基于三種相關(guān)系數(shù)的時(shí)變Copula模型的比較及應(yīng)用

郎詡森，何 坤

(東華大學(xué) 理學(xué)院，上海 201620)

過(guò)去數(shù)年間，國(guó)際金融市場(chǎng)發(fā)生了巨大的變化，金融市場(chǎng)逐漸呈現(xiàn)出豐富、多面、隨機(jī)等特點(diǎn)，這促使其風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估越來(lái)越受到重視。因此在風(fēng)險(xiǎn)分析中對(duì)各類資產(chǎn)進(jìn)行相關(guān)性分析就顯得愈加重要。比較常用的相關(guān)性分析方法有線性相關(guān)系數(shù)分析法和Granger因果分析法[1]。然而實(shí)例分析發(fā)現(xiàn)，這兩種方法均存在著較為明顯的缺陷。線性相關(guān)系數(shù)分析法要求分析的變量間必須存在線性關(guān)系且方差必須有限，其相關(guān)性分析的條件十分苛刻，難以實(shí)現(xiàn)；Granger因果分析法的相關(guān)性檢驗(yàn)通常只能給出定性的結(jié)論，而不能給出定量的描述，其分析結(jié)果存在著較大的局限性。因此，研究多選用其他相關(guān)性指標(biāo)來(lái)討論變量間的相關(guān)關(guān)系[2]。

Copula模型是一種更為靈活的相關(guān)性分析方法。運(yùn)用Copula理論解決問(wèn)題時(shí)，可以不限制邊緣分布，因此多元分布的構(gòu)建能夠更為靈活。建立Copula模型可以將隨機(jī)變量的邊緣分布和變量間的相關(guān)結(jié)構(gòu)分開(kāi)來(lái)研究，其中，邊緣分布可由波動(dòng)率模型描述，而變量間的相關(guān)結(jié)構(gòu)可以通過(guò)Copula函數(shù)描述。這樣的建模方式使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化，并且在對(duì)變量作非線性單調(diào)增變換的情況下，通常線性相關(guān)系數(shù)的值會(huì)發(fā)生變化，而由Copula函數(shù)導(dǎo)出的一致性和相關(guān)性度量則不會(huì)改變[3-4]。而時(shí)變Copula模型，即變量間的相關(guān)系數(shù)是隨著時(shí)間發(fā)生變化的，其更符合實(shí)際情況，對(duì)實(shí)際變量相依機(jī)構(gòu)的描述也更加準(zhǔn)確。Patton最先提出時(shí)變Copula模型，其采用類似于ARMA(1,10)的過(guò)程對(duì)二元正態(tài)Copula模型的相關(guān)系數(shù)進(jìn)行描述[5]。經(jīng)過(guò)多年發(fā)展，時(shí)變Copula模型得到了較為廣泛的應(yīng)用和研究[6]。本文隨機(jī)選取兩只股票的收益率作為研究對(duì)象，以廣義自回歸條件異方差(GARCH)模型描述股票收益的波動(dòng)性并建立邊緣分布，再分別從3種相關(guān)性測(cè)度(線性相關(guān)系數(shù)、Kendall秩相關(guān)系數(shù)和Spearman相關(guān)系數(shù))出發(fā)，建立時(shí)變正態(tài)Copula模型。

1 Copula理論及其相關(guān)性測(cè)度

1.1 Copula函數(shù)的定義[4]

根據(jù)Nelsen給出的定義，d維Copula函數(shù)C是指具有以下性質(zhì)的函數(shù)(其本身也是一類多元分布函數(shù)):

