模型思想的內(nèi)涵、分類(lèi)與建立要點(diǎn)

王強(qiáng)國(guó)

（寶應(yīng)縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)，江蘇 揚(yáng)州 225800）

2011年版“課標(biāo)”給出的十個(gè)核心詞中，只有“模型”以“思想”指稱(chēng)，其余均以“能力”定位。這表明一個(gè)觀點(diǎn)：模型思想是數(shù)學(xué)基本思想之一。相對(duì)于其他的核心詞，模型思想是小學(xué)教師最陌生、前認(rèn)知最少的一個(gè)概念，大多數(shù)的小學(xué)教師在校學(xué)習(xí)期間或在職培訓(xùn)中，從未接觸過(guò)“數(shù)學(xué)建?！闭n程，從未參與過(guò)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)。因而，小學(xué)教師對(duì)模型思想的認(rèn)識(shí)頗為有限。認(rèn)知的不足、經(jīng)驗(yàn)的匱乏，導(dǎo)致教學(xué)時(shí)模糊不清，影響課程目標(biāo)的落實(shí)。

一、模型思想的內(nèi)涵解讀

（一）課標(biāo)中的闡述

“模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過(guò)程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生形成初步的模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)?！盵1]2011年版“課標(biāo)”闡述中包含三層內(nèi)容：模型思想的主要功能；數(shù)學(xué)建模的簡(jiǎn)要過(guò)程與表現(xiàn)形態(tài)；形成模型思想的其他作用。表述中，模型思想的“主要功能”與“其他作用”，沒(méi)有一起呈現(xiàn)，而是放在一頭一尾分開(kāi)講述。細(xì)細(xì)研讀，撰寫(xiě)者的良苦用心可見(jiàn)一斑。第一句話(huà)是建立模型思想的教學(xué)定位，盡管模型思想在現(xiàn)代化進(jìn)程中非常重要，但在義務(wù)教育階段，它主要是“學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑”。第二句話(huà)是對(duì)數(shù)學(xué)建模過(guò)程的刻畫(huà)，刪繁就簡(jiǎn)，突出了它的三個(gè)主要環(huán)節(jié)。同時(shí)，也間接表明了這里采納的是數(shù)學(xué)模型的狹義解釋。第三句話(huà)進(jìn)一步指出，這些過(guò)程性?xún)?nèi)容的學(xué)習(xí)，只是“有助于”學(xué)生“初步”形成模型思想，旨在“提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)”，還不是真正建立模型思想，更談不上“數(shù)學(xué)建模能力”的提升。[2]

（二）實(shí)踐中的詮釋

1.功能說(shuō)

主流地位的詮釋如：“建模是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種新的方式，它為學(xué)生提供了自主學(xué)習(xí)的空間，有助于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的價(jià)值和作用，體會(huì)數(shù)學(xué)與日常生活和其他學(xué)科的聯(lián)系，體驗(yàn)綜合運(yùn)用知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)；有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力?！盵3]類(lèi)似這種詮釋的學(xué)者，他們緊扣素質(zhì)教育的兩個(gè)重點(diǎn)目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力，傾向于模型思想是最能體現(xiàn)學(xué)科價(jià)值的數(shù)學(xué)素質(zhì)之一的觀點(diǎn)。本次課程改革，其初衷是“深化素質(zhì)教育”“完善學(xué)生的學(xué)習(xí)方式”，實(shí)施中，在強(qiáng)調(diào)過(guò)程教學(xué)的同時(shí)，開(kāi)辟了新的課程形態(tài)“研究型課程”，并在學(xué)科教學(xué)中設(shè)立綜合實(shí)踐活動(dòng)。當(dāng)下提出的模型思想，只是給這些泛學(xué)科的一般性要求中注入數(shù)學(xué)的學(xué)科內(nèi)涵[4]。

2.過(guò)程說(shuō)

