基于Pair Copula-Realized GARCH模型的股票市場

李嘉琪，何 坤

(東華大學 理學院， 上海201620)

隨著經(jīng)濟的快速發(fā)展，金融改革創(chuàng)新不斷推進，金融市場的波動和投資風險逐漸加大，市場之間的關系也越來越復雜。構造多種資產(chǎn)投資組合可以有效地在金融市場上規(guī)避風險，獲得投資收益，因此金融資產(chǎn)間的相關結構以及波動影響也就成為了值得研究的方向。在真實的金融市場環(huán)境中，資產(chǎn)收益率曲線大多呈現(xiàn)出尖峰厚尾，尾部呈現(xiàn)非線性以及波動聚集等特征形態(tài)，這就使得傳統(tǒng)模型中的正態(tài)和線性相關等基本假設無法滿足實際的情況。

為了更好地研究相關結構關系，Sklar[1]提出了Copula函數(shù)的概念，指出了Copula函數(shù)可以連接各個邊緣分布及其聯(lián)合分布，打破了以往只能分析線性相關的局限性。即Copula函數(shù)能夠很好地用來刻畫非對稱和非線性相關結構，這與傳統(tǒng)模型相比有著明顯優(yōu)勢。Nelson[2]對Copula函數(shù)繼續(xù)研究，總結了Copula函數(shù)族并進行了相關應用。Embrechts等[3]利用Copula函數(shù)進行了金融風險分析。在此之后Copula函數(shù)理論開始被廣泛地應用于各個金融領域的研究之中。Huang等[4]結合了Copula函數(shù)與GARCH模型的特點，計算了投資組合的風險價值(value at risk， VaR)，并將其應用到研究NASDAQ和TAIEX指數(shù)之中去。Aas等[5]提出了對多元Copula函數(shù)進行降維分解的Pair Copula方法，即把多元變量的聯(lián)合分布函數(shù)轉化為基于二元條件Copula函數(shù)與各自邊緣分布函數(shù)的乘積，為多種投資組合的研究提供了理論基礎。

同時為了解決時間序列條件異方差性的問題，Engle[6]率先提出了ARCH(autoregressive condition heteroskedasticity)模型，并被廣泛應用于金融市場的分析決策中。Bollerslev[7]以ARCH模型為基礎，提出了GARCH(generalized autoregressive condition heteroskeclasticity)模型，描述了市場波動的異方差性和波動集群性。但是GARCH模型僅停留在低頻層面上，未包含日間數(shù)據(jù)的信息，而高頻的數(shù)據(jù)則可以提供更多的信息。Engle[8]后來直接將含有高頻信息的外生變量引入到GARCH模型中，構造出了GARCH-X模型，這種模型特點是簡單直觀，但是無法進行多步預測。Hansen等[9]提出了Realized GARCH(p,q)模型，以解決高頻信息的問題，通過引入測度方程，將收益率、條件波動率和已實現(xiàn)測度三者聯(lián)合建模，從而使投資決策和預測更為精確。

目前將Copula或Pair Copula函數(shù)與低頻GARCH類模型結合以解決具體問題的研究[10-13]已經(jīng)相對成熟和完善，但是對于Realized GARCH的研究較少。例如：Solibakke[14]用Realized GARCH模型研究不同頻率的高頻數(shù)據(jù)，用半似然函數(shù)法(QML)擬合期貨合約。Watanabe[15]基于Realized GARCH模型預測了VaR和ES(expected shortfall)。黃雯等[16]用高頻數(shù)據(jù)預測滬深300的指數(shù)波動率，發(fā)現(xiàn)在預測效果上Realized GARCH模型相比傳統(tǒng)GARCH模型有很大改善。黃友珀等[17]利用Pair Copula-Realized GARCH進行了資產(chǎn)組合收益分位數(shù)預測的研究。本文將基于Pair Copula-Realized GARCH對股票市場相關性和波動進行分析以及數(shù)據(jù)研究。

