的轉(zhuǎn)化，這里的“轉(zhuǎn)化”指的是陳述性知識(shí)向程序性知識(shí)的轉(zhuǎn)化。將“規(guī)則的自動(dòng)化”視為程序性知識(shí)的學(xué)習(xí)目標(biāo)，而忽視規(guī)則學(xué)習(xí)的陳述階段會(huì)影響理解的深度和學(xué)習(xí)的長效性。二是，重視簡單規(guī)則的重復(fù)訓(xùn)練，忽略簡單規(guī)則向高級(jí)規(guī)則的轉(zhuǎn)化階段。加涅的智慧技能層級(jí)論認(rèn)為，高級(jí)規(guī)則學(xué)習(xí)的前提條件是規(guī)則，規(guī)則學(xué)習(xí)的前提條件是概念。這里的程序性知識(shí)不僅要經(jīng)歷從概念到規(guī)則的轉(zhuǎn)化階段，還需要經(jīng)歷從規(guī)則到高級(jí)規(guī)則的轉(zhuǎn)化階段。重復(fù)訓(xùn)練只能滿足簡單規(guī)則的學(xué)習(xí)需要，高級(jí)規(guī)則的學(xué)習(xí)是對(duì)多個(gè)簡單規(guī)則的整合。忽略簡單規(guī)則向高級(jí)規(guī)則的轉(zhuǎn)化階段，會(huì)影響知識(shí)技能向問題解決能力的轉(zhuǎn)化。三是，重視數(shù)學(xué)情境中程序性知識(shí)的運(yùn)用，忽略真實(shí)情境中程序性知識(shí)的運(yùn)用。數(shù)學(xué)情境通常是原理結(jié)構(gòu)相同、表面結(jié)構(gòu)相近的問題，這類問題能夠?qū)崿F(xiàn)程序性知識(shí)的直接運(yùn)用，形成近遷移。從某種意義上說，數(shù)學(xué)情境在一定程度上會(huì)限制表面結(jié)構(gòu)的變化空間。相比于數(shù)學(xué)情境，真實(shí)情境更利于提出原理結(jié)構(gòu)相同、表面結(jié)構(gòu)不同的數(shù)學(xué)問題，從而促進(jìn)遠(yuǎn)遷移的形成。

二、核心素養(yǎng)對(duì)程序性知識(shí)的學(xué)習(xí)提出要求

《教育部關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》（教基二〔2014〕4 號(hào)）將核心素養(yǎng)定義為“學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力”?；谶@一界定展開的研究體現(xiàn)了以“學(xué)生發(fā)展”為核心的教育視角的變化。[2]近年來，“朝著哪一方向發(fā)展”，又該“如何發(fā)展”成為教育研究者普遍關(guān)注的問題。立足我國國情，縱覽世界各國、各地區(qū)對(duì)“核心素養(yǎng)”的內(nèi)涵解讀，“學(xué)生發(fā)展”的方向呈現(xiàn)出如下特點(diǎn)：首先，“學(xué)生發(fā)展”指向了終身發(fā)展。已有研究普遍認(rèn)同，“核心素養(yǎng)的獲得是一個(gè)持續(xù)的、終身的學(xué)習(xí)過程”[3]，學(xué)生需要在一個(gè)持續(xù)學(xué)習(xí)的過程中尋求發(fā)展。其次，“學(xué)生發(fā)展”指向了全面發(fā)展。核心素養(yǎng)根植于知識(shí)、能力，卻比知識(shí)、能力更為豐富，是知識(shí)、能力、態(tài)度的綜合化形態(tài)。[4]最后，“學(xué)生發(fā)展”指向了深化發(fā)展。學(xué)生的認(rèn)知水平不能止步于“記憶與理解”“運(yùn)用與分析”，更應(yīng)該邁向“評(píng)價(jià)和創(chuàng)造”的高度。學(xué)生能夠配合先前的學(xué)習(xí)經(jīng)歷來解決新問題是具備高水平學(xué)科能力的表現(xiàn)?？偟膩碚f，核心素養(yǎng)為新時(shí)代的教育發(fā)展提供了新的方向，新方向?qū)W(xué)科知識(shí)的教學(xué)意義也是重大的。下文將圍繞數(shù)學(xué)程序性知識(shí)展開討論。

（一）指向終身發(fā)展的數(shù)學(xué)程序性知識(shí)學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是長效的