有學(xué)者認(rèn)為，數(shù)學(xué)建模一般要經(jīng)歷“模型準(zhǔn)備——模型假設(shè)——模型求解——模型運(yùn)用”的過(guò)程。其中，模型準(zhǔn)備是起點(diǎn)，從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)信息，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化；模型假設(shè)是根據(jù)現(xiàn)實(shí)原型對(duì)象的特征，結(jié)合已有知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)，提出假設(shè)，確定數(shù)學(xué)建模的方向或初步思路；模型求解是針對(duì)問(wèn)題特點(diǎn)和建模目的，找出合理、簡(jiǎn)化的解決辦法；模型運(yùn)用是借助模型求出結(jié)果，并解釋它在現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的意義。[5]

葉其孝教授將數(shù)學(xué)建模的過(guò)程歸納為七個(gè)步驟：（1）對(duì)某個(gè)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行觀察、分析；（2）對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行必要的抽象、簡(jiǎn)化，做出合理的假設(shè)；（3）確定模型建立中的變量和參數(shù)；（4）根據(jù)某種“規(guī)律”建立變量和參數(shù)間確定的數(shù)學(xué)關(guān)系；（5）解析或近似地求解該數(shù)學(xué)問(wèn)題；（6）驗(yàn)證結(jié)果是否正確；（7）如果上一步的結(jié)果是肯定的，則建模完成，如果是否定的，則返回到第（1）步重新進(jìn)行分析，重復(fù)上述建模過(guò)程?！叭绻獙?duì)數(shù)學(xué)建模下個(gè)定義的話(huà)，那就是：數(shù)學(xué)建模就是上述七個(gè)步驟的多次重復(fù)的過(guò)程?！盵6]葉教授如是說(shuō)。

“過(guò)程說(shuō)”圍繞模型的建立過(guò)程展開(kāi)，與課改之初提倡的“吃全魚(yú)”的教學(xué)主張有相通之處。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，許多時(shí)候可能只能或者僅需展示數(shù)學(xué)建模的簡(jiǎn)要過(guò)程。

上述兩種詮釋或多或少地秉持教學(xué)論的觀點(diǎn)和語(yǔ)言來(lái)解釋。如果從模型思想數(shù)學(xué)學(xué)科層面來(lái)解讀，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)模型思想具有本質(zhì)化的思想，能使我們對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，尤其是數(shù)學(xué)應(yīng)用的特點(diǎn)與過(guò)程，獲得更為全面、深刻的理解，同時(shí)，也能豐富我們對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的認(rèn)識(shí)。

二、數(shù)學(xué)模型的分類(lèi)舉隅

關(guān)注數(shù)學(xué)模型的分類(lèi)，有助于我們系統(tǒng)化、條理化認(rèn)知模型。在數(shù)學(xué)界，關(guān)于模型的分類(lèi)還沒(méi)有像化學(xué)元素分類(lèi)、生物分類(lèi)那樣公認(rèn)的標(biāo)準(zhǔn)，不同學(xué)者基于不同的劃分標(biāo)準(zhǔn)給出不同的分法。以下兩種分類(lèi)，對(duì)一線(xiàn)教師的建模教學(xué)有較強(qiáng)的指導(dǎo)意義。

一是依照事物認(rèn)識(shí)的過(guò)程，分為描述性數(shù)學(xué)模型和解釋性數(shù)學(xué)模型兩大類(lèi)。解釋性數(shù)學(xué)模型反映的是從一般到特殊的認(rèn)識(shí)過(guò)程，常運(yùn)用于數(shù)理邏輯和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中鮮有涉足。而描述性數(shù)學(xué)模型反映了從特殊到一般的認(rèn)識(shí)過(guò)程，它從分析客觀事物的具體特征或狀態(tài)入手，經(jīng)過(guò)逐步抽象得到。把客觀事物中量的關(guān)系概括于一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之中，是其主要特征。[7]這種分類(lèi)對(duì)教者的指導(dǎo)價(jià)值主要體現(xiàn)在建模思路的引領(lǐng)，從個(gè)性到共性，從一個(gè)到一類(lèi)，也體現(xiàn)出模型思想所具有的一般化思維的特點(diǎn)，是小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想滲透的常用方式。