(1)[0,1]d→[0,1]；

(2)函數(shù)C對(duì)其每個(gè)變量都是單調(diào)遞增的；

(3)C(u1,…，uk-1,0,uk+1,…,ud)=0且C(1,…，1,uk,1,…,1)=uk，其中u1,u2,…,ud∈[0,1]。

1.2 Sklar定理[4]

對(duì)于一個(gè)具有一元邊緣分布F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x1,x2,…,xn)，存在一個(gè)Copula函數(shù)，使得F(x1,x2,…,xn)=C(F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn))。 其中Copula函數(shù)C(u1,u2,…,un)能夠?qū)⒆兞康倪吘壏植技捌湎嚓P(guān)結(jié)構(gòu)分開(kāi)研究，由此來(lái)度量隨機(jī)變量之間的相關(guān)程度。這為求取隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)提供了一條較為簡(jiǎn)單的途徑。

1.3 基于Copula理論的一致性和相關(guān)性測(cè)度

通過(guò)Copula函數(shù)導(dǎo)出的一致性和相關(guān)性測(cè)度指標(biāo)主要有Kendall秩相關(guān)系數(shù)、Spearman相關(guān)系數(shù)、Gini系數(shù)等，其中Kendall秩相關(guān)系數(shù)和Spearman相關(guān)系數(shù)的簡(jiǎn)要介紹如下所述。

(1) Kendall秩相關(guān)系數(shù)。當(dāng)分析兩個(gè)變量之間的相關(guān)程度時(shí)，最為直接的方法是觀察兩個(gè)變量之間的變化趨勢(shì)是否一致，若一致則表明兩個(gè)變量之間是正相關(guān)的，否則是負(fù)相關(guān)的。具體而言，令(x1,y1)和(x2,y2)為隨機(jī)變量(X,Y)的兩組觀測(cè)值，若(x1-x2)(y1-y2)>0，則稱(x1,y1)與(x2,y2)是和諧的，此時(shí)稱X和Y正相關(guān)；若(x1-x2)(y1-y2)<0，則稱(x1,y1)與(x2,y2)是不和諧的，此時(shí)稱X和Y負(fù)相關(guān)。

令(X1,Y1)和(X2,Y2)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，則定義τ=P[(X1-X2)(Y1-Y2)>0]-P[(X1-X2)(Y1-Y2)<0]為Kendall秩相關(guān)系數(shù)。

(2) Spearman 相關(guān)系數(shù)。與Kendall秩相關(guān)系數(shù)一樣，Spearman相關(guān)系數(shù)也是建立在和諧與不和諧的基礎(chǔ)之上的。

令(X1,Y1)、(X2,Y2)、(X3,Y3)為3個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，定義ρ=3{P[(X1-X2)(Y1-Y3)>0]-P[(X1-X2)(Y1-Y3)<0]}為Spearman相關(guān)系數(shù)。

事實(shí)上，Kendall秩相關(guān)系數(shù)和Spearman相關(guān)系數(shù)都是通過(guò)對(duì)具體給定的Copula函數(shù)變量之間和諧與不和諧的概率，來(lái)刻畫兩個(gè)變量之間的相依關(guān)系，但二者之間的取值還是存在很大的區(qū)別[7]。因此，有必要分別從這兩種相關(guān)系數(shù)出發(fā)建立時(shí)變Copula模型。

對(duì)變量作單調(diào)變換，其對(duì)應(yīng)的Copula函數(shù)不會(huì)發(fā)生改變，根據(jù)上述Kendall秩相關(guān)系數(shù)、Spearman相關(guān)系數(shù)的定義可知其數(shù)值也不會(huì)改變。相比線性相關(guān)系數(shù)，Kendall秩相關(guān)系數(shù)和Spearman相關(guān)系數(shù)有更為廣泛的實(shí)用性，并且作為全局變量，Kendall秩相關(guān)系數(shù) 、Spearman相關(guān)系數(shù)與很多Copula函數(shù)的參數(shù)都有著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此以其為基點(diǎn)建立總體參數(shù)隨時(shí)間的演化方程和時(shí)變Copula模型，能夠較為準(zhǔn)確全面地描述變量間的相依結(jié)構(gòu)[8]。