“終身發(fā)展”的意義是多重的。宏觀意義上講，終身發(fā)展需要成年學(xué)習(xí)者仍然具備學(xué)習(xí)的能力。接受終身數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成年學(xué)習(xí)者被認(rèn)為是最富有成效的，最具有經(jīng)濟(jì)活力的和最能滿足個(gè)體需要的。[5]微觀意義上講，終身發(fā)展需要學(xué)習(xí)者在基礎(chǔ)教育階段習(xí)得的知識(shí)技能能夠?qū)ζ湮磥淼膫€(gè)體發(fā)展發(fā)揮積極的作用。當(dāng)流體推理（fluid reasoning）、具體知識(shí)（crystallized knowledge）、短期記憶和處理速度等變量可控時(shí)，隨著年級(jí)和年齡的增加，長時(shí)記憶的提取能力能夠?qū)?shù)學(xué)計(jì)算和數(shù)學(xué)問題解決做出更好的預(yù)測。[6]那么，長時(shí)記憶又受哪些因素影響呢？當(dāng)給予學(xué)習(xí)者一定的線索作為提示時(shí)，長時(shí)記憶提取的效果取決于存儲(chǔ)的結(jié)構(gòu)。換言之，有組織、有層次的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)更容易在線索的刺激下進(jìn)入激活狀態(tài)。因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的長效機(jī)制應(yīng)當(dāng)以有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)為前提，去機(jī)械化的數(shù)學(xué)程序性知識(shí)的學(xué)習(xí)是有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的做法之一，具體表現(xiàn)為將程序性知識(shí)的學(xué)習(xí)建立在陳述性知識(shí)的基礎(chǔ)之上。如在學(xué)習(xí)三角形中位線時(shí)，學(xué)生首先要能夠?qū)θ切沃形痪€的定義進(jìn)行陳述，即理解什么是三角形中位線，在熟練之后能夠在具體情境中作出判斷就不再需要這樣地重復(fù)了，久而久之，即便學(xué)生不能從字面上復(fù)述這一概念，學(xué)生仍能對(duì)三角形中位線作出判斷，這說明學(xué)生已經(jīng)達(dá)到理解的水平，這里的陳述性知識(shí)的作用是使學(xué)生能夠理解數(shù)學(xué)的意義。[7]

（二）指向全面發(fā)展的數(shù)學(xué)程序性知識(shí)學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是靈活的

20世紀(jì)90年代以來，我國始終把學(xué)生的“全面發(fā)展”作為教育方針或教育目標(biāo)之一，雖然表述上存在差異，但都將社會(huì)主義方向作為核心要素。[8]“全面發(fā)展”在教育學(xué)中的本原意義可以在馬克思主義原理中找到依據(jù)，即“促進(jìn)人的勞動(dòng)能力的全面發(fā)展”。這也就是說，教育的“全面發(fā)展”旨在“教育與生產(chǎn)勞動(dòng)的結(jié)合”，并在這一過程中追求“德智體美的全面發(fā)展”。在這一原則指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅是“學(xué)以致用”的，還應(yīng)該是“活學(xué)活用”的。這樣的知識(shí)當(dāng)然不是單純依靠提取事實(shí)或按照某一規(guī)則直接操作就能獲得的知識(shí)，而是能夠幫助人們解決在實(shí)際生產(chǎn)和生活中遇到的問題的知識(shí)，它們是活的知識(shí)。[9]舉例來說，“要想在兩個(gè)村莊一側(cè)的河道邊修建一個(gè)商店，應(yīng)當(dāng)建造在什么位置？若修建從村莊通向商店的公路，公路又當(dāng)如何鋪設(shè)？”傳統(tǒng)的問題引領(lǐng)是從“垂直平分線性質(zhì)”“軸對(duì)稱”開始的，而靈活地解決這一問題需要激發(fā)學(xué)生更為豐富的思考。如有的學(xué)生認(rèn)為，“商店所在的位置應(yīng)當(dāng)?shù)絻纱迩f的距離和最小，這樣鋪設(shè)公路的成本最低”；有的學(xué)生提出，“在修路預(yù)算允許的情況下，不一定選取最短路徑，商店可以選在到兩個(gè)村莊距離相等的位置上，也就是兩村莊連線的垂直平分線與河道的交點(diǎn)處”；還有學(xué)生指出，“商店位置的選取還需要考慮村莊人口等因素，商店的位置可以適當(dāng)靠近人口多的村莊”?？梢?，綜合考量認(rèn)知的和非認(rèn)知的要素，鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合具體的情境，靈活地運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)和已有的經(jīng)驗(yàn)，才能引領(lǐng)學(xué)生的全面發(fā)展。

（三）指向深化發(fā)展的數(shù)學(xué)程序性知識(shí)學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是具有生長性的