二是按照模型對(duì)象的特點(diǎn)，分為概念型數(shù)學(xué)模型、方法型數(shù)學(xué)模型和結(jié)構(gòu)型數(shù)學(xué)模型。其中，結(jié)構(gòu)型數(shù)學(xué)模型是以數(shù)學(xué)對(duì)象為原型，再抽象所得到的數(shù)學(xué)模型，小學(xué)數(shù)學(xué)中的“雞兔同籠”等可以看作一種結(jié)構(gòu)模型；方法型數(shù)學(xué)模型是指數(shù)學(xué)中的各種公式及運(yùn)算系統(tǒng)、各類(lèi)方程及其求解方法等，是由實(shí)際對(duì)象間量的關(guān)系抽象出來(lái)的，這在教學(xué)中較為常見(jiàn)；概念型數(shù)學(xué)模型是指數(shù)學(xué)中的基本概念，如平行、三角形、倍數(shù)等，通常由客觀事物或現(xiàn)象的直接抽象得到。[8]這種分類(lèi)對(duì)教者的指導(dǎo)價(jià)值主要體現(xiàn)在建模共識(shí)的達(dá)成。即教材中蘊(yùn)含著大量的數(shù)學(xué)建模素材，小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想的滲透是可行的并且能有所作為！

事實(shí)上，數(shù)學(xué)模型在學(xué)術(shù)界有兩種解釋?zhuān)簭V義上，一切數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論體系，各種數(shù)學(xué)公式、各種方程式以及由公式系列構(gòu)成的算法系統(tǒng)等，都可稱(chēng)之為數(shù)學(xué)模型。狹義上，只有那些反映特定問(wèn)題或特定的具體事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)，才叫作數(shù)學(xué)模型。[9]兩者都是人類(lèi)進(jìn)化和社會(huì)發(fā)展的產(chǎn)物，不同之處是：前者是“無(wú)心插柳”型，起初并沒(méi)有意識(shí)到它是模型；后者是“有心栽花”型，有意識(shí)地建構(gòu)模型，這成為當(dāng)今應(yīng)用數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)模型的原意。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，更傾向于狹義上數(shù)學(xué)模型的滲透與初步建立。

三、模型思想的建立要點(diǎn)

（一）準(zhǔn)確定位——模型思想建立的立足點(diǎn)

1.對(duì)象的準(zhǔn)確定位

（1）基于兒童的生活經(jīng)驗(yàn)

兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，有兩個(gè)基礎(chǔ)：知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)。在日常教學(xué)中，對(duì)于學(xué)生學(xué)情的分析，教者習(xí)慣于關(guān)注學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)哪些相關(guān)的知識(shí)，即教材內(nèi)容的邏輯關(guān)聯(lián)，卻往往忽視知識(shí)之外，學(xué)生已經(jīng)具有的生活經(jīng)驗(yàn)。這里的生活經(jīng)驗(yàn)是指兒童在生活中通過(guò)親身經(jīng)歷、體驗(yàn)而獲得的對(duì)事物的認(rèn)識(shí)與反映，具有自然性、生成性、發(fā)展性等不同層面的特點(diǎn)。[10]尊重和承認(rèn)“生活經(jīng)驗(yàn)是兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要資源”，有助于我們更準(zhǔn)確地把握學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，改變我們的教學(xué)方式，繼而促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的優(yōu)化。一般來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)的模型皆有其現(xiàn)實(shí)的生活背景，在模型思想的建立中，立足兒童的生活經(jīng)驗(yàn)，將教材上的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為兒童日常生活數(shù)學(xué)問(wèn)題的火熱思考，有利于學(xué)生感受其中隱含的數(shù)學(xué)問(wèn)題，促使學(xué)生將生活問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而感知數(shù)學(xué)模型的存在。[11]