1 Copula函數(shù)及Pair Copula分解

1.1 Copula函數(shù)

Copula函數(shù)是由Sklar[1]在1959年提出的，他發(fā)現(xiàn)任意一個多維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)可以被分解成一個Copula連接函數(shù)以及多個邊緣分布函數(shù)，其中邊緣分布函數(shù)服從(0,1)上的均勻分布。Copula函數(shù)的優(yōu)勢在于能夠將多個隨機變量的邊緣分布連接起來，最終得到它們的聯(lián)合分布，不需要每個變量的邊緣分布相同，這與傳統(tǒng)方法相比具有很好的靈活性。

f(x1,x2,…,xn)=c(F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn))·

f1(x1),f2(x2),…,fn(xn)

常用的Copula函數(shù)分為兩類: 橢圓Copula函數(shù)和阿基米德Copula函數(shù)。橢圓Copula函數(shù)主要有正態(tài)-Copula函數(shù)和t-Copula函數(shù)，兩者均有對稱的尾部相關性，因此只能適應對稱的相關結構。阿基米德Copula函數(shù)主要有Gumbel Copula、Clayton Copula和Frank Copula。Cumbel Copula函數(shù)適合描述上尾部分的相關性，Clayton Copula函數(shù)適合描述下尾部分的相關性。而對于Frank Copula函數(shù)，由于其上尾和下尾相關系數(shù)均為零，多應用于具有對稱關系的金融市場模式上。常見Copula函數(shù)的分布如表1所示。

表1 常見的Copula函數(shù)分布Table 1 The common distribution of Copula function

1.2 Pair Copula分解

在研究多種投資組合收益之間的相關性時，發(fā)現(xiàn)中間的結構特別復雜，如果直接用多元Copula函數(shù)來構造組合結構，效果并不是很理想。因此，Aas等[5]提出了對多元Copula函數(shù)進行降維的Pair Copula分解法。

通常用來構建Pair Copula模型的兩種藤結構分別是C-Vine和D-Vine，其結構圖分別如圖1和2所示。C-Vine結構呈樹冠狀，藤樹Tj的根節(jié)點衍生出的每條邊對應一個Pair Copula函數(shù)，可以選擇與其他變量相關性最強的作為關鍵點。D-Vine結構是線性的，每個節(jié)點與其他節(jié)點相連接數(shù)最多為2，藤數(shù)Tj有(5-j)個節(jié)點和(4-j)條邊，每條邊對應一個Pair Copula函數(shù)。

圖1 C-Vine結構圖Fig.1 Structure of C-Vine

圖2 D-Vine結構圖Fig.2 Structure of D-Vine

四維結構的C-Vine和D-Vine分解表達式為

C-Vine:

f(x1,x2,x3,x4)=f1(x1)f(x2)f3(x3)f4(x4)×

c12(F1(x1),F2(x2))×c13(F1(x1),F3(x3))×

c14(F1(x1),F4(x4))×c23|1(F(x2|x1),

F(x3|x1))×c24|1(F(x2|x1),F(x4|x1))×

c34|12(F(x3|x1,x2),F(x4|x1,x2))

D-Vine:

f(x1,x2,x3,x4)=f1(x1)f2(x2)f3(x3)f4(x4)×

c12(F1(x1),F2(x2))×c23(F2(x2),F3(x3))×

c34(F3(x3),F4(x4))×c13|2(F(x1|x2),

F(x3|x2))×c24|3(F(x2|x3),F(x4|x3))×

c14|23(F(x1|x2,x3),F(x4|x2,x3))

在對Pair Copula函數(shù)作最優(yōu)選擇時，通常采用赤池信息量準則(Akaike information criterion,AIC)和貝葉斯準則(Bayesian information criterion, BIC)作為擬合檢驗判別標準。AIC和BIC都引入了與模型參數(shù)個數(shù)相關的懲罰項，并且BIC的懲罰項比AIC的多考慮了樣本數(shù)量的因素。當樣本數(shù)量過多時，BIC可有效防止模型精度過高造成的模型復雜度過高。