數(shù)學(xué)知識(shí)呈現(xiàn)的順序性使得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能是隨意的，也不是所有的學(xué)科知識(shí)都具有這樣的層次性，數(shù)學(xué)可能是當(dāng)前被教的知識(shí)結(jié)構(gòu)中最具關(guān)聯(lián)性和層次性的。[10]經(jīng)驗(yàn)與新知之間的結(jié)構(gòu)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說是重要的，有深度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是在學(xué)習(xí)者已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上主動(dòng)建構(gòu)的過程，習(xí)得的新知又將成為后續(xù)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)。經(jīng)驗(yàn)與知識(shí)的相互轉(zhuǎn)化是判斷深度學(xué)習(xí)的依據(jù)之一。[11]這里的“轉(zhuǎn)化”是在遷移的作用下完成的。加涅根據(jù)原有知識(shí)在新情境中的應(yīng)用難度和結(jié)果，將遷移劃分為側(cè)向遷移和縱向遷移，前者是對(duì)已經(jīng)習(xí)得的概念和原理的運(yùn)用，后者則用于解決新的問題并得出新的規(guī)則。[12]相對(duì)于側(cè)向遷移來說，指向深化發(fā)展的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更強(qiáng)調(diào)縱向遷移。縱向遷移對(duì)解決新問題的激發(fā)作用，使得學(xué)習(xí)者已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到持續(xù)的發(fā)展與完善。因此，程序性知識(shí)的學(xué)習(xí)不僅要追溯到它的陳述性階段，追求理解的深度；還要從已學(xué)習(xí)的程序性知識(shí)中尋找可以遷移的生長點(diǎn)，追求遷移的深度。如用“線段上（含端點(diǎn)）有N 個(gè)點(diǎn)，計(jì)算線段條數(shù)”的經(jīng)驗(yàn)去影響排列組合中的“握手問題”的學(xué)習(xí)；再如用合并同類項(xiàng)（α+α2+2α+3α2）的經(jīng)驗(yàn)去影響有理數(shù)運(yùn)算的學(xué)習(xí)。從平面基本圖形的學(xué)習(xí)到排列組合的學(xué)習(xí)，從“式”運(yùn)算的學(xué)習(xí)再到數(shù)域擴(kuò)充后“數(shù)”運(yùn)算的學(xué)習(xí)，遷移的縱深發(fā)展為數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)體系的發(fā)展注入了新的活力。

三、核心素養(yǎng)視角下數(shù)學(xué)程序性知識(shí)教學(xué)的改進(jìn)策略

（一）把握程序性知識(shí)的本質(zhì)

無論是水平遷移，還是縱向遷移，經(jīng)驗(yàn)對(duì)新知產(chǎn)生影響，必然是由于兩者之間存在著某種共性，這種共性不能停留在表象上，而是要追溯到知識(shí)的本質(zhì)。舉例來說，“一元一次方程求解”這一程序性知識(shí)的學(xué)習(xí)常被“去分母—去括號(hào)—移項(xiàng)—合并同類項(xiàng)—系數(shù)化為1”這樣的步驟學(xué)習(xí)所取代。但事實(shí)上，即便是教師們自己，在解方程時(shí)也不一定嚴(yán)格遵循這樣的順序。正如我們所知，結(jié)合具體情況，適當(dāng)調(diào)整步驟順序并不影響方程的求解。具體來說，先移項(xiàng)還是先合并同類項(xiàng)，對(duì)于求解一元一次方程2x+x+1=3x-x-1來說，都是一樣的；先去分母還是先移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，對(duì)于求解一元一次方程來說，也都是可行的。因此，學(xué)習(xí)“一元一次方程求解”這一程序性知識(shí)的關(guān)鍵不在于步驟和順序，而在于對(duì)“等式性質(zhì)”這一知識(shí)本質(zhì)的強(qiáng)調(diào)?；凇暗仁叫再|(zhì)”來理解“移項(xiàng)要變號(hào)”“等式兩邊同乘以分母的最小公倍數(shù)”等做法更為容易。類似地，學(xué)習(xí)“解分式方程”也應(yīng)當(dāng)回溯到“等式性質(zhì)”這一本質(zhì)上。

（二）遵循程序性知識(shí)學(xué)習(xí)的基本規(guī)律

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，程序性知識(shí)的學(xué)習(xí)一般分為三個(gè)階段。第一個(gè)階段是陳述階段，學(xué)習(xí)的是程序性知識(shí)的前身，也就是陳述性知識(shí)。第二個(gè)階段是轉(zhuǎn)化階段，促進(jìn)陳述性知識(shí)向程序性知識(shí)的轉(zhuǎn)化，形成可用于支配學(xué)生行為的技能。第三個(gè)階段是自動(dòng)化階段，程序性知識(shí)得到進(jìn)一步精致和協(xié)調(diào)，這也是程序性知識(shí)發(fā)展的最高階段。[13]核心素養(yǎng)視角下的教學(xué)建議不應(yīng)違背程序性知識(shí)學(xué)習(xí)的基本規(guī)律。