（2）基于兒童的認(rèn)知特征

一要用兒童的眼光視角觀察。對(duì)于事物的觀察，兒童容易被表面現(xiàn)象所迷惑，難以準(zhǔn)確、迅速地把握事物的本質(zhì)以及事物之間的內(nèi)在聯(lián)系。這要求我們?cè)谀Ｐ偷慕⒅?，循序漸進(jìn)，問(wèn)題設(shè)置要能巧妙引導(dǎo)學(xué)生思維，過(guò)程中需要及時(shí)的正向。二要用兒童的思維方式分析。小學(xué)階段的兒童，思維主要還是以直觀形象思維為主，抽象的模型對(duì)學(xué)生而言理解困難。教學(xué)中，應(yīng)該積極創(chuàng)設(shè)生動(dòng)有趣的情境，激發(fā)學(xué)生探究的熱情，借助直觀的學(xué)具操作等活動(dòng)幫助學(xué)生感知、建立數(shù)學(xué)的模型。三要用兒童的語(yǔ)言范式表述。兒童有自己的話(huà)語(yǔ)體系，可能不嚴(yán)謹(jǐn)，但卻是兒童熟悉的，應(yīng)該允許兒童適度的“任性”表達(dá)。同時(shí)，教者本身的語(yǔ)言也應(yīng)該切合兒童的認(rèn)知水平。比如“猜想——驗(yàn)證”，這是模型建立中常用的策略，也幾乎成為教師的口頭禪，但這樣的描述過(guò)于“數(shù)學(xué)化”，小學(xué)中低年級(jí)的兒童，并不能完全領(lǐng)略，高明的教者總是人文關(guān)照的口語(yǔ)化：“我們一起來(lái)想個(gè)辦法，讓大家相信這個(gè)說(shuō)法……”

2.目標(biāo)的合理設(shè)置

在數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，并沒(méi)有提出具體明確的模型思想教學(xué)的目標(biāo)。作為教者應(yīng)該有以下的辯證認(rèn)識(shí)：一方面，這符合小學(xué)學(xué)情，符合小學(xué)生的知識(shí)水平、能力經(jīng)驗(yàn)；另一方面，沒(méi)提要求，不意味著不可作為、無(wú)須作為！如前文歸納，小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，模型思想建立的知識(shí)載體是客觀存在的，關(guān)鍵是如何定位。

（1）培育初步的模型意識(shí)

縱觀現(xiàn)行的各個(gè)版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材，內(nèi)容的分布、習(xí)題選擇不盡相同，但具體到某一課時(shí)的內(nèi)容編排，會(huì)發(fā)現(xiàn)相同之處，多以“生活情境——抽象模型——模型驗(yàn)證——模型解釋與應(yīng)用”的方式呈現(xiàn)，這種編排體系為模型意識(shí)的培育提供了天然的契機(jī)。宏觀上，教者可以從整體上用建模的視角去解讀教材，充分彰顯其中蘊(yùn)含的模型思想；微觀上，可以通過(guò)實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)化與數(shù)學(xué)問(wèn)題的生活化引領(lǐng)學(xué)生感知模型的存在，在適時(shí)的回顧與反思中明晰模型，在實(shí)際問(wèn)題的解決中感受模型的應(yīng)用價(jià)值，從而不斷增強(qiáng)數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用意識(shí)。

（2）經(jīng)歷初步的建模過(guò)程

數(shù)學(xué)思想是發(fā)展的、動(dòng)態(tài)的，而數(shù)學(xué)知識(shí)是相對(duì)定型的、靜態(tài)的。如果把模型的建立當(dāng)作唯一追求的結(jié)果，那么就可能步入“模型化”的誤區(qū)，事實(shí)上，無(wú)論何種模型都不可能解決所有的問(wèn)題。因而將模型建立過(guò)程的體驗(yàn)作為小學(xué)數(shù)學(xué)模型教學(xué)的核心目標(biāo)是學(xué)術(shù)界的共識(shí)。模型思想的滲透與建立過(guò)程，從顯性來(lái)講，會(huì)對(duì)學(xué)生的解題能力和后續(xù)學(xué)習(xí)產(chǎn)生持續(xù)影響；從隱性來(lái)講，會(huì)影響學(xué)生從事數(shù)學(xué)以外活動(dòng)時(shí)的思維方式和行為方式。[12]在經(jīng)歷建模與用模的過(guò)程中，學(xué)生的思維會(huì)得以發(fā)展，數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、幾何直觀、推理能力、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)等能得以提高，而這些恰恰是數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)提升的基礎(chǔ)。