AIC和BIC的表達式分別為:PAIC=2K-2lnL，PBIC=Kln(n)-2lnL，其中，K是模型的參數(shù)個數(shù)，L是被估計模型的似然函數(shù)的最大值，n是樣本數(shù)量。

2 Realized GARCH模型

Hansen等[9]在2011年提出了Realized GARCH(p,q)模型，其主要思想是在GARCH模型的基礎上，加入高頻數(shù)據(jù)的信息，可以得到更好的擬合效果和模型解釋能力。通過引入測度方程，把收益率、條件波動率和已實現(xiàn)測度三者進行聯(lián)合建模。

Realized GARCH(p,q)模型的一般表示形式為

(1)

本文在后續(xù)的研究分析中將采用Realized GARCH(1,1)的對數(shù)形式進行建模，其表達式為

(2)

此外，基于Realized GARCH模型對高頻數(shù)據(jù)進行建模時，需要計算已實現(xiàn)測度。 本文將采用最簡單的已實現(xiàn)波動率(realized variance， RV)進行定義，表達式為

式中：rt,i是日內收益率；m與采樣頻率有關。如果采樣頻率為1 min，在一天的交易時間段(9: 30-11: 30)和(13: 00-15: 00)，則m=240；如果采樣頻率為5 min，則m=48。

3 股票市場的數(shù)據(jù)分析

3.1 數(shù)據(jù)選取

本文選取了上證指數(shù)、深證成指、中小板指和創(chuàng)業(yè)板指的數(shù)據(jù)，包括日收益率和5 min高頻數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)時間從2014年1月1日開始到2016年12月15日結束，并使用R語言和Matlab軟件進行數(shù)據(jù)操作處理。

3.2 Pair Copula-Realized GARCH 模型構建

(1)選用Realized GARCH模型分別對每個對數(shù)收益率序列進行擬合，消除數(shù)據(jù)的自相關性和不平穩(wěn)性，得到獨立的標準化殘差序列。

(2)對標準化殘差序列進行核分布估計變換，來構造新的殘差序列。同時檢驗變換之后的數(shù)據(jù)是否服從(0,1)間的均勻分布，使其滿足Pair Copula函數(shù)的基本條件。

(3)選擇藤結構模型(C-Vine和D-Vine)，用極大似然法進行Pair Copula的參數(shù)估計，根據(jù)信息準則AIC/BIC，選出最優(yōu)的Copula函數(shù)來描述變量間的關系，從而確定多個收益率構成的聯(lián)合分布。

3.3 數(shù)據(jù)分析

將價格Pt定義為每日指數(shù)收盤價，則第t日的對數(shù)收益率為rt=ln(Pt/Pt-1)。對上證指數(shù)、深證成指、中小板指和創(chuàng)業(yè)板指的對數(shù)收益率序列進行描述性統(tǒng)計，結果如表2所示。

這4個指數(shù)的對數(shù)收益率序列峰度均大于3，偏度小于0，因此呈尖峰厚尾的形態(tài)。J-B統(tǒng)計量也表明這4個指數(shù)均不服從正態(tài)分布。同時，這4個指數(shù)的對數(shù)收益率頻數(shù)直方圖如圖3所示，也能很直觀地看出各指數(shù)分布非正態(tài)的性質。

表2 4種指數(shù)的描述性統(tǒng)計Table 2 The descriptive statistics of four indexes

(a)上證指數(shù)

(b)深證成指

(c)中小板指

(d)創(chuàng)業(yè)板指圖3 上證指數(shù)、深證成指、中小板指和創(chuàng)業(yè)板指日對數(shù)收益率頻數(shù)直方圖Fig.3 The daily log return frequency histogram of Shanghai composite index, Shenzhen component index, small and medium-size board index and second board index

為了防止出現(xiàn)數(shù)據(jù)偽回歸性的問題，先用ADF(Augmented Dickey-Fuller)檢驗法對4種指數(shù)對數(shù)收益率序列進行平穩(wěn)性檢驗，結果如表3所示。由表3可知，數(shù)據(jù)在1%的顯著水平下呈現(xiàn)平穩(wěn)趨勢，不存在單位根。