1.陳述階段：任何程序性知識(shí)的學(xué)習(xí)都應(yīng)落腳到陳述性知識(shí)上

不是所有的陳述性知識(shí)都會(huì)轉(zhuǎn)化為程序性知識(shí)。一部分陳述性知識(shí)使原有命題網(wǎng)絡(luò)得到改組或重建，仍以命題網(wǎng)絡(luò)的形式存在，仍是陳述性知識(shí)；另一部分陳述性知識(shí)轉(zhuǎn)化為指導(dǎo)人們做事的規(guī)則，即程序性知識(shí)。[14]但是，所有的程序性知識(shí)都是由陳述性知識(shí)轉(zhuǎn)化而來。程序性知識(shí)的形成以掌握陳述性知識(shí)為必要條件。[15]在轉(zhuǎn)化為程序性知識(shí)之前，學(xué)習(xí)者首先要經(jīng)歷知識(shí)的陳述階段。為此，程序性知識(shí)的教學(xué)應(yīng)選擇相應(yīng)的陳述性知識(shí)為使能目標(biāo)。加涅用圖解法對(duì)達(dá)成不同學(xué)習(xí)結(jié)果的使能目標(biāo)進(jìn)行了分析，這一方法本質(zhì)上是采用逆向分析的方式還原學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)過程。借助這一方法，我們可以將程序性知識(shí)還原為相應(yīng)的陳述性知識(shí)。以三角形中位線為例（如圖1 所示），要想達(dá)成“用三角形中位線性質(zhì)定理解決簡單幾何問題”這一目標(biāo)，應(yīng)當(dāng)首先達(dá)成“能正確辨別三角形中位線”這一目標(biāo)。“三角形中位線”與“三角形中線”是本節(jié)課易混淆的概念，相關(guān)的概念辨析是本節(jié)課在陳述階段需要落實(shí)一個(gè)重要任務(wù)。

圖1 三角形中位線的使能目標(biāo)分析

2.轉(zhuǎn)化階段：用情境變化中的數(shù)學(xué)問題替代重復(fù)的技能訓(xùn)練

變式練習(xí)是陳述性知識(shí)向程序性知識(shí)轉(zhuǎn)化的一個(gè)重要條件。“變式”中“變”的是同類問題的非本質(zhì)特征，即問題的表面結(jié)構(gòu)；“不變”的是問題的本質(zhì)特征，即問題的原理結(jié)構(gòu)。表面結(jié)構(gòu)的變化程度能夠影響學(xué)習(xí)者對(duì)問題原理結(jié)構(gòu)的判斷?！扒笞儭闭菫榱恕安蛔儭保词峭ㄟ^恰當(dāng)?shù)淖兓酝怀銎渲械牟蛔円蛩?。[16]對(duì)于學(xué)習(xí)者來說，大量原理結(jié)構(gòu)相同、表面結(jié)構(gòu)相似的問題只算是重復(fù)的技能訓(xùn)練。學(xué)習(xí)者只有經(jīng)歷大量原理結(jié)構(gòu)相同、但表面結(jié)構(gòu)不同的問題，才能把握這一原理結(jié)構(gòu)的本質(zhì)特征，才能在更復(fù)雜的問題情境中辨別出這一原理結(jié)構(gòu)。一般來說，數(shù)學(xué)問題往往通過情境變化來區(qū)別問題的表面結(jié)構(gòu)。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》將情境劃分為由低到高的三個(gè)層次：熟悉的情境、關(guān)聯(lián)的情境和綜合的情境。[17]有關(guān)情境劃分的這三個(gè)層次對(duì)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教學(xué)也是有意義的。不同層次水平的達(dá)成不是一蹴而就的。如經(jīng)過一次軸對(duì)稱變換解決的最短路徑問題，是教學(xué)中熟悉的情境（如圖2 所示）；在此基礎(chǔ)上，經(jīng)過多次圖形變換、多種圖形變換解決的最短路徑問題，就屬于關(guān)聯(lián)的情境（如圖3、圖4 所示），這一情境需要經(jīng)過不止一次軸對(duì)稱變換、平移變換，甚至兩種變換的疊加，才能將其轉(zhuǎn)化為熟悉的情境；更進(jìn)一步，借助平面直角坐標(biāo)系解決的最短路徑問題，則涉及不同內(nèi)容領(lǐng)域知識(shí)的綜合，屬于綜合的情境（如圖5所示）。