（3）體驗(yàn)初步的用模樂(lè)趣

數(shù)學(xué)學(xué)科有一種特質(zhì)的美——簡(jiǎn)潔美。這種美既體現(xiàn)于數(shù)學(xué)定義與規(guī)律敘述的高度濃縮性、公式與法則的高度概括性，更體現(xiàn)于數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)在的思想方法的精煉與適用，數(shù)學(xué)思維的自由與創(chuàng)造。數(shù)學(xué)模型是體現(xiàn)簡(jiǎn)潔美的優(yōu)良載體，用模型視角去觀察事物，有助于學(xué)生準(zhǔn)確迅速地把握事物的本質(zhì)，提升比較、抽象、概括等能力；用模型方法去思考問(wèn)題、解決問(wèn)題，有利于學(xué)生舉一反三，觸類(lèi)旁通，促進(jìn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的新建與重組，在體驗(yàn)用模樂(lè)趣的同時(shí)，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

（二）巧妙引導(dǎo)——模型思想建立的著力點(diǎn)

基于數(shù)學(xué)建模教學(xué)的目標(biāo)定位與對(duì)象的認(rèn)知能力，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，模型思想建立，應(yīng)該以滲透的方式為主，需要教者巧妙引導(dǎo)，讓模型思想浸入學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歷程。

1.用數(shù)學(xué)化的眼光觀察

數(shù)學(xué)化其實(shí)就是從(數(shù)學(xué)外部的)現(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)內(nèi)部，從數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展，再到現(xiàn)實(shí)世界中(以及應(yīng)用于其他學(xué)科之中)的全過(guò)程。（弗賴(lài)登塔爾語(yǔ)）所謂數(shù)學(xué)化的眼光觀察，主要指教師引導(dǎo)學(xué)生從具體的教學(xué)情境中，準(zhǔn)確獲取具有建模意義的數(shù)學(xué)信息，并能運(yùn)用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行適度的整理和組織。這種數(shù)學(xué)化，表面看是一種數(shù)學(xué)直觀思維，實(shí)質(zhì)上更多的指向數(shù)學(xué)抽象、直觀想象，它是學(xué)生實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模不可或缺的能力基礎(chǔ)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)該結(jié)合不同的學(xué)段有意識(shí)地逐步培養(yǎng)。如蘇教版數(shù)學(xué)教材中有關(guān)“圓”的教學(xué)，第一學(xué)段，我們重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)物中抽象出圓，可以出示一組關(guān)于圓的實(shí)物圖片，啟發(fā)學(xué)生思考：你看到了什么？在學(xué)生匯報(bào)的基礎(chǔ)上，教者小結(jié)：用生活的眼光，我們看見(jiàn)的是一張張優(yōu)美的圖片，用數(shù)學(xué)的眼光，我們會(huì)看到“圓”……完成生活問(wèn)題數(shù)學(xué)化。第二學(xué)段，重點(diǎn)研究圓的特征與面積的計(jì)算，以“半徑的特征”為例，在學(xué)生畫(huà)一畫(huà)、量一量、折一折的基礎(chǔ)上，觀察、思考有什么發(fā)現(xiàn)，得出“無(wú)數(shù)條、都相等”的特征，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)部規(guī)律化。在認(rèn)識(shí)圓的特征后，可以安排學(xué)生解釋汽車(chē)的車(chē)輪為什么設(shè)計(jì)成圓形而不是正方形、長(zhǎng)方形或三角形等，走向數(shù)學(xué)內(nèi)容現(xiàn)實(shí)化，使學(xué)生建立完整的“圓”的概念模型。