2 Copula模型的構(gòu)建

結(jié)合GARCH模型、二元正態(tài)Copula函數(shù)及其相關(guān)性測(cè)度建立二元時(shí)變正態(tài)Copula模型，具體步驟如下:

(1)確定邊緣分布。構(gòu)建Copula模型的一個(gè)重要前提是選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)倪吘壏植紒?lái)描述隨機(jī)變量，波動(dòng)聚類、偏斜、高峰、厚尾等特性是金融時(shí)間序列分布常具有的特征。對(duì)于一般的金融時(shí)間序列，GARCH(1，1)模型就能夠較好地刻畫隨機(jī)變量的波動(dòng)特征[9]。本文分別使用Normal-GARCH、t-GARCH對(duì)兩只股票收益率的邊緣分布進(jìn)行擬合，通過(guò)AIC(Akaike information criterion)準(zhǔn)則選擇最為恰當(dāng)?shù)哪Ｐ?，A=-log(I)+2m，其中，A為AIC值，I為極大似然函數(shù)值，m為模型中獨(dú)立參數(shù)的個(gè)數(shù)。以t-GARCH(1，1)模型為例，模型的表達(dá)式為[11]

(1)

式中:rt為收益率；μ為收益率均值；εt為殘差序列；vt為自由度為v的標(biāo)準(zhǔn)t分布。

(2)根據(jù)上述建立的模型，得到兩只股票收益率的邊緣分布，通過(guò)對(duì)其殘差進(jìn)行概率積分變換，轉(zhuǎn)化為(0,1)上的均勻分布，得到的樣本數(shù)據(jù)對(duì)用(ui,vi)表示，并且通過(guò)K-S檢驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證模型的擬合程度。

(3)基于數(shù)據(jù)對(duì)(ui,vi)，分別計(jì)算二元正態(tài)Copula參數(shù)θ的極大似然估計(jì)值、Kendall 秩相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)量和Spearman相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)量。

(4)根據(jù)Patton[6]的觀點(diǎn)，選擇一個(gè)類似于ARMA(1,10)的過(guò)程分別描述模型中相關(guān)系數(shù)θ以及Kendall秩相關(guān)系數(shù)和Spearman相關(guān)系數(shù)的時(shí)變性[5]。相關(guān)系數(shù)θ可以表示為

(2)

(3)

(4)

式中：φ-1為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的逆函數(shù)。

對(duì)于Kendall秩相關(guān)系數(shù) 、Spearman相關(guān)系數(shù)，可以分別表示為

(5)

3 股票市場(chǎng)實(shí)例分析

本文對(duì)匯通能源股票和中國(guó)人壽股票收益率的數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選處理，并以其作為研究對(duì)象，考察的數(shù)據(jù)為2014年7月7日到2017年8月31日的收益率，共747組數(shù)據(jù)。

利用軟件對(duì)兩只股票的數(shù)據(jù)進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)分析，得到的數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 基本描述性統(tǒng)計(jì)量Table 1 Basically descriptive statistics

由表1可知：J-B統(tǒng)計(jì)量的伴隨概率均為0，說(shuō)明兩只股票收益率均拒絕服從正態(tài)分布的假設(shè)；從偏度數(shù)據(jù)均小于0可以看出兩只股票收益率均是左偏的；從峰度看此序列分布具有相對(duì)較高的尖峰值。故認(rèn)為，兩只股票相較于正態(tài)分布均有尖峰厚尾的特點(diǎn)。

利用軟件得到兩只股票的殘差序列時(shí)序圖，以匯通能源為例，其收益率殘差序列時(shí)序圖如圖1所示。

圖1 匯通能源的收益率殘差序列時(shí)序圖Fig.1 Yield graph of residual sequence of Huitong energy

從圖1可以看出，該序列在呈現(xiàn)了大的波動(dòng)后常常伴隨著較大的波動(dòng)，同時(shí)較小的波動(dòng)后也伴隨著較小的波動(dòng)。由此說(shuō)明該序列存在波動(dòng)集聚現(xiàn)象，可以判斷該序列很可能存在ARCH效應(yīng)，有必要建立GARCH模型以描述其邊緣分布[11]。