圖2

圖3

圖4

圖5

3.自動(dòng)化階段：某些程序性知識(shí)的學(xué)習(xí)能夠提煉出相應(yīng)的策略性知識(shí)

“自動(dòng)化”是習(xí)得程序性知識(shí)的外在表現(xiàn)，卻不是衡量程序性知識(shí)學(xué)習(xí)是否完結(jié)的一個(gè)標(biāo)志。從知識(shí)的編碼規(guī)則上來看，策略性知識(shí)與程序性知識(shí)有著相同的編碼形式，即按照產(chǎn)生式的規(guī)則進(jìn)行編碼；從知識(shí)的功能上來看，程序性知識(shí)是用于對(duì)外辦事的技能，而策略性知識(shí)是用于對(duì)內(nèi)調(diào)控的技能，程序性知識(shí)具備向策略性知識(shí)轉(zhuǎn)化的條件；從對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)來看，對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科各個(gè)領(lǐng)域都起到調(diào)控作用的數(shù)學(xué)思想（策略性知識(shí)），是在作用于具體問題或任務(wù)的數(shù)學(xué)方法（程序性知識(shí)）的基礎(chǔ)之上提煉出來的。因此，對(duì)于一部分程序性知識(shí)來說，“自動(dòng)化”并非是學(xué)習(xí)的終點(diǎn)。程序性知識(shí)在達(dá)到自動(dòng)化的同時(shí)，作為數(shù)學(xué)方法的程序性知識(shí)可以進(jìn)一步升華為高度概括的數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)思想對(duì)具體的數(shù)學(xué)方法發(fā)揮著上位的指導(dǎo)作用。如猜想法、枚舉法、歸納法、類比法、統(tǒng)計(jì)推斷、因果分析、觀察實(shí)驗(yàn)、比較分類等可以提煉為歸納思想，綜合法、分析法、反證法、同一法等可以提煉為演繹思想。

（三）深化程序性知識(shí)的表現(xiàn)性評(píng)價(jià)

程序性知識(shí)所表現(xiàn)出的程序化的特征容易使評(píng)價(jià)局限于對(duì)具體操作過程的評(píng)價(jià)。這與核心素養(yǎng)視角下的評(píng)價(jià)觀是矛盾的。在設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)工具時(shí)，不僅要關(guān)注知識(shí)技能的范圍和難度，還要有利于考查學(xué)生的思維過程、思維深度和思維廣度。[18]因此，程序性知識(shí)的評(píng)價(jià)應(yīng)當(dāng)擺脫操作層面的束縛。

以“函數(shù)的圖像”為例（如圖6 所示），如果學(xué)習(xí)者能夠借助二元一次方程求出函數(shù)y1=x 與y2=5x-16 的圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)，則說明學(xué)習(xí)者在操作層面上習(xí)得了程序性知識(shí)；如果學(xué)習(xí)者能夠結(jié)合函數(shù)圖像將解釋為滿足函數(shù)值的自變量取值，將x ＜4 解釋為滿足函數(shù)值y1＞y2的自變量取值，將x ＞4 解釋為滿足函數(shù)值y1＜y2的自變量取值，則說明學(xué)習(xí)者在理解層面上習(xí)得了程序性知識(shí)；如果學(xué)習(xí)者能夠?qū)⒑瘮?shù)y1，y2，在第一象限的圖像解釋為一個(gè)追及問題，則說明學(xué)習(xí)者在遷移層面上習(xí)得了程序性知識(shí)。特別說明的是，賦予函數(shù)圖像實(shí)際意義的能力還是模型思想與數(shù)感的綜合體現(xiàn)。程序性知識(shí)的表現(xiàn)性評(píng)價(jià)應(yīng)當(dāng)在操作層面的基礎(chǔ)上，從理解層面和遷移層面尋求突破。

圖6 函數(shù)的圖像

以上研究從核心素養(yǎng)的視角，為數(shù)學(xué)程序性知識(shí)的教學(xué)提供了參考和借鑒。數(shù)學(xué)程序性知識(shí)要想走出現(xiàn)有的誤區(qū)，僅從教法上尋求改變顯然是不夠的，回歸到知識(shí)本身，才能還給知識(shí)長久的生命力。當(dāng)然，不同內(nèi)容領(lǐng)域的數(shù)學(xué)程序性知識(shí)在教學(xué)設(shè)計(jì)與評(píng)價(jià)方面會(huì)存在些許的差異，更多深入和細(xì)致的研究工作需要在實(shí)踐中進(jìn)一步探索?！?/p>