2.用一般化的思維概括

一般化的思維，主要指在模型建立的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生從一個(gè)問(wèn)題的解決，拓展為一類(lèi)問(wèn)題的解決，并加以推廣應(yīng)用，其中蘊(yùn)含歸納法的思想，也包含合情推理的成分。這歷來(lái)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)所忽視和欠缺之處，原因一方面是教者低估學(xué)生的潛能，對(duì)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)認(rèn)識(shí)不力，認(rèn)為學(xué)生理解不了；另一方面，受限于當(dāng)課的教學(xué)內(nèi)容與時(shí)間，這里的“一個(gè)問(wèn)題”，更準(zhǔn)確地說(shuō)，應(yīng)該是類(lèi)似的“一個(gè)個(gè)問(wèn)題”，必然需要花費(fèi)較多的時(shí)間，加之對(duì)建模教學(xué)的認(rèn)知不足，選擇放棄。教學(xué)中，一般化的處理，還具有由淺入深、逐步逼近問(wèn)題本質(zhì)的意蘊(yùn)，有助于學(xué)生形成初步的模型思想。如蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“用字母表示數(shù)”教學(xué)，出示：一支鋼筆a元，3支這樣的鋼筆多少元？得出3a 元后，教者去除習(xí)題，留下“3a”字樣，引導(dǎo)學(xué)生用自己的語(yǔ)言說(shuō)一說(shuō)還可以表示什么？有學(xué)生想到如果每支鉛筆a 元，那么3支這樣的鉛筆就是3a元，如果每千克蘋(píng)果a元，那么3 千克這樣的蘋(píng)果就是3a 元……師生總結(jié)：?jiǎn)蝺r(jià)×數(shù)量=總價(jià)。在一般化理念的指引下，可以進(jìn)一步追問(wèn)：還可以找到類(lèi)似這樣的關(guān)系式嗎？學(xué)生想到“速度×?xí)r間=路程”“工作效率×工作時(shí)間=工作總量”……

3.用結(jié)構(gòu)化的視角感知

結(jié)構(gòu)是關(guān)系的組合。結(jié)構(gòu)化思維主要指，在建模教學(xué)中，面對(duì)現(xiàn)實(shí)的教學(xué)情境，能夠去除情境的枝枝蔓蔓，由原型結(jié)構(gòu)抽象出數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知，有助于學(xué)生迅速準(zhǔn)確地把握問(wèn)題的本質(zhì)，感知數(shù)學(xué)模型的基本脈絡(luò)。實(shí)際教學(xué)中，有兩種行之有效的做法：一是抓關(guān)鍵詞，連點(diǎn)成線(xiàn)。如蘇教版（數(shù)學(xué)）四年級(jí)上冊(cè)“認(rèn)識(shí)平行”教學(xué)。在學(xué)生觀察、操作的基礎(chǔ)上，揭示“像這樣不相交的兩條直線(xiàn)互相平行”。教者可以設(shè)問(wèn)：同學(xué)們，你們覺(jué)得這句話(huà)中哪些詞很重要？學(xué)生很快想到“不相交”“兩條”“直線(xiàn)”等，這些詞就是“平行”概念模型的基本結(jié)構(gòu)。二是立足算理，進(jìn)行實(shí)質(zhì)性追問(wèn)。如蘇教版數(shù)學(xué)二年級(jí)上冊(cè)“表內(nèi)乘法”教學(xué)。習(xí)題：一幢樓房有7層，每層住6戶(hù)，一共住了多少戶(hù)？學(xué)生列出6×7 的算式后，我們可以追問(wèn)：你為什么用乘法計(jì)算？學(xué)生回答：一共住了多少戶(hù)，就是求7個(gè)6相加的和是多少，所以用乘法計(jì)算。還可以追問(wèn)：你為什么不用加法？在這樣的追問(wèn)中，有利于學(xué)生感知乘法模型的存在與應(yīng)用。