這里分別利用Normal-GARCH、t-GARCH模型對(duì)匯通能源和中國(guó)人壽的收益率進(jìn)行擬合，結(jié)果如表2所示。

通過(guò)比較AIC值可知，相比于Normal-GARCH模型，t-GARCH模型能夠更好地描述兩只股票收益率序列的波動(dòng)。

根據(jù)所得的t-GARCH模型，對(duì)序列的殘差進(jìn)行概率積分變換，變換后的序列記為(u,v)，通過(guò)K-S 檢驗(yàn)，驗(yàn)證變換后的序列是否服從(0,1)上的均勻分布，以此判斷t-GARCH是否可以較好地描述各個(gè)收益率的波動(dòng)[12-13]。K-S統(tǒng)計(jì)量與概率值如表3所示。

表2 邊緣分布參數(shù)估計(jì)Table 2 Parameters estimation of marginal distribution

表3 K-S統(tǒng)計(jì)量與概率值Table 3 Statistics and probability values

由表3可知，通過(guò)概率積分變換后的序列服從(0,1)上的均勻分布，這也表明t-GARCH模型能夠較好地描述選取的兩只股票的指數(shù)收益率。

表4 兩種外生變量的擬合結(jié)果Table 4 Fitting results of two types of exogenous variables

圖2 Kendall秩相關(guān)系數(shù)的時(shí)變圖Fig.2 Time-varying graph of the rank correlation coefficient of Kendall

由圖2可知，兩只股票的Kendall秩相關(guān)系數(shù)基本處于0～0.5之間，序列基本處于正相關(guān)的相依機(jī)制。綜上所述，可以分別從3種相關(guān)系數(shù)建立時(shí)變正態(tài)Copula模型，通過(guò)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)可以分別得到對(duì)數(shù)似然函數(shù)值，而由A=-logI+2m，得到從不同相關(guān)系數(shù)建立的模型A值(如表5所示)。

表5 3種相關(guān)系數(shù)的A值Table 5 Value of A of the three correlation coefficients

由表5可知，以Kendall秩相關(guān)系數(shù)為中心建立的時(shí)變正態(tài)Copula模型是3種模型中最為準(zhǔn)確的模型，其次是基于Spearman相關(guān)系數(shù)建立的時(shí)變正態(tài)模型。通過(guò)這種方式構(gòu)建的時(shí)變Copula模型能夠更好地描述變量間的相依機(jī)制，但這種方式建立時(shí)變Copula模型的前提是相關(guān)系數(shù)和Copula函數(shù)的參數(shù)必須存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文從3種不同的相關(guān)系數(shù)出發(fā)建立了時(shí)變正態(tài)Copula模型，通過(guò)對(duì)匯通能源和中國(guó)人壽兩只股票收益率的實(shí)例分析，比較了3種模型的優(yōu)劣。由于Kendall秩相關(guān)系數(shù)和Spearman相關(guān)系數(shù)是全局變量且在單調(diào)變換時(shí)取值是保持不變的，因此，以這兩種相關(guān)系數(shù)為基礎(chǔ)建立的時(shí)變Copula模型能夠克服以線性相關(guān)系數(shù)為基礎(chǔ)建立的時(shí)變Copula模型的局限性，具有一定的優(yōu)越性，并且以Kendall秩相關(guān)系數(shù)為基礎(chǔ)建立的時(shí)變模型得到了最優(yōu)的擬合結(jié)果，其次是以Spearman相關(guān)系數(shù)為基礎(chǔ)建立的模型。本文所建模型對(duì)股票的組合投資有一定的指導(dǎo)意義。