表3 4種指數(shù)的平穩(wěn)性檢驗Table 3 Stationarity test of four indexes

表4 Realized GARCH模型的參數(shù)估計Table 4 Parameter estimation of Realized GARCH model

由表4可知，模型中每個估計參數(shù)值的P值均小于0.01，表明這些參數(shù)值都是顯著的，并且標準化殘差項和標準化殘差平方項在5%顯著水平下均通過白噪聲檢驗，說明模型可靠。同時建模后的數(shù)據(jù)也通過了ARCH L-M檢驗，說明數(shù)據(jù)不存在自相關的ARCH效應。

為了使得數(shù)據(jù)落在Copula函數(shù)自變量定義域范圍內，對模型取得的標準化殘差進行核分布估計變換。對變換后得到的新序列進行K-S檢驗，得到的P值分別是0.648、0.812、0.949、0.907，表明新序列服從(0,1)之間的均勻分布，可以對其進行Pair Copula建模。

4個指數(shù)的Kendall秩相關系數(shù)如表5所示。由表5可知：上證指數(shù)與中小板指顯著正相關，相關系數(shù)為0.611，說明當上證指數(shù)出現(xiàn)大幅度漲或跌的波動時，中小板指數(shù)也容易受其影響做出相應反應；深證成指則與創(chuàng)業(yè)板之間也有相關性，相關系數(shù)為0.565。

表54個指數(shù)的Kendall秩相關系數(shù)

Table5Kendallrankcorrelationcoefficientoffourindexes

股票上證指數(shù)深證成指中小板指創(chuàng)業(yè)板指上證指數(shù)1.0000.0240.6110.008深證成指0.0241.0000.0120.565中小板指0.6110.0121.0000.025創(chuàng)業(yè)板指0.0080.5650.0251.000

再根據(jù)AIC/BIC準則選取最優(yōu)的Copula函數(shù)。同時為了分析不同的Pair Copula結構對于多個指數(shù)相依性的擬合效果，分別對C-Vine和D-Vine 結構進行比較。在這里使用R語言的CD-Vine 程序包進行計算，配對出相應的Copula函數(shù)和參數(shù)，Copula函數(shù)的參考范圍設定在Gaussian Copula、t-Copula、Clayton Copula、Gumbel Copula和Frank Copula之中，結果如表6所示。

表6 C-Vine 和D-Vine結構下的Copula 函數(shù)參數(shù)Table 6 Parameters of Copula function on C-Vine and D-Vine

由表6可知：在C-Vine結構下，兩種準則值分別為-1 519.437和-1 473.617；在D-Vine結構下，兩種準則值分別為-1 513.043和-1 471.805。由此可以說明，C-Vine的結構將更加適合于分析這4個指數(shù)之間的關系。

4 結 語

本文基于Pair Copula-Realized GARCH模型對股票市場進行了研究，在低頻數(shù)據(jù)的基礎上引入已實現(xiàn)波動測度方程，能夠提取高頻數(shù)據(jù)的信息。同時，對于多種資產(chǎn)結構，用Pair Copula分解法進行降維建模，可以更加精準地描述出股票市場間的關系。

研究后所得出的結論是: (1)上證指數(shù)、深證成指、中小板指和創(chuàng)業(yè)板指這4個有代表性的對數(shù)收益率曲線均符合金融市場上非正態(tài)，呈“尖峰厚尾”的特點，且存在一定的相關性；(2)使用Realized GARCH模型可以為高頻數(shù)據(jù)消除異方差的干擾，建模后的標準化殘差沒有ARCH效應，接受白噪聲檢驗；(3)對建模后的標準化殘差進行核分布估計變換，再對變換后的序列進行Pair Copula降維，用C-Vine和D-Vine結構分別建立指數(shù)間關系，并用AIC和BIC準則進行比較，發(fā)現(xiàn)C-Vine的結構比D-Vine更加適用于擬合4個指數(shù)間的相關結構。