4.用系列化的體例強(qiáng)化

系列化的體例，主要指在模型建立的教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生初步感知或建立某一數(shù)學(xué)模型后，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)抽象出的模型進(jìn)行適度的變式，在比較中，強(qiáng)化模型的結(jié)構(gòu)認(rèn)知，形成網(wǎng)狀的知識(shí)結(jié)構(gòu)。教學(xué)中，以下兩種方式值得借鑒。一是“多題一解”，如蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)“圓的面積”教學(xué)。在學(xué)生形成圓的面積算法模型后，教者安排如下一組習(xí)題：（1）一個(gè)圓，半徑3 厘米，面積是多少平方厘米？（2）一個(gè)圓，直徑4厘米，面積是多少平方厘米？（3）一個(gè)圓，周長(zhǎng)25.12厘米，面積是多少平方厘米？練習(xí)的過(guò)程中，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，盡管題型有變化，但算法都簡(jiǎn)化為πr2。二是“一題多變”?？梢员３诸}目中數(shù)量和關(guān)系，改變情境載體，如“工人師傅鋪一段路，前3 天平均每天鋪160米，后5天平均每天鋪180米，一共鋪好多少米？”這樣的工程問(wèn)題，我們可以改為行程問(wèn)題或者購(gòu)物問(wèn)題等，學(xué)生通過(guò)比較會(huì)發(fā)現(xiàn)，算式不變，數(shù)量關(guān)系不變，都可以用字母表示為兩個(gè)積的和：a×b+c×d=s；此外，我們還可以將一道題中某一條件與問(wèn)題置換，形成“新”的問(wèn)題情境，在模型的運(yùn)用中強(qiáng)化模型的意識(shí)。

5.用顯現(xiàn)化的方式表征

數(shù)學(xué)模型無(wú)論是思維表征的過(guò)程還是形式表征的過(guò)程，都需要兩個(gè)基本的教學(xué)過(guò)程做支撐。一是從“境”到“型”，通過(guò)抽象、歸納感悟理解數(shù)學(xué)模型的結(jié)構(gòu)化與簡(jiǎn)約化的特征；二是從“型”到“境”，通過(guò)演繹結(jié)構(gòu)，深化理解數(shù)學(xué)包容性與應(yīng)用性的特征。[13]學(xué)生經(jīng)歷了模型建構(gòu)過(guò)程，初步感知或建立了某一數(shù)學(xué)模型，此時(shí)，教者應(yīng)該適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生用顯現(xiàn)化的方式表征。這種表征并非簡(jiǎn)單的重復(fù)，其價(jià)值一方面是學(xué)生對(duì)模型結(jié)構(gòu)的強(qiáng)化與清晰化，深化對(duì)模型的認(rèn)知；另一方面也是學(xué)生個(gè)性化解讀與理解的過(guò)程，有利于模型的應(yīng)用與推廣。方式主要有兩種：一是“可聞”，即讓學(xué)生用語(yǔ)言表述?！罢Z(yǔ)言是思維的外殼”，學(xué)生在語(yǔ)言表述的過(guò)程中，必然需要對(duì)自己的思維進(jìn)一步梳理，在個(gè)性化的陳述中，實(shí)現(xiàn)自主建構(gòu)。二是基于操作的顯現(xiàn)化，這里的操作，不僅包括動(dòng)手?jǐn)[弄實(shí)物、比劃手勢(shì)、活動(dòng)肢體等操作學(xué)具的活動(dòng)，還應(yīng)該包括借助符號(hào)、文字和圖表等數(shù)學(xué)語(yǔ)言動(dòng)手畫(huà)圖、標(biāo)注、列舉等逐步抽象化操作語(yǔ)言的活動(dòng)。[14]

（三）對(duì)比反省——模型思想建立的不竭動(dòng)力

1.在正例與反例的對(duì)比中活化

如前文所述，模型思想的建立通常采用一般化的思維、系列化的體例等逐步實(shí)現(xiàn)。這樣的處理，為每一類(lèi)模型提供了數(shù)量較多的、與之相對(duì)應(yīng)的、典型的問(wèn)題，有利于學(xué)生模型的感知與建立。缺陷在于，客觀上減少了學(xué)生在沒(méi)有提示的情況下自主選擇模型的機(jī)會(huì)，篩選模型的意識(shí)會(huì)降低。以“方程算法模型”為例，教學(xué)中，我們常常遇到這樣的尷尬——平時(shí)用不到，用時(shí)想不到！因此，在建模教學(xué)中，需要在正例與反例的對(duì)比中，活化模型的選擇與應(yīng)用。如蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)“解決問(wèn)題的策略——替換”教學(xué)。在學(xué)生充分感知、熟練運(yùn)用替換的算法模型后，教者出示：“小明原來(lái)有一些郵票，今年又收集了24張。送給小軍30張后，還剩54張。小明原來(lái)有多少?gòu)堗]票？” 由學(xué)生試著解答。短暫的沉默后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這道題不適合替換。教者追問(wèn)：“為什么不適合替換，大家覺(jué)得可以怎么解決？”學(xué)生再次回顧替換模型的題型特征——知道總量以及量與量之間的關(guān)系，使用倒推模型解決的同時(shí)，學(xué)會(huì)辯證地看待模型的功能，活化模型的運(yùn)用。當(dāng)然，反例的呈現(xiàn)，一定要注意時(shí)機(jī)的把控，正像沒(méi)有建立前，盡量不出現(xiàn)反例。

2.在方法與過(guò)程的反省中拓展

模型思想的建立，離不開(kāi)教者的引導(dǎo)，更依賴(lài)于學(xué)生個(gè)體的自主性建構(gòu)，要求學(xué)生對(duì)自己的活動(dòng)過(guò)程不斷地進(jìn)行反省，這種反省如同生物體消化食物和吸收養(yǎng)分一樣，必須且別人無(wú)法代替。在建模教學(xué)中，反省主要體現(xiàn)在建模結(jié)果與建模過(guò)程兩大方面。對(duì)建模結(jié)果的反思主要表現(xiàn)為對(duì)模型正確性的驗(yàn)證，如兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算法模型，在學(xué)生建立模型后，可以讓學(xué)生對(duì)計(jì)算結(jié)果展開(kāi)驗(yàn)證與解釋。小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)更傾向于對(duì)建模過(guò)程的反思，用模型的視角審視模型的建立過(guò)程，以拓展學(xué)生的模型認(rèn)知。如蘇教版（數(shù)學(xué)）三年級(jí)上冊(cè)“長(zhǎng)方形、正方形的認(rèn)識(shí)”教學(xué)，在學(xué)生探究出兩者的特征之后，教者提問(wèn)：“同學(xué)們，回顧一下剛才的學(xué)習(xí)，我們是怎么得出它們的特征的？”學(xué)生回答出：“先觀察長(zhǎng)方形紙片，得到猜想，然后通過(guò)量、折、比等活動(dòng)進(jìn)行驗(yàn)證?！币龑?dǎo)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)歷程、探究方法的反省。教學(xué)中，對(duì)研究視角的反省，也應(yīng)該得以強(qiáng)化，如上述課例，教者安排了讓學(xué)生從學(xué)具袋中（三角形、梯形、長(zhǎng)方形各一個(gè)）摸出長(zhǎng)方形，學(xué)生正確摸出后，教者提問(wèn)：“大家猜猜看，他可能摸的是哪里？”學(xué)生思考交流，得出，既要摸邊又要摸角，教者適時(shí)歸納：“研究一個(gè)平面圖形，我們通常就從它的邊和角兩個(gè)方面開(kāi)始?！?/p>

綜上所述，模型思想有其獨(dú)特的價(jià)值，小學(xué)數(shù)學(xué)教材蘊(yùn)含大量的建模素材，我們應(yīng)該擁有建模的眼界，超越素材、情境的表面，捕獲其背后的模型，為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的提升做出自己的努力！▲